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2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题20 二次函数综合
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这是一份2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题20 二次函数综合，共94页。试卷主要包含了三点，对称轴是直线x＝1等内容，欢迎下载使用。
2018-2020江苏中考数学试题汇编
——二次函数综合
一．选择题（共2小题）
1．（2020•南通）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
2．（2019•常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共1小题）
3．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共34小题）
4．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
5．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
6．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
7．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
8．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值-32，求k的值．
9．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
10．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）求点P，C的坐标；
（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P’（x1，y1）、Q’（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
12．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
13．（2018•苏州）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
14．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
15．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
16．（2018•常州）如图，二次函数y=-13x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ ，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
17．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
18．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
19．（2019•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求tan∠ABC．
20．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
22．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
23．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（35，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（-455，0），求这条抛物线的函数表达式．
24．（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S1．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
25．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
26．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
27．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝ ，n＝ ；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．
28．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
30．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
31．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
32．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及ACBC的值；
（2）随着a的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
33．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n=275时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 ．
34．（2018•镇江）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于 ．
35．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
36．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=-12x2-32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
37．（2018•连云港）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
2018-2020江苏中考数学试题汇编
——二次函数综合
一．选择题（共2小题）
1．（2020•南通）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【解答】从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y=12BQ×EH=12×10×EH=30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE=BE2-AE2=102-62=8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
2．（2019•常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，
当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；
当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；
当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；
故选：B．
二．填空题（共1小题）
3．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
三．解答题（共34小题）
4．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 250 m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【解答】（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，
∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，
∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），
故答案为：250；
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
5．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
【解答】（1）证明：当y＝0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝m+3．
当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
6．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴-b2a=1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：a=-12b=1c=0，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y=-12x2+x，
∴-12＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得3n-4＜15n+6＞11-(3n-4)＜5n+6-1，
∴0＜n＜53，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：3n-4＞15n+6＜13n-4-1＜1-(5n+6)，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜53．
7．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
【解答】（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a=53，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为53≤a＜2．
8．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值-32，求k的值．
【解答】（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2-52k
解得k=23
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2-52k＝k2+32k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2-52k＝k2-132k+8
∵y1＞y2
∴k2+32k＞k2-132k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（-12k-1）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（-12k-1）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2-12k﹣1＝k2-52k，
∴k2-52k=-32，解得k1＝1，k2=32
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小=-12k﹣1，
∴-12k﹣1=-32
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2-12k﹣1＝k2-92k+3，
