2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题21 动点问题

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2018-2020江苏中考数学试题汇编
——动点问题
一．选择题（共7小题）
1．（2020•南通）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．
2．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（2018•泰州）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，点从原点出发向轴正方向运动，同时，点从点出发向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，若点与点的速度之比为，则下列说法正确的是　　
A．线段始终经过点
B．线段始终经过点
C．线段始终经过点
D．线段不可能始终经过某一定点
4．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
②与可能相似；
③四边形面积的最大值为；
④四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为　　
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
5．（2018•无锡）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则的值　　

A．等于 B．等于
C．等于 D．随点位置的变化而变化

6．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　
A． B． C． D．
7．（2019•镇江）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于　　

A． B． C． D．3
二．填空题（共12小题）
8．（2019•南通）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于　　．

第8题 第9题
9．（2018•徐州）如图，为的直径，，为半圆的中点，为上一动点，延长至点，使．若点由运动到，则点运动的路径长为　　．
10．（2018•苏州）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　（结果留根号）．

第10题 第11题
11．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　　．
12．（2018•泰州）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，为线段上的动点， 以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为　　．

第12题 第13题
13．（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为　　．
14．（2019•无锡）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　　．

第14题 第15题
15．（2020•淮安）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上一点，则　　．

16．（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．

第16题 第17题
17．（2018•宿迁）如图，将含有角的直角三角板放入平面直角坐标系，顶点、分别落在、轴的正半轴上，，点的坐标为．将三角板沿轴向右作无滑动的滚动（先绕点按顺时针方向旋转，再绕点按顺时针方向旋转，当点第一次落在轴上时，则点运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　　．
18．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为　　．

第18题 第19题
19．（2019•连云港）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是　　．

三．解答题（共21小题）
20．（2019•南通）如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．
（1）连接，，求证四边形是菱形；
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）连接交于点，当时，求的长．

21．（2018•南通）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．
（3）求线段长的最小值．
22．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．

23．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．

24．（2019•苏州）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点的运动速度为　　，的长度为　　；
（2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为，
①求动点运动速度的取值范围；
②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间的值；若不存在，请说明理由．

25．（2018•苏州）如图①，直线表示一条东西走向的笔直公路，四边形是一块边长为100米的正方形草地，点，在直线上，小明从点出发，沿公路向西走了若干米后到达点处，然后转身沿射线方向走到点处，接着又改变方向沿射线方向走到公路上的点处，最后沿公路回到点处．设米（其中，米，已知与之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点出发直至最后回到点处，所走过的路径（即是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应的值；如果不可以，说明理由．

26．（2020•扬州）如图，已知点、，，点为线段上的一个动点，反比例函数的图象经过点．小明说：“点从点运动至点的过程中，值逐渐增大，当点在点位置时值最小，在点位置时值最大．”
（1）当时．
①求线段所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求的取值范围．

27．（2019•扬州）如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（与点不重合），在运动过程中始终保持线段．设与之间的距离为．
（1）若．
①如图1，当点在线段上时，若四边形的面积为48，则的值为　　；
②在运动过程中，求四边形的最大面积；
（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．

28．（2019•扬州）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点．
（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为　　；
（2）如图2，当时，若直线，则的长度为　　；
（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值．

29．（2018•扬州）如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．
（1）当时，线段的中点坐标为　　；
（2）当与相似时，求的值；
（3）当时，抛物线经过，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．

30．（2020•泰州）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．

31．（2020•泰州）如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．

32．（2019•无锡）如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
（1）若．
①如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．
（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．

33．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接、．
（Ⅰ）若点的横坐标为，求面积的最大值，并求此时点的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

34．（2020•淮安）初步尝试
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　　；
思考说理
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
拓展延伸
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

