江苏省泰州市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编：05解答题（提升题）知识点分类

这是一份江苏省泰州市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编：05解答题（提升题）知识点分类，共32页。试卷主要包含了为函数y1、y2的“组合函数”，已知等内容，欢迎下载使用。
江苏省泰州市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编：05解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2018•泰州）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？
二．一次函数综合题（共1小题）
2．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图像相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
三．反比例函数综合题（共2小题）
3．（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．
（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．
①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．

4．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．
（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．

五．二次函数综合题（共2小题）
6．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图像相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图像相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．

7．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
六．全等三角形的应用（共1小题）
8．（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

七．三角形综合题（共1小题）
9．（2022•泰州）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB＝5，BD＝9，DC＝6，求DE的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA＝∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF．若∠DFA＝∠A，△FBC的面积等于CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由．


八．四边形综合题（共2小题）
10．（2020•泰州）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ．
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．

11．（2019•泰州）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．

九．直线与圆的位置关系（共1小题）
12．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．

一十．圆的综合题（共1小题）
13．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
14．（2018•泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？

参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2018•泰州）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？
【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，
依题意得：﹣＝3
解得x＝200，
经检验得出：x＝200是原方程的解．
所以＝20．
答：原计划植树20天．
二．一次函数综合题（共1小题）
2．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图像相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m＝时，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
三．反比例函数综合题（共2小题）
3．（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．
（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．
①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．

【解答】解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，
将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；
②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；
（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方），

当B为中点时，
则BD＝BC，即2+n﹣m＝m﹣n，
则 m﹣n＝1；
当D为中点时，
则 DB＝DC，即m﹣（2+n）＝2+n﹣n，
故m﹣n＝4，
当C为中点时，因为点C一定在点D的下方，故这种情况不存在；
当B与D重合时，C到B，D的距离相等，
则m＝n+2，即m﹣n＝2，
∴m﹣n＝1或4或2．
②点E的横坐标为：，
当点E在点B左侧时，
d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），
m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，
当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．
当点E在点B右侧时，
同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，
当1+＝0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）
故k＝1，d＝1．
4．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．
（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1＝（x＞0）的图象上
∴k＝8
∴y1＝
∵a＝2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n

解得
∴y2＝x﹣2
②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方
∴由图象得：2＜x＜4
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO

∵O为AA′中点
S△AOB＝S△ABA′＝8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC＝S△BOD
∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴
解得k＝6
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）
把A′代入到y＝
﹣
∴n＝
∴A′D解析式为y＝
当x＝a时，点D纵坐标为
∴AD＝
∵AD＝AF，
∴点F和点P横坐标为
∴点P纵坐标为
∴点P在y1＝（x＞0）的图象上
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．

【解答】解：（1）当m＝﹣2时，抛物线解析式为：y＝x2+4x+2
令y＝0，则x2+4x+2＝0
解得x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣
抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+，0）（﹣2﹣，0）
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2
∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）
∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）
∴当直线l在x轴上方时

不等式无解
当直线l在x轴下方时

解得﹣3＜m＜﹣1
（3）由（1）
点A在点B上方，则AB＝（2m+2）﹣（m﹣1）＝m+3
△ABO的面积S＝（m+3）（﹣m）＝﹣
∵﹣
∴当m＝﹣时，S最大＝
五．二次函数综合题（共2小题）
6．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图像相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图像相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y1＝x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图像相交于点B（3，1），
∴32+3m+1＝1，＝1，
解得m＝﹣3，k＝3，
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，反比例函数的解析式为y2＝（x＞0）；
（2）∵二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，
∴对称轴为直线x＝，
由图象知，当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，≤x＜3；
（3）由题意作图如下：

∵当x＝0时，y1＝1，
∴A（0，1），
∵B（3，1），
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与△BDE的面积相等，
∴CE＝DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x＝时，y2＝2，
∴E（，2）．
7．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意m＝2，n＝4，
∴y1＝a（x﹣2）2+4，
把（0，2）代入得到a＝﹣．

（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．

∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，
∴P（0，am2+n），
∵A（m，n），
∴PM＝m，AN＝n，
∵∠APM＝45°，
∴AM＝PM＝m，
∴m+am2+n＝n，
∵m＞0，
∴am＝﹣1．

②如图2中，由题意AB⊥y轴，

∵P（0，am2+n），
当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，
解得x＝±m，
∴B（﹣m，am2+n），
∴PB＝m，
∵AP＝2m，
∴＝＝2．