∴k2-92k+3=-32
解得k1＝3，k2=32（舍去）
综上，k＝1或3．
9．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： （1，0） ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
【解答】（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=-2a-2a=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，
∴AE=12DH，
∵AE＝2，
∴DH＝4，
∵HE⊥DFEF＝ED，
∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a=33或-33（不符合题意舍弃），
∴a=33．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，
∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，
∴3a＝1，
∴a=13，
综上所述，满足条件的a的值为33或13．
（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由y=-3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=-1y=0或x=6y=-21a，
∴K（6，﹣21a），
由y=3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=2y=3a或x=-3y=-12a，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，
直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，
∴HE∥GK．
10．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）求点P，C的坐标；
（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0．﹣5）．
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得x＝1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有b=-53k+b=4，
解得k=3b=-5，
∴直线PC的解析式为y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD=23，
∴BE=43，
∴E（113，0）或E′（193，0），
则直线PE的解析式为y＝﹣6x+22，
∴Q（92，﹣5），
直线PE′的解析式为y=-65x+385，
∴Q′（212，﹣5），
综上所述，满足条件的点Q（92，﹣5），Q′（212，﹣5）．
11．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【解答】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即-12b＝2，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
12．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
【解答】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴12(1-a)(-a)=6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，
∵由A（﹣3，0），B（1，0），
∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1
将x＝﹣1代入y＝﹣x，
解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP=12AB•PM=12×4d
∵S△PQB＝S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y＝x+b
∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1
联立y=-x2-2x+3y=x-1
解得：x=-4y=-5
∴点P坐标为（﹣4，﹣5）
又∵∠PAQ＝∠AQB，
∴∠BPA＝∠PBQ，
∴AP＝QB，
在△PBQ与△BPA中，
AP=QB∠BPA=∠PBQPB=BP，
∴△PBQ≌△ABP（SAS），
∴PQ＝AB＝4
设Q（m，m+3）
由PQ＝4得：
(m+4)2+(m+3+5)2=42
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去）
∴Q坐标为（﹣4，﹣1）
13．（2018•苏州）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【解答】（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+m经过点A，
∴﹣2+m＝0，
解得，m＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD=OA2+OD2=22；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，
y＝x2+bx+2＝（x+b2）2+2-b24，
则点C′的坐标为（-b2，2-b24），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，
∴2-b24=-b2-4，
解得，b1＝﹣4，b2＝6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．
14．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ﹣4 ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，
∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC=9+9=32，CD=1+1=2，BD=(4-2)2+(3+1)2=25，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC=CDBC=232=13=tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，
∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），
∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（52，0），
∴直线CH解析式为：y=-12x+12，
∴y=-12x+12y=2x-5，
解得x=115y=-35，
∴点H坐标为（115，-35），
∵FH＝QH，
∴点Q（1910，-65），
∴直线CQ解析式为：y=-43x+43，
联立方程组y=-43x+43y=x2-4x+3，
解得：x1=1y1=0或x2=53y2=-89，
∴点P（53，-89）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（53，-89）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，
∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴y=-3x+3y=2x-5，
∴x=85y=-95，
∴点N坐标为（85，-95），
∵点H坐标为（115，-35），
∴CH2＝（115-1）2+（35）2=95，HN2＝（115-85）2+（-35+95）2=95，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK=95，MN＝KF，
∴点E的横坐标为-15，
∴点E（-15，185），
∴MN=275=KF，
∴CF=85+275-1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG=12+(6-3)2=10．
15．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ 2 ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
【解答】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝0
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
∴D（0，32）
∴直线BD的解析式为y=-12x+32，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，-12t+32），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（-12t+32）=-12t+32，NH=-12t+32
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t2+3t=-12t+32
解得：t1=12，t2＝3（舍去）
∴P（12，154）
∴P的坐标为（12，154），使得PM＝MN＝NH．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD=32，∠BOD＝90°
∴BD=OB2+OD2=352
∴cos∠OBD=OBBD=3352=255
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD=255
在Rt△PQE中，cos∠EPQ=PQPE=255
∴PQ=255PE
在Rt△PFR中，cos∠RPF=PFPR=255
∴PR=PF255=52PF
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB=12BQ•PQ，S△QRB=12BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵-12x+32=-x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2=-12
∴点G横坐标为-12
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，-12t+32）
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（-12t+32）|＝|﹣t2+52t+32|
①若-12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+52t+32
∵PQ＝2QR
∴PQ=23PR
∴255PE=23•52PF，即6PE＝5PF
∴6（﹣t2+52t+32）＝5（﹣t2+2t+3）
解得：t1＝2，t2＝3（舍去）
∴P（2，3）
②若﹣1＜t＜-12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE=-12t+32-（﹣t2+2t+3）＝t2-52t-32
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴255PE＝2•52PF，即2PE＝5PF
∴2（t2-52t-32）＝5（t2﹣2t﹣3）
解得：t1=-43，t2＝3（舍去）
∴P（-43，-139）
综上所述，点P坐标为（2，3）或（-43，-139）．