35．（2019•淮安）如图①，在中，，，是的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段上任取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点是点，连接，得到．小明发现，随着点在线段上位置的变化，点的位置也在变化，点可能在直线的左侧，也可能在直线上，还可能在直线的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点在直线上时，如图②所示．
①　　；
②连接，直线与直线的位置关系是　　．
（2）请在图③中画出，使点在直线的右侧，连接．试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（3）当点在线段上运动时，求的最小值．

36．（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别相交于、两点．动点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点作匀速运动，到达点停止运动，点关于点的对称点为点，以线段为边向上作正方形．设运动时间为秒．
（1）当秒时，点的坐标是　　；
（2）在运动过程中，设正方形与重叠部分的面积为，求与的函数表达式；
（3）若正方形对角线的交点为，请直接写出在运动过程中的最小值．

37．（2020•宿迁）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；
（2）如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
（3）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标．

38．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形中，动点、分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点、重合），点落在点处，与交于点，设．
（1）当时，求的值；
（2）随着点在边上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形的面积为，求与之间的函数表达式，并求出的最小值．

39．（2018•镇江）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点．
（1）如图2，当与边相切于点时，求的长；
（2）不难发现，当与边相切时，与平行四边形的边有三个公共点，随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的的值的取值范围　　．

40．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线上另一个动点，且平分．若，求出点的坐标．





































2018-2020江苏中考数学试题汇编
——动点问题
一．选择题（共7小题）
1．（2020•南通）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．
【解答】从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
过点作，
由三角形面积公式得：，
解得，
，
由图2可知当时，点与点重合，

，
矩形的面积为．
故选：．
2．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】，垂足为，
，
点是的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是3，
的最大值为3，
故选：．
3．（2018•泰州）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，点从原点出发向轴正方向运动，同时，点从点出发向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，若点与点的速度之比为，则下列说法正确的是　　
A．线段始终经过点
B．线段始终经过点
C．线段始终经过点
D．线段不可能始终经过某一定点
【解答】当时，点的坐标为，点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
两边乘得到：，
，
当时，，
直线始终经过，
故选：．
4．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
②与可能相似；
③四边形面积的最大值为；
④四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为　　
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解答】①利用图象法可知，或通过计算可知的最大值为，的最小值为，所以，故①错误．
②设，则，
，
当或时，与相似，
即或，解得或或，
当或或时，两三角形相似，故②正确
③设，则四边形的面积，
的最大值为，
时，四边形的面积最大，最大值，故③正确，
如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小．

过点作交的延长线于，交于．
由题意，，，，，
，
，
四边形的周长的最小值，故④错误，
故选：．
5．（2018•无锡）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则的值　　

A．等于 B．等于
C．等于 D．随点位置的变化而变化
【解答】，
，
．
设，，
，
，
，
．
故选：．

6．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】作轴于点，轴于，
设，则，，
，
，

在和△中，

△，
，，
，
，，
，
当时，有最小值为5，
的最小值为，
故选：．
7．（2019•镇江）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于　　

A． B． C． D．3
【解答】如图1中，当点是的中点时，作于，连接．
，，
，，
，
，
，
当点与重合时，的值最大．
如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．

，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共12小题）
8．（2019•南通）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于　　．

【解答】如图，过点作，交的延长线于点，


，



当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，


故答案为
9．（2018•徐州）如图，为的直径，，为半圆的中点，为上一动点，延长至点，使．若点由运动到，则点运动的路径长为　4　．

【解答】如图所示：连接，．
，
．
又，
，
，
始终与垂直．
当点在点时，与重合，
当点在点时，，此时，运动到最远处，
点运动路径长为4．
故答案为：4．
10．（2018•苏州）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　（结果留根号）．

【解答】连接、．

四边形，四边形是菱形，，
，，
，分别是对角线，的中点，
，，
，
设，则，，，
，
时，有最小值，最小值为，
故答案为．
11．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　或　．

【解答】直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：

；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：

；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
12．（2018•泰州）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，为线段上的动点， 以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为　或　．

