2022版高考数学二轮复习 课时作业6

课时作业(六)

一、选择题

1．(2021·宁夏中卫市·高三三模)若向量＝(5，6)，＝(2，3)，则＝(　C　)

A．(-3，-3) B．(7，9)

C．(3，3) D．(-6，-10)

【解析】　由题意，向量＝(2，3)，可得＝(-2，-3)，又由向量＝(5，6)，可得＝＋＝(5，6)＋(-2，-3)＝(3，3)．故选C.

2．(2021·全国高三专题练习)已知向量a与b共线，下列说法正确的是(　B　)

A．a＝b或a＝-b B．a与b平行

C．a与b方向相同或相反 D．存在实数λ，使得a＝λb

【解析】　向量a与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；

向量a与b共线，则a与b平行，故B正确；

a为零向量，则满足a与b共线，方向不一定相同或相反；故C错；

当a≠0，b＝0时，满足a与b共线，但不存在实数λ，使得a＝λb，故D错．故选B.

3．(2021·全国高三模拟)在△ABC中，已知D为BC上一点，且满足＝2，则＝(　D　)

A．＋ B．＋

C.＋ D．＋

【解析】　由已知得：-＝2(-)，

所以＝＋，故选D.

4．(2021·北京八十中高三模拟)已知向量a＝(-1，2)，b＝(2，m)，若a⊥b，则b与a＋b的夹角为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　因为a＝(-1，2)，b＝(2，m)，a⊥b，

所以-1×2＋2m＝0，

解得m＝1，

所以a＋b＝(1，3)，

cos〈b，a＋b〉＝＝＝，

故b与a＋b的夹角为，故选B.

5．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为-，则点P的轨迹方程是(　C　)

A．x-2y＋5＝0 B．x＋2y-5＝0

C．x＋2y＋5＝0 D．x-2y-5＝0

【解析】　由投影的定义知-＝＝，化简得x＋2y＋5＝0，所以点P的轨迹方程为x＋2y＋5＝0，故选C.

6．(2021·贵州高三二模)已知平面向量a，b，其中|b|＝2，向量a与b-a的夹角为150°，则|a|的最大值为(　C　)

A．2　 B．3　

C．4 D．

【解析】　设b＝，a＝，则AB＝2，b-a＝，

又向量a与b-a的夹角为150°，则∠ACB＝30°，即C点的轨迹为优弧上的点，

则圆心角∠AOB＝60°，三角形AOB为正三角形，圆半径OA＝AB＝2，

则当a＝取圆O的直径向量AC′时，|a|取最大值为4.故选C.

7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则下列说法正确的是(　D　)

A．a·b＝-2 B．(a＋b)⊥(a-b)

C．a与b的夹角为 D．|a-b|＝

【解析】　解法一：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)·(a-b)＝a2-b2＝1-4＝-3，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝3，所以a·b＝-1.又a·b＝1×2×cos〈a，b〉＝-1，所以〈a，b〉＝，故|a-b|2＝a2-2a·b＋b2＝1＋2＋4＝7，所以|a-b|＝.故选D.

解法二：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)·(a-b)＝a2-b2＝1-4＝-3，以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线与a垂直，且a，b的夹角为，所以a·b＝1×2×cos〈a，b〉＝-1，故|a-b|＝＝＝.故选D.

8．已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中·＝0，存在实数λ，μ满足＋λ＋μ＝0，则实数λ，μ的关系为(　A　)

A．λ2＋μ2＝1 B．＋＝1

C．λμ＝1 D．λ＋μ＝1

【解析】　解法一：取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时易得λ＝μ＝，只有A符合．故选A．

解法二：依题意得||＝||＝||＝1，-＝λ＋μ，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A．

9．(2021·碑林区校级模拟)正△ABC的边长为3，M是正△ABC所在平面内一点，则·(2＋)最小值是(　C　)

A．　 B．-　

C．-　　 D．-

【解析】　正△ABC的边长为3，建立直角坐标系，如图，

设A坐标为，B，C；

设M(x，y)，则＝，

2＝(3-2x，-2y)，＝，

则2＋＝，

∴·(2＋)＝3x2＋x-＋3y2-y

＝3＋3-，

∴·(2＋)最小值是-.故选C.

10．(2021·全国高三专题练习)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　B　)

A．a＋b B．a＋b

C．a＋b D．a＋b

【解析】　由题得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，

即＝＋，解得＝＋，即＝a＋b，故选B.

11．(2021·东北三校联考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且＝2，O为△ABC的外心，则·的值为(　D　)

A．8　 B．10　

C．18　　 D．9

【解析】　由于＝2，则＝＋，取AB的中点为E，连接OE，由于O为△ABC的外心，则⊥，∴·＝·＝2＝×62＝18，同理可得·＝2＝×32＝，所以·＝·＝·＋·＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.

12．(2021·南宁调研)如图，E是边长为1的正方形ABCD的边CD上的动点(与点C，D不重合)，＝λ(0<λ<1)，过点E作EF⊥BE交∠ADC的外角平分线于点F，若·≤，则实数λ的取值范围为(　B　)

A．∪ B．∪

C． D．

【解析】　以C为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0，0)，B(-1，0)，D(0，1)，因为＝λ，所以E(0，λ)．设点F的横坐标为-t，因为射线DF为∠ADC的外角平分线，所以F(-t，t＋1)．由EF⊥BE，得·＝0，即(-t，t＋1-λ)·(1，λ)＝0，得t＝λ.所以·＝(0，1-λ)·(-λ，λ)＝λ-λ2≤，解得λ≤或λ≥.又0<λ<1.所以0<λ≤或≤λ<1.故选B.

二、填空题

13．(2021·开封模拟)设点A(1，2)，B(3，5)，将向量按向量a＝(-1，-1)平移后得到的向量＝__(2，3)__.

【解析】　因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3)，向量平移后向量的坐标不变，故＝＝(2，3)．

14．(2020·湖南长郡中学4月月考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1-e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____.

【解析】　∵(e1-e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2-e1·e2-λe＝-λ，|e1-e2|＝＝＝2，

|e1＋λe2|＝＝＝，

∴-λ＝2××cos 60°＝，

解得λ＝.

15．(2021·郑州模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1-x)，则x的取值范围是____.

【解析】　依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(-)＝(1-λ)＋λ.

又＝x＋(1-x)，且，不共线，于是有x＝1-λ，由λ∈，知x∈，即x的取值范围是.

16．(2019·河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的最小值为____.

【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(-λ，2-2λ)，＝(2-λ，-2λ)，则＋＝(2-2λ，2-4λ)，|＋|＝＝，当λ＝时，|＋|取得最小值为.