16．（2018•常州）如图，二次函数y=-13x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ -56 ，点B的坐标是 （32，0） ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=-13x2+bx+2的图象上，
∴-163-4b+2＝0，
∴b=-56．
当y＝0时，有-13x2-56x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2=32，
∴点B的坐标为（32，0）．
故答案为：-56；（32，0）．
（2）当x＝0时，y=-13x2-56x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：-4k+c=0c=2，解得：k=12c=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2．
假设存在，设点M的坐标为（m，12m+2）．
①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（32m-34，34m+3），
∵点P在抛物线y=-13x2-56x+2上，
∴34m+3=-13×（32m-34）2-56×（32m-34）+2，
整理，得：12m2+20m+9＝0．
∵△＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，
∴方程无解，即不存在符合题意得点P；
②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（12m+34，14m+1），
∵点P在抛物线y=-13x2-56x+2上，
∴14m+1=-13×（12m+34）2-56×（12m+34）+2，
整理，得：4m2+44m﹣9＝0，
解得：m1=-11+1302，m2=-11+1302，
∴点P的横坐标为﹣2-1304或﹣2+1304．
综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2-1304或﹣2+1304．
（3）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：
作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．
∵点B（32，0），点C（0，2），
∴OB=32，OC＝2，BC=52．
设OE＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，
由面积法，可知：12OB•CE=12BC•EF，即32（2﹣n）=52n，
解得：n=34．
∵OCOA=12=OEOB，∠AOC＝90°＝∠BOE，
∴△AOC∽△BOE，
∴∠CAO＝∠EBO，
∴∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB．
17．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 （52，2） ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3，
当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，
∴P（2，0），Q（3，4），
∴线段PQ的中点坐标为：（2+32，0+42），即（52，2）；
故答案为：（52，2）；
（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝∠PAQ＝90°，
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，PAAQ=QBBC，
∴3-t2t=6-2t3，
4t2﹣15t+9＝0，
（t﹣3）（t-34）＝0，
t1＝3（舍），t2=34，
②当△PAQ∽△CBQ时，PAAQ=BCBQ，
∴3-t2t=36-2t，
t2﹣9t+9＝0，
t=9±352，
∵9+352＞3，
∴t=9+352不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是34或9-352；
（3）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
1+b+c=09+3b+c=2，解得：b=-3c=2，
∴抛物线：y＝x2﹣3x+2＝（x-32）2-14，
∴顶点K（32，-14），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，
∴KM＝KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE＝∠QKE=12∠MKQ，
如图2，∠MQD=12∠MKQ＝∠QKE，
∴tan∠MQD＝tan∠QKE=MHMQ=EQEK，
即MH3=322+14，MH＝2，
∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y=-23x+4，
则y=-23x+4y=x2-3x+2，
x2﹣3x+2=-23x+4，
解得：x1＝3（舍），x2=-23，
∴D（-23，409）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=12∠MKQ＝∠QKE，
由对称性得：H（0，0），
易得OQ的解析式：y=23x，
则y=23xy=x2-3x+2，
x2﹣3x+2=23x，
解得：x1＝3（舍），x2=23，
∴D（23，49）；
综上所述，点D的坐标为：D（-23，409）或（23，49）．
18．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
【解答】（1）由题意m＝2，n＝4，
∴y1＝a（x﹣2）2+4，
把（0，2）代入得到a=-12．
（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．
∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，
∴P（0，am2+n），
∵A（m，n），
∴PM＝m，AN＝n，
∵∠APM＝45°，
∴AM＝PM＝m，
∴m+am2+n＝n，
∵m＞0，
∴am＝﹣1．
②如图2中，由题意AB⊥y轴，
∵P（0，am2+n），
当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，
解得x＝±66m，
∴B（-66m，am2+n），
∴PB=66m，
∵AP＝2m，
∴PAPB=2m66m=26．
（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．
设B（b，6ab2+n），
∵PA＝2PB，
∴点A的横坐标为﹣2b，
∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，
∵BE∥AK，
∴BEAK=PBPA=12，
∴AK＝2BE，
∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），
整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，
∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，
∵m﹣4b＞0，
∴m+2b＝0，
∴m＝﹣2b，
∴A（m，n），
∴点A是抛物线C1的顶点．
19．（2019•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求tan∠ABC．
【解答】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．
把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，
解得a=13．
故该二次函数解析式为y=13（x﹣4）2﹣3；
（2）令x＝0，则y=13（0﹣4）2﹣3=73．则OC=73．
因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，
所以B（7，0）．
所以OB＝7．
所以tan∠ABC=OCOB=737=13，即tan∠ABC=13．
20．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【解答】（1）当m＝﹣2时，抛物线解析式为：y＝x2+4x+2
令y＝0，则x2+4x+2＝0
解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2-2
抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+2，0）（﹣2-2，0）
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2
∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）
∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）
∴当直线l在x轴上方时
2m+2＜m-1m-1＞02m+2＞0
不等式无解
当直线l在x轴下方时
2m+2＞m-12m+2＜0m-1＜0
解得﹣3＜m＜﹣1
（3）由（1）
点A在点B上方，则AB＝（2m+2）﹣（m﹣1）＝m+3
△ABO的面积S=12（m+3）（﹣m）=-12m2-32m
∵-12＜0
∴当m=-b2a=-32时，S最大=98
21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【解答】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（-34m，m），
∴P（-32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N（-a2，2），
∴P（8a-a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a-a2=±4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
22．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
【解答】（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），
∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即-b2a＞0
∵a＞0，∴b＜0；
（2）①过点D作DM⊥y轴，
则DCCA=DMOA=MCCO=12，
∴DM=12AO，
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m
∵OC＝4，∴CM＝2，
∴D（m，﹣6），B（4m，0），
则MDBO=MEOE=OE-6OE，
∴OE＝8，
S△BEC=12×4×4m＝8，
∴m＝1，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
即y＝ax2﹣2ax﹣8a，
令x＝0，则y＝﹣8a，
∴C（0，﹣8a），
∴﹣8a＝﹣4，a=12，
∴y=12x2-x-4；
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，
CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，
当∠CDB为锐角时，
CD2+DB2＞CB2，
m2+4+9m2+36＞16m2+16，
解得﹣2＜m＜2；
当∠BCD为锐角时，
CD2+CB2＞DB2，
m2+4+16m2+16＞9m2+36，
解得m＞2或m＜-2(舍)，
综上：2＜m＜2，22＜2m＜4；
故：22＜OA＜4．