【解答】 如图 1 中， 当与直线相切于点时， 连接．

设，
，
，
，
．

如图 2 中， 当与相切于点时， 易证、、共线，

△，
，
，
，
．
综上所述，的半径为或．
13．（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为　25　．

【解答】如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于．

，，，
，，
，
，
设，，
，
或（舍弃），
，
四边形是矩形，
，
设，，，
，，，
，
，，，设，
在中，则有，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长，
故答案为25．
14．（2019•无锡）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　8　．

【解答】过点作于点，作于点，作于点．
，，
，
易证，
，
即
，
设，则，
易证，
，
，
当时，面积的最大值为8．
故答案为8．

15．（2020•淮安）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上一点，则　1　．

【解答】把代入中得，，
反比例函数为，
、，
的垂直平分线为，
联立方程驵，解得，或，
，，
是的垂直平分线，
与反比例函数的图象于点，
，
动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上一点，
设移动后的点的坐标为，，则
，
，
，
把代入中，得，
故答案为：1．
16．（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．

【解答】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动

将绕点旋转，使与重合，得到
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上
作，则即为的最小值
作，可知四边形为矩形，
则

故答案为．
17．（2018•宿迁）如图，将含有角的直角三角板放入平面直角坐标系，顶点、分别落在、轴的正半轴上，，点的坐标为．将三角板沿轴向右作无滑动的滚动（先绕点按顺时针方向旋转，再绕点按顺时针方向旋转，当点第一次落在轴上时，则点运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　　．

【解答】由点的坐标为．得，又，，
，，，，
在旋转过程中，三角板的长度和角度不变，
点运动的路径与两坐标轴围成的图形面积．
故答案：

18．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为　2　．

【解答】如图，连接，取的中点，连接，过点作于．

，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
当点与重合时，△的面积最小，最小值，
故答案为2．
19．（2019•连云港）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是　3　．

【解答】方法1、设的半径为，
如图，作的平行线，使切于，
则与的最大距离为，
与相切，
点到的距离为，
四边形是矩形，
点到的距离为，
点到的最大距离为，
的最大值为；

方法2、如图，过点作于，
是矩形的对角线，
，
，
，
，
是的切线，
的半径为
过点作于，
，
，
，
，

，
要最大，则最大，
点是上的动点，是的切线，
最大为的直径，即：，
最大值为，
故答案为3．
方法3、如图，
过点作交的延长线于，
，，
，
，
，
，
最大时，最大，
四边形是矩形，
，，
过点作于，交于，并延长交于，
是的切线，
，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
在中，，
而，
最大时，最大，
最大时，最大，
，
即：最大时，最大，
延长交于，此时，最大，
，
过点作交的延长线于，
最大时，点落在点处，
即：最大，
在△中，，
，
最大值为，
故答案为：3．



三．解答题（共21小题）
20．（2019•南通）如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．
（1）连接，，求证四边形是菱形；
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）连接交于点，当时，求的长．

【解答】证明：（1）如图：连接，，交于点

四边形是矩形，
，，
，，
点与点关于所在的直线对称
，
，，

，且
四边形是平行四边形，且
四边形是菱形；
（2）如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，

四边形是菱形
，
，
，



点，点关于对称



（3）如图，延长，延长交于点，过点作于，交于点，过点作于点，

由（2）可知，，
，
四边形是矩形
，

，




，
，
，



，
，














21．（2018•南通）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．
（3）求线段长的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：，，
四边形是正方形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，过作的垂线，交的延长线于，
是的中点，且，
，，三点共线，
，
由勾股定理得：，
，
，
由（1）知：，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
或（舍，
，，
由勾股定理得：，
（3）如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
，，
，
，
当最小时，为、、三点共线，
，
，
的最小值是．



22．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．

【解答】（1）把、代入一次函数得，
，解得，，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
（2）点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
，
当时，，
答：面积的最大值是4．
23．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．

