2022版高考数学二轮复习 课时作业14文

课时作业(十四)(文科)

一、选择题

1．(2021·山西阳泉市高三三模)从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是(　A　)

A． B．　

C． D．

【解析】　从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，共有1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6；共15组，其中1，3；2，4；3，5；4，6四组的编号之差的绝对值为2，故其概率为；故选A．

2．(2021·全国高三模拟)某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案：点A(x，y)满足＋≤1，向圆x2＋y2＝1内扔入N粒黄豆，其中落在不等式表示区域内的粒数为M，则圆周率为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　圆x2＋y2＝1的面积为π，|x|＋|y|≤1所表示的区域如图阴影部分所示，面积为2，

所以由几何概型得：＝，所以圆周率为π＝，故选B.

3．(2021·四川高三月考)某班级的班委由包含甲、乙在内的5位同学组成，他们分成两个小组参加某项活动，其中一个小组有3位同学，另外一个小组有2位同学，则甲和乙不在同一个小组的概率为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　这五位同学分别记为：甲、乙、A、B、C，

分组情况有：(甲乙A，BC)、(甲乙B，AC)、(甲乙C，AB)、(甲AB，乙C)、(甲AC，乙B)、(甲BC，乙A)、(乙AB，甲C)、(乙AC，甲B)、(乙BC，甲A)、(ABC，甲乙)，共10种，

其中甲和乙不在同一个组的有：(甲AB，乙C)、(甲AC，乙B)、(甲BC，乙A)、(乙AB，甲C)．(乙AC，甲B)、(乙BC，甲A)，共6种，

所以所求概率为＝.故选B.

4．(2021·陕西咸阳市高三三模)已知一只小飞虫在一个长、宽、高分别为4，5，6的长方体容器内任意飞行，若小飞虫离所有顶点距离均大于1，称小飞虫为“安全飞行”，则小飞虫“安全飞行”的概率是(　D　)

A． B．

C．1- D．1-

【解析】　因为4，5，6均大于2×1＝2，所以小飞虫在每一个顶点附近的不完全区域不重合，而小飞虫不安全飞行区域为8个半径为1的的球体，

所以小飞虫“安全飞行”的概率是1-＝1-，故选D.

5．(2021·云南昆明一中高三模拟)为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满300元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减15元，抽出1个红球减30元．试求某顾客所获得的减免金额为30元的概率为(　A　)

A． B．　

C． D．

【解析】　设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为30元，

则一共可抽取{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共15种情况，

A＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6种情况，

所以顾客所获得的减免金额为30元的概率为P＝＝.故选A．

6．(2021·河南高三月考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，0)和圆O：x2＋y2＝1，在圆O上任取一点Q，连接PQ，则直线PQ的斜率大于-的概率是(　D　)

A． B．　

C． D．

【解析】　如图：

当直线PM的斜率为-时，倾斜角为120°，∠POM＝60°，

当点Q在优弧PM(不含端点)上时，直线PQ的斜率大于-；

优弧PM的长度为×1＝，圆的周长为2π×1＝2π，

根据几何概型的概率公式可得所求概率为＝故选D.

7．已知a∈{-2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，则函数f(x)＝(a2-2)ex＋b为减函数的概率是(　C　)

A． B．　

C． D．

【解析】　由题意知a，b的组合共有10种，由函数f(x)＝(a2-2)ex＋b为减函数，则a2-2<0，∴a＝0，a＝1满足题意，当a＝0时，b＝3，5有2种情形；a＝1时，b＝3，5有2种情形；满足题意的组合有4种，故所求概率为＝，故选C.

8．(2021·河南高三月考)已知甲、乙两人的5次数学测试成绩如图所示，其中一个数字a被污损，若甲、乙两人这5次数学测试成绩的平均分相同，在[-6，a]上随机取一个实数m，则函数f(x)＝x2＋mx＋2在R上有零点的概率为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　利用求几个数的平均数的计算公式求出a＝1，函数有零点了，则Δ＝2m2-8≥0，再利用几何概型的概率计算公式即可求解．

由图可知，甲的5次数学测试成绩分别是108，109，110，122，126，

则甲的平均分为＝115；

乙的5次数学测试成绩分别是106，110＋a，114，116，128，

则乙的平均分为＝115，解得a＝1.

若函数f(x)＝x2＋mx＋2有零点，则Δ＝2m2-8≥0，解得m≥2或m≤-2，

由几何概型可得在[-6，a]上随机取一个实数m，

函数y＝f(x)有零点的概率为P＝＝.故选B.

二、填空题

9．(2021·安徽合肥一中高三模拟)某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为____.

【解析】　由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为{3.50，4.75}，{3.50，5.37}，{3.50，1.38}，{4.75，5.37}，{4.75，1.38}，{5.37，1.38}共6种，

“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含{3.50，4.75}，{3.50，5.37}，{4.75，5.37}共3种，

∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率P＝＝.

10．(2021·全国高三专题练习)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在∠BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D，使得∠DAC<30°的概率为____.

【解析】　因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°，所以∠DAC<30°的概率为P＝＝.

11．(2021·辽宁高三月考)在一次机器人比赛中，有供选择的A型机器人和B型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，B型机器人被选中的概率为，若A型机器人比B型机器人多4个，则A型机器人的个数为__7__.

【解析】　设A型机器人有x个，则B型机器人有x-4个，A型机器人与B型机器人共2x-4个；

已知B型机器人被选中的概率为，

所以＝，解得x＝7.

12.

七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为____.

【解析】　设拼成的正方形的面积为1，

由图知，最大的三角形面积为，最小的三角形面积为，平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，

由此可得阴影部分的面积为，则所求的概率为.

三、解答题

13．(2021·黑龙江哈师大附中高三月考)在学习强国活动中，为了解学习情况，在某一天的学习完成后，从甲、乙两个单位各随机抽取了20人，成绩(单位：分)绘制成如图所示茎叶图

(1)通过茎叶图分析哪个单位学习情况更好(不要求计算，直接得出结论)；

(2)根据每人成绩，将其分成三个等级.

现从甲、乙两个单位合格的人中，用分层抽样取出5人参加座谈，再从这5人中任取2人，求这2人来自不同单位的概率．

【解析】　(1)乙单位的学习情况比甲单位好．

(2)因为甲单位有6人及格，乙单位有4人及格，用分层抽样取出5人，

所以甲单位抽取3人，乙单位抽取2人，

令甲单位的人用a、b、c表示，乙单位的人用d、e表示，

任取2人有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de共10种取法，

两人来自不同单位的取法有ad、ae、bd、be、cd、ce共6种取法，

故这2人来自不同单位的概率P＝＝.

14．某电子商务平台的管理员随机抽取了1 000位上网购物者，并对其年龄(在10岁到69岁之间)进行了调查，统计情况如下表所示.

已知[30，40)，[40，50)，[50，60)三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列．

(1)求a，b的值；

(2)若将年龄在[30，50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．

【解析】　(1)由题意得，解得a＝400，b＝100.

(2)由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为a1，a2，a3，有2人是消费潜力军，分别记为b1，b2.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A．

从这5人中抽取2人所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10种．

符合事件A的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共7种．

故所求概率为P(A)＝.