23．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（35，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（-455，0），求这条抛物线的函数表达式．
【解答】（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE⊥AF于点E
设AC＝n，则CD＝n
∵点B坐标为（0，﹣1）
∴CH＝n+1，AF＝m+1
∵CH∥AF，BC＝2AC
∴CHAF=BCAB=23
即：n+1m+1=23
整理得：
n=2m-13
Rt△AEC中，
CE2+AE2＝AC2
∴5+（m﹣n）2＝n2
把n=2m-13代入
5+（m-2m-13）2＝（2m-13）2
解得m1＝5，m2＝﹣3（舍去）
∴n＝3
∴把A（35，5）代入y＝kx﹣1得
k=255
∴y=255x﹣1
（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E
设点P坐标为（25，n），由已知n＞0
由已知，PD⊥x轴
∴△PQD∽△APE
∴QDPD=PEAE
∴1455n=n-55
解得n1＝7，n2＝﹣2（舍去）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∴y＝a（x﹣25）2+7
把A（35，5）代入y＝a（x﹣25）2+7
解得a=-25
∴抛物线解析式为：y=-25x2+855x-1
24．（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S1．
（1）抛物线的开口方向 上 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
【解答】（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得b=2-2k+b=0，
解得k=1b=2，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1=12MN⋅OA，S2=12MN⋅BH，
∵S2=52S1，
∴OA=52BH，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得c=24a+2b+c=09a+3b+c=5，
解得a=2b=-5c=2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．
25．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解答】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1和2，
故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
（2）OA=22+1=5，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；
（3）存在，理由：
①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，
图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，
设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，
则AN＝AH＝﹣k，AB=k2+1，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（k2+1+k）2，
解得：m＝﹣k2﹣kk2+1，
在△AHM中，tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，
解得：k=±3，
此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k=-3；
②当点B在x轴下方时，
同理可得：tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=-（k+2），
解得：k=-4-73或-4+73，
此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去-4+73，
故k的值为：-3或-4-73．
26．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【解答】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
a-b+3=09a+3b+3=0，解得：a=-1b=2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为-12时，点Q的横坐标为72，
∴此时点P的坐标为（-12，74），点Q的坐标为（72，-94）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y＝mx+n，得：
-12m+n=7472m+n=-94，解得：m=-1n=54，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x+54．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+54），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+54）＝﹣x2+3x+74，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQE=12DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ=12DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
27．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝ 1 ，n＝ ﹣2 ；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．
【解答】（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4中，得﹣1﹣b+4＝2，
∴b＝1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4中，得n＝﹣9+3+4＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+a，由（1）知，点B（3，﹣2），
∵A（﹣1，2），
∴-k+a=23k+a=-2，
∴k=-1a=1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
∵点P（m，0），
∴M（m，﹣m+1），N（m，﹣m2+m+4），
∵点N在点M的上方，且MN＝3，
∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3，
∴m＝0或m＝2；
（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5，
令y＝0，则﹣x+5＝0，
∴x＝5，
∴C（5，0），
∵A（﹣1，2），B（3，﹣2），
∴直线AC的解析式为y=-13x+53，直线BC的解析式为y＝x﹣5，
过点N作y轴的平行线交AC于K，交BC于H，∵点P（m，0），
∴N（m，﹣m2+m+4），K（m，-13m+53），H（m，m﹣5），
∴NK＝﹣m2+m+4+13m-53=-m2+43m+73，NH＝﹣m2+9，
∴S2＝S△NAC=12NK×（xC﹣xA）=12（﹣m2+43m+73）×6＝﹣3m2+4m+7，
S1＝S△NBC=12NH×（xC﹣xB）＝﹣m2+9，
∵S1﹣S2＝6，
∴﹣m2+9﹣（﹣3m2+4m+7）＝6，
∴m＝1+3（由于点N在直线AC上方，所以，舍去）或m＝1-3；
∴S2＝﹣3m2+4m+7＝﹣3（1-3）2+4（1-3）+7＝23-1，
S1＝﹣m2+9＝﹣（1-3）2+9＝23+5；
②如图2，
记直线AB与x轴，y轴的交点为I，L，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴I（1，0），L（0，1），
∴OL＝OI，
∴∠ALD＝∠OLI＝45°，
∴∠AOD+∠OAB＝45°，
过点B作BG∥OA，
∴∠ABG＝∠OAB，
∴∠AOD+∠ABG＝45°，
∵∠FBA＝∠ABG+∠FBG，∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，
∴∠ABG+∠FBG+∠AOD﹣∠BFC＝45°，
∴∠FBG＝∠BFC，
∴BG∥CF，
∴OA∥CF，
∵A（﹣1，2），
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
∵C（5，0），
∴直线CF的解析式为y＝﹣2x+10，
过点A，F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点Q，S，
∵∠AQM＝∠MSF＝90°，
∵点M在直线AB上，m＞﹣1，
∴M（m，﹣m+1），
∴A（﹣1，2），
∴MQ＝m+1，
设点F（n，﹣2n+10），
∴FS＝﹣2n+10+m﹣1＝﹣2n+m+9，
由旋转知，AM＝MF，∠AMF＝90°，
∴∠MAQ+∠AMQ＝90°＝∠AMQ+∠FMS，
∴∠MAQ＝∠FMS，
∴△AQM≌△MSF（AAS），
∴FS＝MQ，
∴﹣2n+m+9＝m+1，
∴n＝4，
∴F（4，2），
∴直线OF的解析式为y=12x①，
∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4②，
联立①②解得，x=1+654y=1+658或x=1-654y=1-658，
∴直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为1+654或1-654．
28．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3
将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a=-316
∴二次函数的表达式为：y=-316（x﹣1）2+3
（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，
代入得0=5k+b3=k+b，解得k=-34b=154
∴线段BD所在的直线为y=-34x+154，
设点E的坐标为：（x，-34x+154）
∴ED2＝（x﹣1）2+（-34x+154-3）2，
EF2=(-34x+154)2
∵ED＝EF，
∴（x﹣1）2+（-34x+154-3）2=(-34x+154)2，
整理得2x2+5x﹣25＝0，
解得x1=52，x2＝﹣5（舍去）．
故点E的纵坐标为y=-34×52+154=158
∴点E的坐标为(52，158)
（3）存在点G，
当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．
由题意：AE：BF＝3：5，
∵BF∥AE，
∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，
∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，
解得t＝﹣15，
∴直线DG的解析式为y=316x+4516，
由y=316x+4516y=-316(x-1)2+3，
解得x=0y=4516或x=1y=3，
∴G（0，4516）．
当点G在x轴下方时，如图2所示，
∵AO：OB＝3：5
∴当△ADG与△BDG的高相等时，
存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，
此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，
将点D代入得k＝3，
故y＝3x，