【解答】（1）由题意可得，，，
．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过点作，垂足为，则．

平分，
，
，．
设线段的长为，则，，，
，
，
，
．
．
当时，线段的长度最大，最大为．
（3），
是圆的直径．
．
，
是等腰直角三角形．
．
在中，．
四边形的面积，
，
．
四边形的面积为．
24．（2019•苏州）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点的运动速度为　2　，的长度为　　；
（2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为，
①求动点运动速度的取值范围；
②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）时，函数图象发生改变，
时，运动到点处，
动点的运动速度为：，
时，，
时，运动到点处，
，
故答案为：2，10；
（2）①两动点，在线段上相遇（不包含点，
当在点相遇时，，
当在点相遇时，，
动点运动速度的取值范围为；
②过作于，交于，如图3所示：
则，，
，
，
，
解得：，
，，，
，
，
，
，
，在边上可取，
当时，的最大值为．

25．（2018•苏州）如图①，直线表示一条东西走向的笔直公路，四边形是一块边长为100米的正方形草地，点，在直线上，小明从点出发，沿公路向西走了若干米后到达点处，然后转身沿射线方向走到点处，接着又改变方向沿射线方向走到公路上的点处，最后沿公路回到点处．设米（其中，米，已知与之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点出发直至最后回到点处，所走过的路径（即是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应的值；如果不可以，说明理由．

【解答】（1）设线段所在直线的函数表达式为，
将、代入，
，解得：，
线段所在直线的函数表达式为．
（2）分三种情况考虑：
①考虑是否成立，连接，如图所示．
，，，
．
又，
，
，
，
；
②考虑是否成立．
四边形是正方形，
，
．
假设成立，则成立，
．
，，
，
．
在中，，，，
，
解得：（不合题意，舍去），；
③考虑是否成立．
同理，假设成立，则成立，
．
在中，，，，
，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）．
综上所述：当时，是一个等腰三角形．

26．（2020•扬州）如图，已知点、，，点为线段上的一个动点，反比例函数的图象经过点．小明说：“点从点运动至点的过程中，值逐渐增大，当点在点位置时值最小，在点位置时值最大．”
（1）当时．
①求线段所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求的取值范围．

【解答】（1）①当时，，
设线段所在直线的函数表达式为，
把和代入得：，
解得：，
则线段所在直线的函数表达式为；
②不完全同意小明的说法，理由为：
，
，
当时，；
当时，，
则不完全同意；
（2）当时，，，符合；
当时，，
，
当时，随的增大而增大，则有，
此时；
当时，随的增大而增大，则有，
此时，
综上，．
27．（2019•扬州）如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（与点不重合），在运动过程中始终保持线段．设与之间的距离为．
（1）若．
①如图1，当点在线段上时，若四边形的面积为48，则的值为　3　；
②在运动过程中，求四边形的最大面积；
（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．

【解答】（1）①在线段上，，，，
四边形的面积，
解得：；
故答案为：3；
②当，在上运动时，到点时四边形面积最大，为直角梯形，
时，四边形面积的最大值，
当在上运动，，四边形为不规则梯形，
作于，交于，作于，交于，如图2所示：
则，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由题意得：，
，
，
即，
解得：，
梯形的面积，
当时，四边形的面积最大；
（2）在上，则，，，
梯形的面积，对称轴为：，
，
，对称轴在10和15之间，
，二次函数图象开口向下，
当无限接近于20时，最小，
，
；
综上所述，的取值范围为．

28．（2019•扬州）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点．
（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为　4或0　；
（2）如图2，当时，若直线，则的长度为　　；
（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值．

