07解答题中档题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编

这是一份07解答题中档题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编，共29页。试卷主要包含了，且∠CAD＝90°，如图，△ABC为锐角三角形等内容，欢迎下载使用。
07解答题中档题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2020•无锡）小王毕业后自主创业，开店加工出售某食品．现小店每天的固定成本（房租、水电费等）为200元，该食品的加工成本为每斤5元．若每天加工的原材料超过100斤，则每天需增加人工成本300元，该食品市场售价为每斤35元．若每天购买原材料不超过100斤，则进货价为每斤20元；若每天购买原材料超过100斤，则进货价为每斤15元．为加强小店的促销力度，小王制定了如下促销方案：当某天购买原材料不超过100斤时，对超过60斤的部分实行八折优惠销售；当某天购买原材料超过100斤时，对全部食品实行八折优惠销售．若加工过程中无损耗，且每天购买原材料加工的食品，当天可以全部售完．设小店每天购买原材料x斤（60≤x≤180），每天的纯利润为W元．（纯利润＝销售收入﹣成本）
（1）写出每天纯利润W与每天购买原材料x的函数表达式；
（2）每天购买的原材料x在什么范围内，当天的纯利润可以不低于460元？
2．（2019•无锡）某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元．
（1）求a的值；
（2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？
二．二次函数的应用（共1小题）
3．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

三．二次函数综合题（共1小题）
4．（2022•无锡）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

四．切线的性质（共1小题）
5．（2020•无锡）如图，PC是⊙O的切线，点C为切点．点A为⊙O上一点，AC＝OA＝2，∠APC＝60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）连接OP，求sin∠OPA的值．

五．作图—复杂作图（共4小题）
6．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 　 　．


7．（2021•无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　 　．（如需画草图，请使用图2）
8．（2020•无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　 　．

9．（2019•无锡）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC．
（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积．

六．作图-轴对称变换（共1小题）
10．（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为　 　（结果保留一位小数）；
（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为　 　（如需画草图，请使用图3）．

七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
11．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE＝，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．

八．相似三角形的判定（共1小题）
12．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．

一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
14．（2020•无锡）为了调查某市噪音污染情况，该市环保局抽样调查了若干个噪声测量点的噪声声级，并根据A、B、C、D、E、F六个级别，绘制了两幅不完整的统计图：

（1）此次抽样共调查了 　 　个噪音测量点；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）在扇形统计图中，噪声声级C所对应的圆心角的度数为 　 　°．
15．（2019•无锡）某校为了了解七年级学生“校本课程”的选修情况，在该校七年级学生中随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷设置了“文学欣赏”、“球类运动”、“动漫制作”、“其他”四个选项，每名同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
各类“校本课程”选修情况频数分布表
课程类别
频数
文学欣赏
16
球类运动
20
动漫制作
6
其他
a
合计
b
（1）直接写出a、b、m的值；
（2）若该校七年级共有学生600人，请估计选修“球类运动”的学生人数．

一十一．列表法与树状图法（共3小题）
16．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 　 　；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
17．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
18．（2019•无锡）“六一”儿童节，游乐场举办摸牌游戏．规则如下：桌上放有4张扑克牌，分别为红心2、红心5、黑桃8、梅花K，将扑克牌洗匀后背面朝上，每次从中随机摸出一张牌，若摸到红心，则获得1份奖品；否则，就没有奖品．同时规定：6岁以下（不含6岁）儿童每人有2次摸牌机会（每次摸出后放回并重新洗匀）；6岁以上（含6岁）儿童每人只有1次摸牌机会．
（1）已知小红今年5岁，求小红获得2份奖品的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）；
（2）小明今年6岁，摸牌获得了1份奖品，游乐场工作人员表示可赠送一次机会，让小明在余下的3张牌中任意摸出一张，如果摸到红心，则可再获1份奖品；如果没摸到红心，那么将收回小明已获奖品．请你运用概率知识帮小明判断是否要继续摸牌，并说明理由．