则有y=3xy=-316(x-1)2+3
整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，
得x1＝1（舍去），x2＝﹣15
当x＝﹣15时，y＝﹣45，
故点G为（﹣15，﹣45）．
综上所述，点G的坐标为（0，4516）或（﹣15，﹣45）．
29．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【解答】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，
得4a+2b+3=036a+6b+3=0，
解得a=14b=-2
∴二次函数的解析式为y=14x2-2x+3．
∵y=14x2-2x+3=14(x-4)2-1，
∴E（4，﹣1）．
（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32．
解得m＝3±29．
∴满足条件的点D的坐标为（4，3+29）或(4，3-29)．
（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，14n2-2n+3），则Q（12n，18n2-n+32），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则18n2-n+32=12nk+3．
解得k=14n-2-3n，于是CQ：y＝（14n-2-3n）x+3，
当x＝4时，y＝4（14n-2-3n）+3＝n﹣5-12n，
∴M（4，n﹣5-12n），ME＝n﹣4-12n．
∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM=12×12n⋅ME=12⋅12n⋅(n-4-12n)=12．
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
30．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴1+b+c=00+0+c=-3 解得：b=2c=-3
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC=12+32=10，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO=OAAC=1010，cos∠ACO=OCAC=31010
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG=BGAB=1010
∴BG=1010AB=2105
∴BH＝2BG=4105
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI=HIBH=1010，cos∠HBI=BIBH=31010
∴HI=1010BH=45，BI=31010BH=125
∴xH＝﹣3+45=-115，yH=-125，即H（-115，-125）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴k+a=0-115k+a=-125 解得：k=34a=-34
∴直线AH：y=34x-34
∵y=34x-34y=x2+2x-3 解得：x1=1y1=0（即点A），x2=-94y2=-3916
∴P（-94，-3916）；
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称
∴H'（-115，125）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴k'+a'=0-115k'+a'=125 解得：k'=-34a'=34
∴直线AH'：y=-34x+34
∵y=-34x+34y=x2+2x-3 解得：x1=1y1=0（即点A），x2=-154y2=5716
∴P（-154，5716）．
综上所述，点P的坐标为（-154，5716）或（-94，-3916）．
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
设直线AQ解析式为y＝dx+e
∴d+e=0dt+e=t2+2t-3 解得：d=t+3e=-t-3
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
设直线BQ解析式为y＝mx+n
∴-3m+n=0mt+n=t2+2t-3 解得：m=t-1n=3t-3
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
31．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
【解答】（1）∵y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3），
∴A（a，0），B（3，0）．
当x＝0时，y＝3a，
∴D（0，3a）；
（2）∵A（a，0），B（3，0），
∴对称轴直线方程为：x=3+a2．
当x=3+a2时，y＝﹣（3-a2）2，
∴C（3+a2，﹣（3-a2）2），
PB＝3-3+a2，PC＝（3-a2）2，
①若△AOD∽△BPC时，则AOBP=DOCP，即a3-3+a2=3a(3-a2)2，
解得a＝0或a＝±3（舍去）；
②若△AOD∽△CPB时，则AOCP=DOPB，即a(3-a2)2=3a3-3+a2，
解得a＝3（舍去）或a=73．
所以a的值是73．
（3）能．理由如下：
联结BD，取中点M
∵D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（32，32a）．
若点C也在圆上，则MC＝MB．即（32-3+a2）2+（32a+（3-a2）2）2＝（32-3）2+（32a﹣0）2，
整理，得
a4﹣14a2+45＝0，
所以（a2﹣5）（a2﹣9）＝0，
解得a1=5，a2=-5（舍），a3＝3（舍），a4＝﹣3（舍），
∴a=5．
32．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及ACBC的值；
（2）随着a的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
【解答】（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，
∵ME∥FN∥x轴，
∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，
∴MEAC=DEDC，BCFN=DCDF，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D（1，5），N（4，﹣4），
则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，
∴2AC=45，BC3=59，解得：AC=52，BC=53，
∴ACBC=32；
（2）不变，理由：
∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣2a），
∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），
∴ME＝2，DE＝﹣4a，
由（1）的结论得：AC=1-4a-2a，BC=1-4a-3a，
∴ACBC=32；
（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，
∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH=1-4a6，
∵BC=4a-13a，
∴CH=54×4a-13a=20a-512a，
∴F（53-512a+1，16-23a），
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
16-23a＝a（53-512a+1+1）（53-512a+1﹣3）+1，
解得：a=-54或14（舍弃），
经检验a=-54，
故y=-54x2+52x+194．
33．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 （2，9） ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n=275时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 95＜n＜215 ．
【解答】（1）顶点为D（2，9）；
故答案为（2，9）；
（2）对称轴x＝2，
∴C（2，95），
由已知可求A（-52，0），
点A关于x＝2对称点为（132，0），
则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，
∴B（5，3），
①当n=275时，N（2，275），
∴DA=952，DN=185，CD=365
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，
∴△DAC∽△DPN，
∴DPDA=DNDC，
∴DP=945；
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，
∴△DNQ∽△DCA，
∴DPDB=DQDA=DNDC
∴DP=325；
综上所述，DP=325，DP=945；
②当PQ∥AB，DB＝DP时，
DB＝35，
∴DPDA=DNDC，
∴DN=245，
∴N（2，215），
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，95＜n＜215；
故答案为95＜n＜215；
34．（2018•镇江）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于 6 ．
【解答】（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得OA'OA=OB'OB=2
∵A（4，4），B（3，0）
∴A′（8，8），B′（6，0）
将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y＝ax2+bx+c
得c=036a+6b=064a+8b=0
解得a=12b=-3c=0
∴二次函数的解析式为y=12x2﹣3x；
（2）①∵点P在y＝x2﹣3x的图象上，
∴n＝m2﹣3m，
∴P（m，m2﹣3m），
设直线OP的解析式为y＝kx
将点P代入，得mk＝m2﹣3m，解得k＝m﹣3，
∴OP：y＝（m﹣3）x
∵直线OP与y=12x2﹣3x交于点Q
∴12x2﹣3x＝（m﹣3）x，解得x1＝0（舍），x2＝2m，
∴Q（2m，2m2﹣6m）
②∵P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上
∴n＝m2﹣3m
∴P（m，m2﹣3m）
设直线OP的解析式为y＝kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，
得mk＝m2﹣3m
∴k＝m﹣3
∴OP的解析是为y＝（m﹣3）x
∵OP与y═12x2﹣3x交于Q点
∴y=(m-3)xy=12x2-3x
解得x=0y=0（不符合题意舍去）x=2my=2m2-6m
∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D
则OC＝|m|，PC＝|m2﹣3m|，OD＝|2m|，QD＝|2m2﹣6m|
∵ODOC=OQOP=2
∴△OCP∽△ODQ
∴OQ＝2OP
∵2AP＞OQ
∴2AP＞2OP，即AP＞OP
∴(m-4)2+(m2-3m-4)2＞m2+(m2-3m)2
化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1-5＜m＜1+5，且m≠0；
③P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）
∵点Q在第一象限，
∴2m＞02m2-6m＞0，解得＞3