【解答】（1）如图1中，

是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
．
当直线经过时，点与重合，此时
故答案为4或0．

（2）如图2中，设直线交于点．连接交于．

，
，，
是等边三角形，
，
，关于对称，
，
，
．
故答案为．

（3）如图3中，结论：面积不变．

，关于直线对称，
直线，
直线，
，
．

（4）如图4中，当时，的面积最大，

设直线交于，
在中，，，
，
，
．
解法二：如图5中，过点作垂直于，

由题意可得：’在以为圆心半径长为6的圆上运动，
当的延长线交圆于点时面积最大，
此时，．
29．（2018•扬州）如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．
（1）当时，线段的中点坐标为　，　；
（2）当与相似时，求的值；
（3）当时，抛物线经过，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】（1）如图1，点的坐标为，
，
当时，，，
，，
线段的中点坐标为：，，即，；
故答案为：，；
（2）如图1，当点与点重合时运动停止，且可以构成三角形，
，
四边形是矩形，
，
当与相似时，存在两种情况：
①当时，，
，
，
，
（舍，，
②当时，，
，
，
，
，
不符合题意，舍去，
综上所述，当与相似时，的值是或；
（3）当时，，，
把，代入抛物线中得：
，解得：，
抛物线：，
顶点，，
，，
轴，
作抛物线对称轴，交于，设交轴于，
，，
，
如图2，，
，
即，，
，
易得的解析式为：，
则，
，
解得：（舍，，
，；
同理，在的下方，轴上存在点，如图3，使，
由对称性得：，
易得的解析式：，
则，
，
解得：（舍，，
，；
综上所述，点的坐标为：，或，．


30．（2020•泰州）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．

【解答】（1），
，
，，，
，
，
，
即；

（2）根据题意得，，
当时，随的增大而减小，
，
当随增大而减小时的取值范围为．
31．（2020•泰州）如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．

【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点，
，，，
是等边三角形，
，，
，
又，
；
（2）的值不变，
理由如下：如图1，连接，过点作于，

，，
，
，，，
，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，当点落在上时，

，
，
，
是等边三角形，
当点落在上时，点关于的对称点为，
△，


点与点重合，点与点重合，
，
如图3，当点落在上时，

同理可求：，
当时，点落在的内部．
32．（2019•无锡）如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
（1）若．
①如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．
（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．

【解答】（1）①如图1中，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
．
．
②如图中，当时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
．

如图中，当时，

在中，，

在中则有：，解得．

如图中，当时，易证四边形为正方形，易知．

综上所述，满足条件的的值为或或．

（2）如图中，


，
又翻折，
，，
又，，
，
，
即四边形是正方形，
如图，设．

，
，
易证△，
，
翻折，
，
，
，
．
33．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接、．
（Ⅰ）若点的横坐标为，求面积的最大值，并求此时点的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

【解答】（1）将、代入，得：
，解得：，
抛物线的表达式为．
（2）当点的横坐标为时，点的横坐标为，
此时点的坐标为，，点的坐标为，．
设直线的表达式为，
将，、，代入，得：
，解得：，
直线的表达式为．
如图②，过点作轴交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
．
，
当时，的面积取最大值，最大值为8，此时点的坐标为，．
假设存在，设点的横坐标为，则点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，，
利用待定系数法易知，直线的表达式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，，
，
．
，
当时，的面积取最大值，最大值为8．
假设成立，即直尺在平移过程中，面积有最大值，面积的最大值为8．

34．（2020•淮安）初步尝试
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　　；
思考说理
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
拓展延伸
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

【解答】（1）如图①中，

折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，
，
，
，
，
．
故答案为．

（2）如图②中，

，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（3）①如图③中，

由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，

，
，
，
，
．

②如图③中，

，，，
，
，
，
，
点在线段上运动，，，
，
．
35．（2019•淮安）如图①，在中，，，是的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段上任取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点是点，连接，得到．小明发现，随着点在线段上位置的变化，点的位置也在变化，点可能在直线的左侧，也可能在直线上，还可能在直线的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点在直线上时，如图②所示．
①　50　；
②连接，直线与直线的位置关系是　　．
（2）请在图③中画出，使点在直线的右侧，连接．试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（3）当点在线段上运动时，求的最小值．