参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2020•无锡）小王毕业后自主创业，开店加工出售某食品．现小店每天的固定成本（房租、水电费等）为200元，该食品的加工成本为每斤5元．若每天加工的原材料超过100斤，则每天需增加人工成本300元，该食品市场售价为每斤35元．若每天购买原材料不超过100斤，则进货价为每斤20元；若每天购买原材料超过100斤，则进货价为每斤15元．为加强小店的促销力度，小王制定了如下促销方案：当某天购买原材料不超过100斤时，对超过60斤的部分实行八折优惠销售；当某天购买原材料超过100斤时，对全部食品实行八折优惠销售．若加工过程中无损耗，且每天购买原材料加工的食品，当天可以全部售完．设小店每天购买原材料x斤（60≤x≤180），每天的纯利润为W元．（纯利润＝销售收入﹣成本）
（1）写出每天纯利润W与每天购买原材料x的函数表达式；
（2）每天购买的原材料x在什么范围内，当天的纯利润可以不低于460元？
【解答】解：（1）当60≤x≤100时，W＝35×0.8（x﹣60）+35×60﹣（20+5）x﹣200＝3x+220；
当100＜x≤180时，W＝35×0.8x﹣（15+5）x﹣300﹣200＝8x﹣500；
（2）当60≤x≤100时，3x+220≥460，即x≥80，
∴80≤x≤100；
当100≤x≤180时，8x﹣500≥460，即x≥120，
∴80≤x≤100或120≤x≤180时，当天的纯利润可以不低于460元．
2．（2019•无锡）某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元．
（1）求a的值；
（2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？
【解答】解：（1）设A型凳子的售价为x元/张，根据题意得
，
解得，
答：a的值为15．

（2）设购买A型凳子m张，则购买B型凳子（900﹣m）张，
根据题意得，
解得150≤m≤600，
设总采购费用为w元，根据题意得
当150≤m≤250时，w＝50m+40（900﹣m）＝10m+36000；
当250＜m≤600时，w＝50×250+（50﹣15）×（m﹣250）+40（900﹣m）＝﹣5m+39750，
∴，
当150≤m≤250时，10＞0，w随m的增大而增大，m＝150时，w的最小值为37500；
当250＜m≤600时，﹣5＜0，w随m的增大而减小，m＝600时，w的最小值为36750．
∵37500＞36750，
∴购买A型凳子600张，购买B型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元．
二．二次函数的应用（共1小题）
3．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；

（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，
参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；

（3）S甲＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000，
∵﹣400＜0，
∴随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
三．二次函数综合题（共1小题）
4．（2022•无锡）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：将点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
可得c＝0，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），
∴﹣＝1，
解得：b＝，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，

∵∠CAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵∠BOA＝∠DEA＝90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴，即BO•DE＝OA•AE，
设D点坐标为（t，﹣t2+t+3），
∴OE＝t，DE＝﹣t2+t+3，AE＝t﹣1，
∴3（﹣t2+t+3）＝t﹣1，
解得：t＝﹣（舍去），t＝4，
当t＝4时，y＝﹣t2+t+3＝1，
∴AE＝3，DE＝1，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
在Rt△AOB中，AB＝＝，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝＝1；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠C′D′A＝1，

∵点D的坐标为（4，1），
∴此时，点C′的坐标为（﹣2，1），
当点C′、D关于对称轴对称时，此时AC′与AD长度相等，即tan∠C′D′A＝1，
②当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，

∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAE＝45°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设点C的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴CE＝﹣m2+m+3，AE＝1﹣m，
∴﹣m2+m+3＝1﹣m，
解得m＝3+（舍去）或m＝3﹣，
此时点C的坐标为（3﹣，﹣2）；
③当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，

∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAF＝45°，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF，
设点C的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴CF＝m2﹣m﹣3，AF＝1﹣m，
∴m2﹣m﹣3＝1﹣m，
解得m＝﹣1+（舍去）或m＝﹣1﹣，
此时点C的坐标为（﹣1﹣，﹣﹣2）；
综上，点C的坐标为（﹣2，1）或（3﹣，﹣2）或（﹣1﹣，﹣﹣2）．
四．切线的性质（共1小题）
5．（2020•无锡）如图，PC是⊙O的切线，点C为切点．点A为⊙O上一点，AC＝OA＝2，∠APC＝60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）连接OP，求sin∠OPA的值．

【解答】解：（1）过O作OM⊥AC于M，
∵PC是⊙O的切线，点C为切点，
∴∠OCP＝90°，
∵AC＝OA＝2，∠APC＝60°，
∴△OCA是等边三角形，
∴∠OCA＝∠CAO＝60°，
∴∠PCA＝90°﹣60°＝30°，OM＝OC×sin60°＝2×＝，
∵∠APC＝60°，
∴∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠PCA＝90°，
∵AC＝OA＝2，
∴PA＝AC×tan30°＝，
∴阴影部分的面积S＝S△PAC+S△OAC﹣S扇形AOC
＝×2+2×﹣
＝﹣π；