由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y＝2m2﹣6m
∵QQ′交y=12x2﹣3x交于点Q′
y=12x2-3xy=2m2-6m
解得x=2my=2m2-6m（不符合题意，舍）x=6-2my=2m2-6m
∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）
设OQ′的解析是为y＝kx，（6﹣2m）k＝2m2﹣6m
解得k＝﹣m，OQ′的解析式为y＝﹣m
∵OQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x1＝0（舍），x2＝3﹣m
∴P′（3﹣m，m2﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x1＝0（舍去），x2＝3﹣m
∴P′（3﹣m，m2﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点M、N
∴x2﹣3x＝2m2﹣6m
解得x1=3+8m2-24m+92，x2=3-8m2-24m+92
∵M在N左侧
∴M（3+8m2-24m+92，2m2﹣6m）
N（3-8m2-24m+92，2m2﹣6m）
∵△Q′P′M∽△QB′N
∴P'Q'QB'=QMQN
∵(P'QQB)2=(3-m)2+(m2-3m)2(2m-6)2+(2m2-6m)2=14
即3-8m2-24m+9-(6-2m)2m-3+8m224m+92=12
化简得m2﹣12m+27＝0
解得：m1＝3（舍），m2＝9
∴N（12，108），Q（18，108）
∴QN＝6．
故答案为：6．
35．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
【解答】（1）当y＝0时，12x2-32x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x=32，
∴点P在直线x=32上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x=32的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（32，﹣5）
（3）由题意，AB＝5，CB＝25，CA=5，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵y=12x2-32x﹣2=12（x-32）2-258，
∴顶点D（32，-258），
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，QPDP=ACBC=12，
设Q（x，12x2-32x﹣2），则P（32，12x2-32x﹣2），
∴DP=12x2-32x﹣2﹣（-258）=12x2-32x+98，QP＝x-32，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3=12x2-32x+98，解得x=112或32（舍弃），
∴P（32，398）．
②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，
x-32=x2﹣3x+94，
解得x=52或32（舍弃），
∴P（32，-218）．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，PQDQ=ACBC=12，
过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴QMMD=PQDQ=12，由图3﹣3可知，M（32，398），Q（112，398），
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝45，
由DQDM=PDDQ，可得PD＝10，
∵D（32，-258）
∴P（32，558）．
②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．
同法可得M（32，-218），Q（52，-218），
∴DM=12，QM＝1，QD=52，
由QDDM=PDDQ，可得PD=52，
∴P（32，-58）．
36．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=-12x2-32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
【解答】（1）将x＝2代入y=-12x2-32x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），
将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
-3=22+2b+c-3=0+0+c，解得b=-2c=-3，
∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
第一种情况：AC为平行四边形的一条边，
①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），
将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y=-12x2-32x+2，得
x2﹣2x﹣3=-12（x+2）2-32（x+2）+2，
解得x＝0或x＝﹣1，
因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），
将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y=-12x2-32x+2，得
x2﹣2x﹣3=-12（x﹣2）2-32（x﹣2）+2，
解得，x＝3，或x=-43，
此时点P的坐标为（3，0）或（-43，139）；
第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，
由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），
故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），
将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y=-12x2-32x+2，得
﹣x2+2x﹣3═-12（2﹣x）2-32（2﹣x）+2，
解得，x＝0或x＝﹣3，
因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为（﹣3，12）．
综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（-43，139）或（﹣3，12）；
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，
由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，
∴△PSC∽△RTC，
∴PSCS=RTCT，
设点P坐标为（x1，x12-2x1-3），点R坐标为（x2，x22-2x2-3），
所以有x1x12-2x1-3-(-3)=x2-3-(x22-2x2-3)，
整理得，x1+x2＝4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH=PHRH=x12-2x1-3-(x22-2x2-3)x1-x2=x1+x2-2=2
过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，-12m2-32m+2），
若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，
所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，
所以2m=-12m2-32m+2，
解得，m=-7±652，
所以点Q坐标为（-7+652，﹣7+65）或（-7-652，﹣7-65）．
37．（2018•连云港）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
【解答】（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1＝kx2+m（k＜0）的图象上，
∴k+m=0m=1，
∴k=-1m=1，
∴二次函数解析式为y1＝﹣x2+1，
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2＝ax2+b（a＞0）的图象上，
∴a+b=0b=-3，
∴a=3b=-3，
∴二次函数y2＝3x2﹣3；
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，
∴MM'＝（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）＝4﹣4m2，
由抛物线的对称性知，若有内接正方形，
∴2m＝4﹣4m2，
∴m=-1+174或m=-1-174（舍），
∵0＜-1+174＜1，
∴MM'=-1+172
∴存在内接正方形，此时其边长为-1+172；
（3）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，
∴AD=OA2+OD2=10，
同理：CD=10，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，
∴BC=OC2+OB2=2，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB＝∠ADO，
∴在y轴上存在E，由DBDA=DCDE，
∴410=10DE，
∴DE=52，
∵D（0，﹣3），
∴E（0，-12），
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分线EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴DEDA=DFDO=EFAO，
∴2.510=DF3=EF1，
∴DF=3104，EF=104，
∵S△DEE'=12DE•E'M＝EF×DF=158，
∴E'M=32，
∵DE'＝DE=52，
在Rt△DE'M中，DM=DE'2-E'M2=2，
∴OM＝1，
∴E'（32，﹣1），
②如图2，
当△DBC∽△ADE时，有∠BDC＝∠DAE，DBAD=DCAE，
∴410=10AE，
∴AE=52，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，
∴PD＝PA，
设PD＝n，
∴PO＝3﹣n，PA＝n，
在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，
∴n2＝（3﹣n）2+1，
∴n=53，
∴PA=53，PO=43，
∵AE=52，
∴PE=56，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴APPE=AOOQ，
∴OQ=12，
∵OPPE=APAE=23，
∴QE＝2，
∴E（-12，﹣2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE=AQ2+QE2=52，
∴AE'=52
∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，-52），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，-12）或（32，﹣1）或（1，-52）或（-12，﹣2）．
2018-2020江苏中考数学试题汇编
——二次函数综合
一．选择题（共2小题）
1．（2020•南通）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
2．（2019•常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共1小题）