【解答】（1）①如图②中，

，，
，
②结论：．
理由：，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
．
故答案为50，．

（2）如图③中，以为圆心，为半径作．

垂直平分线段，
，
，
，
．

（3）如图④中，作于，

点在射线上运动，点在线段上运动，
当点运动到与点重合时，的值最小，此时的最小值．
36．（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别相交于、两点．动点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点作匀速运动，到达点停止运动，点关于点的对称点为点，以线段为边向上作正方形．设运动时间为秒．
（1）当秒时，点的坐标是　　；
（2）在运动过程中，设正方形与重叠部分的面积为，求与的函数表达式；
（3）若正方形对角线的交点为，请直接写出在运动过程中的最小值．

【解答】（1）令，
，
，
，
当秒时，，
，
，
由对称性得，；
故答案为；

（2）当点在原点时，，
，
，
①当时，如图1，令，
，
，
，
，
，
在中，，
由运动知，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在中，，
，
，

，
，
，
；
②当时，如图2，同①的方法得，，，
；
③当时，如图3，；

（3）如图4，由运动知，，，
，
是正方形的对角线交点，
，，
点是直线上的一段线段，，

点是直线上的一段线段，，
，
，
，
，
在中，，
，
轴，
，
，
，
即：，
正方形的对角线的交点，
，
，
点，，在同一条直线上（点与点重合时），且时，最小，
即：最小，
，
．
即：的最小值为．

37．（2020•宿迁）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；
（2）如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
（3）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标．

【解答】（1）将，代入，
得，
解得
二次函数的解析式为．
，
．
（2）如图1，图2，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得．

设，
，由勾股定理可得：
．
解得．
满足条件的点的坐标为或．
（3）如图3，设交抛物线的对称轴于点，

设，则，
设直线的解析式为，则．
解得，于是，
当时，，
，．
．
，
解得或，
当时，，当时，．
综合以上可得，满足条件的点的坐标为或．
38．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形中，动点、分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点、重合），点落在点处，与交于点，设．
（1）当时，求的值；
（2）随着点在边上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形的面积为，求与之间的函数表达式，并求出的最小值．

【解答】（1）如图，在中，，，，
，
，
．

（2）的周长不变，为2．
理由：设，则，，
在中，由勾股定理得，
，解得，

，，
，
，即，
解得．
的周长为2．

（3）作于．则四边形是矩形．连接交于，交于．

在中，，
、关于对称，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
当时，有最小值．

39．（2018•镇江）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点．
（1）如图2，当与边相切于点时，求的长；
（2）不难发现，当与边相切时，与平行四边形的边有三个公共点，随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的的值的取值范围　或　．

【解答】（1）如图2所示，连接，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
与边相切于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，；
（2）当与相切时，设切点为，如图3，
，
，
①当与边、分别有两个公共点时，，即此时与平行四边形的边的公共点的个数为4，
②过点、、三点．，如图4，与平行四边形的边的公共点的个数为4，
此时，
综上所述，的值的取值范围是：或．
故答案为：或．



40．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线上另一个动点，且平分．若，求出点的坐标．

【解答】（1）将代入，得，故点的坐标为，
将，代入，得
，解得，
抛物线；

（2）如图，设点的坐标为，
第一种情况：为平行四边形的一条边，
①当点在点右侧时，则点的坐标为，
将代入，得
，
解得或，
因为时，点与重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为；

②当点在点左侧时，则点的坐标为，
将代入，得
，
解得，，或，
此时点的坐标为或，；

第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时，
由的中点坐标为，得的中点坐标为，
故点的坐标为，
将代入，得
，
解得，或，
因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为．

综上所述，点的坐标为或或，或；

（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在点使得平分，
当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
过点作于点，则有，
由平分，得，则，
，
，
设点坐标为，，点坐标为，，
所以有，
整理得，，

在中，
过点作轴于点，设点坐标为，
若，则需，
所以，
所以，
解得，，
所以点坐标为，或，．