（2）
过O作ON⊥AB于N，
∵OC＝OA＝2，∠PAC＝90°，∠CAO＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴ON＝OA＝1，
∴AN＝＝，
∴PN＝PA+AN＝+＝，
由勾股定理得：OP＝＝＝，
∴sin∠OPA＝＝＝．
五．作图—复杂作图（共4小题）
6．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 　5　．


【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；


（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD＝×（2+3）×＝，
故答案为：．
7．（2021•无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　　．（如需画草图，请使用图2）
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
8．（2020•无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　　．

【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得，r＝．
故答案为：．

9．（2019•无锡）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC．
（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）如图所示，直线OD即为所求；


（2）如图，∵OD为△ABE的中位线，
∴AE＝2OD＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝CA，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝2，
由勾股定理可得BC＝2，
则△ABC的面积为AC•BC＝×2×2＝10．
六．作图-轴对称变换（共1小题）
10．（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为　9.4　（结果保留一位小数）；
（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为　　（如需画草图，请使用图3）．

【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作．测量可知AB＝3，⊙O的周长＝3π≈9.4．
故答案为：9.4．


（2）如图，△DEF即为所求作．


（3）如图，设DE交AF于点J．设AJ＝x．EJ＝y．过点E作EH⊥AD于H．
∵AD＝2BD＝4，
∴BD＝2，AB＝6，
∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB•cos30°＝3，
∵EC＝2AE，
∴AE＝，
∵EH⊥AD，
∴EH＝，AH＝EH＝，
∴DH＝AD﹣AH＝，
∴DE＝＝＝，
由勾股定理可得，，
解得（不符合题意的已经舍弃），
∴AF＝2AJ＝．
故答案为：．
七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
11．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE＝，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．

【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE＝，
∴AE＝＝，
∴tan∠AED＝＝，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S＝（+）×1＝；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a＝，
∴S＝＝．

八．相似三角形的判定（共1小题）
12．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．

九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．

【解答】（1）证明：如图1，

∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，

∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，
∴FC＝5x，
在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（x）2+（5x）2＝42，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴EC＝6x＝．
一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
14．（2020•无锡）为了调查某市噪音污染情况，该市环保局抽样调查了若干个噪声测量点的噪声声级，并根据A、B、C、D、E、F六个级别，绘制了两幅不完整的统计图：

（1）此次抽样共调查了 　45　个噪音测量点；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）在扇形统计图中，噪声声级C所对应的圆心角的度数为 　120　°．
【解答】解：（1）此次抽样共调查噪音测量点9÷20%＝45（个），
故答案为：45；
（2）D声级数量为45﹣（5+9+15+6+2）＝8（个），
补全图形如下：

（3）在扇形统计图中，噪声声级C所对应的圆心角的度数为360°×＝120°，
故答案为：120．
15．（2019•无锡）某校为了了解七年级学生“校本课程”的选修情况，在该校七年级学生中随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷设置了“文学欣赏”、“球类运动”、“动漫制作”、“其他”四个选项，每名同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
各类“校本课程”选修情况频数分布表
课程类别
频数
文学欣赏
16
球类运动
20
动漫制作
6
其他
a
合计
b
（1）直接写出a、b、m的值；
（2）若该校七年级共有学生600人，请估计选修“球类运动”的学生人数．

【解答】解：（1）总人数b＝16÷32%＝50，a＝50﹣16﹣20﹣6＝8，m%＝＝16%，m＝16．

（2）估计选修“球类运动”的学生人数＝600×＝240（人）
答：若该校七年级共有学生600人，估计选修“球类运动”的学生人数为240人．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
16．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 　　；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为＝．
17．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
18．（2019•无锡）“六一”儿童节，游乐场举办摸牌游戏．规则如下：桌上放有4张扑克牌，分别为红心2、红心5、黑桃8、梅花K，将扑克牌洗匀后背面朝上，每次从中随机摸出一张牌，若摸到红心，则获得1份奖品；否则，就没有奖品．同时规定：6岁以下（不含6岁）儿童每人有2次摸牌机会（每次摸出后放回并重新洗匀）；6岁以上（含6岁）儿童每人只有1次摸牌机会．
（1）已知小红今年5岁，求小红获得2份奖品的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）；
（2）小明今年6岁，摸牌获得了1份奖品，游乐场工作人员表示可赠送一次机会，让小明在余下的3张牌中任意摸出一张，如果摸到红心，则可再获1份奖品；如果没摸到红心，那么将收回小明已获奖品．请你运用概率知识帮小明判断是否要继续摸牌，并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有16种等情况数，求其中符合题意的结果数有4种，
所以小红获得2份奖品的概率是＝；

（2）∵×2+×0＝＜1，
∴不要继续摸牌了．