3．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共34小题）
4．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
5．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
6．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
7．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
8．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值-32，求k的值．
9．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
10．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）求点P，C的坐标；
（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P’（x1，y1）、Q’（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
12．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
13．（2018•苏州）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
14．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
15．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
16．（2018•常州）如图，二次函数y=-13x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ ，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
17．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
18．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
19．（2019•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求tan∠ABC．
20．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
22．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
23．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（35，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（-455，0），求这条抛物线的函数表达式．
24．（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S1．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
25．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
26．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
27．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝ ，n＝ ；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．
28．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
30．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
31．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
32．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及ACBC的值；
（2）随着a的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
33．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n=275时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 ．
34．（2018•镇江）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于 ．
35．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
36．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=-12x2-32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
37．（2018•连云港）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
2018-2020江苏中考数学试题汇编
——二次函数综合
一．选择题（共2小题）
1．（2020•南通）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【解答】从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y=12BQ×EH=12×10×EH=30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE=BE2-AE2=102-62=8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
2．（2019•常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，
当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；
当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；
当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；
故选：B．
二．填空题（共1小题）
3．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
三．解答题（共34小题）
4．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 250 m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【解答】（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，
∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，
∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），
故答案为：250；
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
5．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
【解答】（1）证明：当y＝0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝m+3．
当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
6．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴-b2a=1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：a=-12b=1c=0，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y=-12x2+x，
∴-12＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得3n-4＜15n+6＞11-(3n-4)＜5n+6-1，
∴0＜n＜53，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：3n-4＞15n+6＜13n-4-1＜1-(5n+6)，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜53．
7．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
【解答】（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a=53，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为53≤a＜2．
8．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值-32，求k的值．
【解答】（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2-52k
解得k=23
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2-52k＝k2+32k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2-52k＝k2-132k+8
∵y1＞y2
∴k2+32k＞k2-132k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2-52k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（-12k-1）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（-12k-1）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2-12k﹣1＝k2-52k，
∴k2-52k=-32，解得k1＝1，k2=32
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小=-12k﹣1，
∴-12k﹣1=-32
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2-12k﹣1＝k2-92k+3，
∴k2-92k+3=-32
解得k1＝3，k2=32（舍去）
综上，k＝1或3．
9．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： （1，0） ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
【解答】（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=-2a-2a=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，
∴AE=12DH，
∵AE＝2，
∴DH＝4，
∵HE⊥DFEF＝ED，
∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a=33或-33（不符合题意舍弃），
