2022版高考数学二轮复习 课时作业10

课时作业(十)

一、选择题

1．(2021·河南高二期末)已知角α的终边上存在一点(1，-3)，则sin＝(　B　)

A． B．-

C． D．-

【解析】　依题意可知，sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝-，cos 2α＝cos2α-sin2α＝-，因此sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝-.故选B.

2．(2021·全国高三模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝6，A＝，则c等于(　D　)

A．2　 B．4　

C．6　　 D．8

【解析】　由a2＝b2＋c2-2bccos A，得52＝36＋c2-2×6c·，即c2-6c-16＝0，解得c＝8或c＝-2(舍)．故选D.

3．(2021·全国高三模拟)已知α为第三象限角，且cos 2α＝-，则tan α的值为(　A　)

A．2　 B．-2　

C．- D．

【解析】　cos 2α＝＝＝-，

所以tan2α＝4，

由α为第三象限角，所以tan α＝2，故选A．

4．(2021·全国高三模拟)在△ABC中，若满足＝，则该三角形的形状为(　D　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【解析】　由正弦定理可得＝＝＝，

所以sin Acos A＝sin Bcos B，

所以sin 2A-sin 2B＝0，

所以sin 2A-sin 2B＝2cos(A＋B)sin(A-B)＝0，

所以cos(A＋B)＝0或sin(A-B)＝0，

因为A＋B∈(0，π)，A-B∈(-π，π)，

所以A＋B＝或A-B＝0，

所以C＝或A＝B，

所以△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选D.

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，S△ABC＝2，且ccos B＋bcos C-2acos A＝0，则a＝(　C　)

A．　 B．2　

C．2　　 D．2

【解析】　解法一：由正弦定理知，ccos B＋bcos C-2acos A＝0可化为sin Ccos B＋sin Bcos C-2sin Acos A＝0，即sin(B＋C)-2sin Acos A＝0，因为sin(B＋C)＝sin A，且sin A>0，所以cos A＝.又0<A<π，所以A＝.由b＝2，S△ABC＝bcsin A＝2，得c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2-2bccos A＝22＋42-2×2×4×＝12，所以a＝2.

解法二：由三角形中的射影定理可知ccos B＋bcos C＝a，所以ccos B＋bcos C-2acos A＝0可化为a-2acos A＝0，因为a≠0，所以cos A＝.又0<A<π，所以A＝.由b＝2，S△ABC＝bcsin A＝2，得c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2-2bccos A＝22＋42-2×2×4×＝12，所以a＝2.

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为(　C　)

A．28　 B．36　

C．48　　 D．56

【解析】　在△ABC中，2ccos B＝2a＋b，由正弦定理，得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B．又A＝π-(B＋C)，所以sin A＝sin[π-(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，得2sin Bcos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝-，又0<C<π，所以C＝.由S＝c＝absin C＝ab×，得c＝.由余弦定理得，c2＝a2＋b2-2abcos C＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.

二、填空题

7．(2021·全国高三模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝b＝2，且A＝，则a＝____.

【解析】　直接利用余弦定理即可求出答案．

由余弦定理可得a2＝b2＋c2-2bccos A＝2＋4-2××2×＝2，

所以a＝.故答案为.

8．(2021·沂水县第一中学高三模拟)已知cos＝-，则sin＝____.

【解析】　∵cos＝-，

∴cos＝2cos2-1＝2×-1＝，

∴sin＝sin ＝

cos＝.

故答案为.

9．(2021·广东汕头市金山中学高三三模)已知△ABC的边AC＝2，且＋＝1，则△ABC的面积的最大值为__＋1__.

【解析】　由题意，设△ABC中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有b＝2，

由＋＝1可得＋＝1，

整理得3cos Asin B＋2sin Acos B＝sin Asin B，

∴cos Asin B＋2sin(A＋B)＝sin Asin B，

∵A＋B＋C＝π，∴cos Asin B＋2sin C＝sin Bsin A，

∴2sin C＝sin B(sin A-cos A)，

由正弦定理可得2c＝b(sin A-cos A)＝2(sin A-cos A)，

∴c＝(sin A-cos A)>0，则有A>.

故△ABC的面积S＝bcsin A＝·2·(sin A-cos A)sin A

＝2sin A(sin A-cos A)＝2sin2A-2sin Acos A＝1-cos 2A-sin 2A＝1-sin.

∵A∈，∴2A＋∈，当A＝时，△ABC的面积S取得最大值＋1.故答案为＋1.

三、解答题

10．(2021·全国高三模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a-c)(sin A＋sin C)-sin B(a-b)＝0.

(1)求C；

(2)若S△ABC＝2，c＝2，求△ABC周长．

【解析】　(1)因为(a-c)(sin A＋sin C)-sin B(a-b)＝0，

所以(a-c)(a＋c)-b(a-b)＝0，

所以a2-c2-ab＋b2＝0，所以c2＝a2＋b2-ab＝a2＋b2-2abcos C，

所以2cos C＝1且C∈(0，π)，所以C＝.

(2)因为S△ABC＝absin C＝2，所以ab＝8，

又因为c2＝a2＋b2-2abcos C＝(a＋b)2-3ab＝4，

所以(a＋b)2-3×8＝4，所以a＋b＝2，

所以周长为a＋b＋c＝2＋2.

11．(2021·北京高三模拟)已知△ABC中，点D是边BC的中点，cos B＝，AD＝4，________．

从①∠BAD＝，②BD＝7，这二个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

(1)求sin ∠ADC；

(2)求△ABC的面积．

【解析】　选择①

(1)因为在△ABC中，cos B＝，

所以0<B<，

可得sin B＝＝.

∴sin ∠ADC＝sin(∠BAD＋∠B)

＝sin ∠BAD·cos ∠B＋cos ∠BAD·sin ∠B

＝×＋×

＝.

(2)在△ABD中，由正弦定理＝，

得BD＝＝＝7.

∴S△ABC＝2S△ADC

＝2×·AD·DC·sin ∠ADC

＝4×7×

＝42.

选择②

(1)因为在△ABC中，cos B＝，

所以0<B<，

可得sin B＝＝.

在△ABC中，由正弦定理＝，

得sin ∠BAD＝＝＝，

因为AD>BD，

所以0<∠BAD<∠B<，

所以∠BAD＝.

∴sin ∠ADC＝sin(∠BAD＋∠B)

＝sin ∠BAD·cos ∠B＋cos ∠BAD·sin ∠B

＝×＋×

＝.

(2)∴S△ABC＝2S△ADC

＝2×·AD·DC·sin ∠ADC

＝4×7×

＝42.

12．(2021·湖北襄阳市襄阳四中高三其他模拟)已知：f(x)＝sin(π＋x)sin＋cos2-.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．

【解析】　(1)因为f(x)＝sin(π＋x)sin＋cos2-，

所以f(x)＝(-sin x)(-cos x)＋sin2x-

＝sin 2x＋-＝sin 2x-cos 2x＝sin，

令-＋2kπ≤2x-≤＋2kπ，k∈Z，解得-＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为，(k∈Z)．

(2)因为f(A)＝1，所以f(A)＝sin＝1，

又因为A∈(0，π)，所以A＝，

在△ABC中，

利用余弦定理得：cos A＝＝，

整理得：b2＋c2-4＝bc，

又因为b2＋c2≥2bc，

所以b2＋c2-4≥2bc-4，即bc≥2bc-4，

所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，

S△ABC＝bcsin A＝bc，

所以S△ABC≤，

当且仅当a＝b＝c＝2时，

S△ABC取得最大值.