2022版高考数学二轮复习 课时作业11

课时作业(十一)

一、选择题

1．(2021·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里一中高三三模)已知{an}为递增的等差数列，a3·a4＝15，a2＋a5＝8，若an＝21，则n＝(　D　)

A．9　 B．10　

C．11　　 D．12

【解析】　因为{an}为等差数列，a2＋a5＝8，

所以a3＋a4＝8，

由，得或(舍)，

所以，

所以an＝2n-3.

令2n-3＝21，得n＝12.故选D.

2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q＝2，则＝(　A　)

A． B．　

C． D．

【解析】　解法一：由题意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而S6＝＝63a1，所以＝＝，故选A．

解法二：由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a3＋a5＋(a2＋a4＋a6)＝a1＋a3＋a5＋2(a1＋a3＋a5)＝3(a1＋a3＋a5)，故＝，故选A．

3．(2021·全国高三模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，丁所得为(　D　)

A．钱 B．钱

C．钱 D．钱

【解析】　设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，Sn为{an}前n项和，公差为d，

所以，所以，所以，

所以a4＝a1＋3d＝-＝，所以丁所得为钱，故选D.

4．(2021·全国高三模拟)已知{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和，且＝，则数列{log2an}的前20项和为(　A　)

A．-360　 B．-380　

C．360　　 D．380

【解析】　根据题意＝＝q3，所以q＝，

从而有an＝2·＝23-2n，

所以log2an＝3-2n，

所以数列{log2an}的前20项和等于

1＋(-1)＋(-3)＋…＋(3-2×20)＝＝-360.故选A．

5．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：

①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.

其中一定正确的结论是(　C　)

A．①② B．①③④

C．①③ D．①②④

【解析】　∵a1＋5a3＝S8，∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，∴a1＝-9d，∴an＝a1＋(n-1)d＝(n-10)d，∴a10＝0，故①一定正确．Sn＝na1＋＝-9nd＋＝(n2-19n)，∴S7＝S12，故③一定正确．显然②④不一定正确，故选C.

6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项的和，则(n∈N*)的最小值为(　A　)

A．4 B．3

C．2-2 D．

【解析】　∵a1＝1，a1，a3，a13成等比数列，

∴(1＋2d)2＝1＋12d.得d＝2或d＝0(舍去)，

∴an＝2n-1，

∴Sn＝＝n2，

∴＝.令t＝n＋1，

则＝t＋-2≥6-2＝4当且仅当t＝3，

即n＝2时等号成立，∴的最小值为4.故选A．

二、填空题

7．(2021·江苏高考真题)已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值是__4__.

【解析】　因为{an}为等比数列，且公比为q，

所以a2＝a1·q，a3＝a1·q2且a1≠0，q≠0.

因为16a1，4a2，a3成等差数列，

所以16a1＋a3＝2×4a2，

有16a1＋a1·q2＝2×4a1·q，q2-8q＋16＝0，

解得q＝4.

故答案为4.

8．(2021·陕西高三模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a4<0，an＋2＝an＋1＋an，则{an}的公比为____.

【解析】　设公比为q，

因为a1＝1，a4<0，

即a4＝a1q3<0，

所以q<0，

又因an＋2＝an＋1＋an，

所以q2＝q＋1，

解得：q＝或(舍去)，

故答案为.

9．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝(an-1)(an＋2)．若数列{an＋λan＋1}总是等差数列，则此数列的公差为__1＋λ__.

【解析】　当n＝1时，2S1＝(a1-1)(a1＋2)，∵a1>0，∴a1＝2.当n≥2时，2an＝2(Sn-Sn-1)＝a-a＋an-an-1，∴(an＋an-1)(an-an-1-1)＝0，∵an＋an-1>0，∴an-an-1＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n＋1.∵(an＋1＋λan＋2)-(an＋λan＋1)＝(an＋1-an)＋λ(an＋2-an＋1)＝1＋λ，∴不论λ取何值，数列{an＋λan＋1}总是等差数列，且此数列的公差为1＋λ.

三、解答题

10．(2021·广东揭阳市高三模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，满足6Sn＝an·an＋1＋2(n∈N*)，a1<2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(-1)nlg(an·an＋1)，记数列{bn}的前n项和Tn，求T33.

【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，则

由6Sn＝an·an＋1＋2，得6Sn-1＝an-1·an＋2(n≥2)，

相减得6(Sn-Sn-1)＝an(an＋1-an-1)即6an＝an·2d(n≥2)，

又an>0，所以d＝3，

由6S1＝a1·a2＋2，得6a1＝a1·(a1＋3)＋2，

解得a1＝1，(a1＝2舍去)，

由an＝a1＋(n-1)d，得an＝3n-2.

(2)bn＝(-1)nlg(an·an＋1)＝(-1)n(lg an＋lg an＋1)

T33＝b1＋b2＋b3＋···＋b33

＝-lg a1-lg a2＋lg a2＋lg a3-lg a3-lg a4＋…-lg a33-lg a34

＝-lg a1-lg a34＝-lg 100＝-2.

11．(2021·全国高三模拟)在递增的等比数列{an}中，a2，a5是一元二次方程x2-9x＋8＝0的根．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{log2an}的前n项和Tn.

【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q.

∵a2，a5是一元二次方程x2-9x＋8＝0的两个根且数列{an}是递增数列，

∴a2＝1，a5＝8.

由得

∴an＝·2n-1＝2n-2(n∈N*)．

(2)设bn＝log2an，

由(1)知bn＝log2an＝log22n-2＝n-2，

∴bn＋1-bn＝(n-1)-(n-2)＝1.

又b1＝-1，

∴数列{bn}是以-1为首项，1为公差的等差数列，

∴Tn＝nb1＋d

＝-1·n＋×1

＝.

12．(2021·全国高三模拟)已知{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋a4＝21，数列{bn}满足b1＝3，＝.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{an＋log3bn＋1}的前n项和．

【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，

因为a2＋a3＋a4＝21，所以a3＝7，又a1＝1，所以d＝3，

所以an＝3n-2，

又＝，所以＝＝，

所以数列{bn}是首项为3，公比为的等比数列，

所以bn＝.

(2)设cn＝an＋log3bn＋1，则

cn＝an＋log3bn＋1＝3n-2＋log3＝3n-2＋1-n＝2n-1，

所以{cn}是首项为1，公差为2的等差数列，

所以数列{an＋log3bn＋1}的前n项和为＝n2.