（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．

设B（b，6ab2+n），
∵PA＝2PB，
∴点A的横坐标为﹣2b，
∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，
∵BE∥AK，
∴＝＝，
∴AK＝2BE，
∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），
整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，
∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，
∵m﹣4b＞0，
∴m+2b＝0，
∴m＝﹣2b，
∴A（m，n），
∴点A是抛物线C1的顶点．
六．全等三角形的应用（共1小题）
8．（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE＝∠BCD＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴＝cos45°＝，即CE＝BC，
由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，
∴CD＝AD，
∴＝；

（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a，BE＝a，
∴AE＝（﹣1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，
∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，
∴∠AEH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝AE＝（﹣1）a，
设AP＝x，则BP＝a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，
∴AH2+AP2＝BP2+BC2，
即[（﹣1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，
解得x＝a，即AP＝BC，
又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH＝∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APH+∠BPC＝90°，
∴∠CPH＝90°；
②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；

折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，
由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，
又∵∠DCH＝∠ECH，
∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．

七．三角形综合题（共1小题）
9．（2022•泰州）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB＝5，BD＝9，DC＝6，求DE的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA＝∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF．若∠DFA＝∠A，△FBC的面积等于CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由．


【解答】解：（1）如图①中，∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2；

（2）如图②中，点F即为所求．


（3）结论：直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
理由：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．

∵AF∥BR，∠A＝∠AFR，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB＝FR，
∵CF∥BR，
∴S△CFB＝S△CFR＝•AB•CD＝•FR•CD，
∴CD⊥DF，
∴直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
八．四边形综合题（共2小题）
10．（2020•泰州）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ．
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．

【解答】证明：（1）∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，
∵△MBE是等边三角形，
∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠PME，
又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，
∴△MBQ≌△MEP（ASA）；
（2）PF+GQ的值不变，
理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，

∵ME＝MB，MG＝MG，
∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），
∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，
∴MB＝BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，
∴GE＝，∠FGH＝60°，
∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，
∴四边形DCHF是矩形，
∴FH＝CD＝6，
∵sin∠FGH＝＝＝，
∴FG＝4，
∵△MBQ≌△MEP，
∴BQ＝PE，
∴PE＝BQ＝BG+GQ，
∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2+GQ+PF，
∴GQ+PF＝2；
（3）如图2，当点B'落在PQ上时，

∵△MBQ≌△MEP，
∴MQ＝MP，
∵∠QMP＝60°，
∴△MPQ是等边三角形，
当点B'落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B'，
∴△MBQ≌△MB'Q，
∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°
∴∠QME＝30°
∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，
∴∠QMB＝∠QMB'＝α＝30°，
如图3，当点B'落在MP上时，

同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝α＝60°，
∴当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．
11．（2019•泰州）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．

【解答】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠FCP，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF+∠PAB＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
（3）过点 C 作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS），
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴AE+EF+AF
＝CE+EF+AF
＝BN+AF
＝PN+PB+AF
＝AB+CN+AF
＝AB+BF+AF
＝2AB
＝16．
九．直线与圆的位置关系（共1小题）
12．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠DBO，
∴∠EBD＝∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；

（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∵BE＝3，
∴BD＝＝6，
∵sin∠DBF＝＝，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴sin60°＝＝＝，
∴DO＝2，
则FO＝，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．

一十．圆的综合题（共1小题）
13．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

【解答】解：（1）①连接OD，如图：

∵m＝3即PB＝3，AP＝1，
∴AB＝AP+PB＝4，
∴OA＝OD＝AB＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，
∴P是OA中点，
又CD⊥AB，
∴CD是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
②连接AQ，如图：

∵AB是⊙O直径，
∴∠AQB＝90°，
∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AQB＝∠AHD，
∵＝，
∴∠ADH＝∠ABQ，
∴△ADH∽△ABQ，
∴＝，
由①知：AB＝4，AD＝2，
∴＝2；
（2）连接AQ、BD，如图：

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠APD，
又∠PAD＝∠DAB，
∴△APD∽△ADB，
∴＝，
∵AP＝1，PB＝m，
∴AB＝1+m，＝，
∴AD＝，
与（1）中②同理，可得：＝，
∴＝＝；
（3）由（2）得＝，
∴BQ＝•DH，即BQ2＝（1+m）•DH2，
∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）•DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）•DH2+m2，
若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，则（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，
∴当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，如图：

∵AB⊥CD，OA＝OD＝1，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∵＝，
∴∠BQD＝45°，
故存在半径为1的⊙O，对Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2是定值1，此时∠BQD为45°．
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
14．（2018•泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，
设EH＝4xm，则FH＝3xm，
∴EF＝＝5xm，
∵EF＝15m，
∴5x＝15m，x＝3，
∴FH＝3x＝9m．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；

（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．