∴a=33．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，
∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，
∴3a＝1，
∴a=13，
综上所述，满足条件的a的值为33或13．
（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由y=-3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=-1y=0或x=6y=-21a，
∴K（6，﹣21a），
由y=3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=2y=3a或x=-3y=-12a，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，
直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，
∴HE∥GK．
10．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）求点P，C的坐标；
（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0．﹣5）．
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得x＝1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有b=-53k+b=4，
解得k=3b=-5，
∴直线PC的解析式为y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD=23，
∴BE=43，
∴E（113，0）或E′（193，0），
则直线PE的解析式为y＝﹣6x+22，
∴Q（92，﹣5），
直线PE′的解析式为y=-65x+385，
∴Q′（212，﹣5），
综上所述，满足条件的点Q（92，﹣5），Q′（212，﹣5）．
11．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【解答】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即-12b＝2，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
12．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
【解答】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴12(1-a)(-a)=6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，
∵由A（﹣3，0），B（1，0），
∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1
将x＝﹣1代入y＝﹣x，
解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP=12AB•PM=12×4d
∵S△PQB＝S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y＝x+b
∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1
联立y=-x2-2x+3y=x-1
解得：x=-4y=-5
∴点P坐标为（﹣4，﹣5）
又∵∠PAQ＝∠AQB，
∴∠BPA＝∠PBQ，
∴AP＝QB，
在△PBQ与△BPA中，
AP=QB∠BPA=∠PBQPB=BP，
∴△PBQ≌△ABP（SAS），
∴PQ＝AB＝4
设Q（m，m+3）
由PQ＝4得：
(m+4)2+(m+3+5)2=42
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去）
∴Q坐标为（﹣4，﹣1）
13．（2018•苏州）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【解答】（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+m经过点A，
∴﹣2+m＝0，
解得，m＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD=OA2+OD2=22；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，
y＝x2+bx+2＝（x+b2）2+2-b24，
则点C′的坐标为（-b2，2-b24），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，
∴2-b24=-b2-4，
解得，b1＝﹣4，b2＝6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．
14．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ﹣4 ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，
∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC=9+9=32，CD=1+1=2，BD=(4-2)2+(3+1)2=25，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC=CDBC=232=13=tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，
∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），
∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（52，0），
∴直线CH解析式为：y=-12x+12，
∴y=-12x+12y=2x-5，
解得x=115y=-35，
∴点H坐标为（115，-35），
∵FH＝QH，
∴点Q（1910，-65），
∴直线CQ解析式为：y=-43x+43，
联立方程组y=-43x+43y=x2-4x+3，
解得：x1=1y1=0或x2=53y2=-89，
∴点P（53，-89）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（53，-89）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，
∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴y=-3x+3y=2x-5，
∴x=85y=-95，
∴点N坐标为（85，-95），
∵点H坐标为（115，-35），
∴CH2＝（115-1）2+（35）2=95，HN2＝（115-85）2+（-35+95）2=95，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK=95，MN＝KF，
∴点E的横坐标为-15，
∴点E（-15，185），
∴MN=275=KF，
∴CF=85+275-1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG=12+(6-3)2=10．
15．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ 2 ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
【解答】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝0
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
∴D（0，32）
∴直线BD的解析式为y=-12x+32，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，-12t+32），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（-12t+32）=-12t+32，NH=-12t+32
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t2+3t=-12t+32
解得：t1=12，t2＝3（舍去）
∴P（12，154）
∴P的坐标为（12，154），使得PM＝MN＝NH．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD=32，∠BOD＝90°
∴BD=OB2+OD2=352
∴cos∠OBD=OBBD=3352=255
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD=255
在Rt△PQE中，cos∠EPQ=PQPE=255
∴PQ=255PE
在Rt△PFR中，cos∠RPF=PFPR=255
∴PR=PF255=52PF
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB=12BQ•PQ，S△QRB=12BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵-12x+32=-x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2=-12
∴点G横坐标为-12
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，-12t+32）
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（-12t+32）|＝|﹣t2+52t+32|
①若-12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+52t+32
∵PQ＝2QR
∴PQ=23PR
∴255PE=23•52PF，即6PE＝5PF
∴6（﹣t2+52t+32）＝5（﹣t2+2t+3）
解得：t1＝2，t2＝3（舍去）
∴P（2，3）
②若﹣1＜t＜-12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE=-12t+32-（﹣t2+2t+3）＝t2-52t-32
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴255PE＝2•52PF，即2PE＝5PF
∴2（t2-52t-32）＝5（t2﹣2t﹣3）
解得：t1=-43，t2＝3（舍去）
∴P（-43，-139）
综上所述，点P坐标为（2，3）或（-43，-139）．
16．（2018•常州）如图，二次函数y=-13x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ -56 ，点B的坐标是 （32，0） ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=-13x2+bx+2的图象上，
∴-163-4b+2＝0，
∴b=-56．
当y＝0时，有-13x2-56x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2=32，
∴点B的坐标为（32，0）．
故答案为：-56；（32，0）．
（2）当x＝0时，y=-13x2-56x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：-4k+c=0c=2，解得：k=12c=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2．
假设存在，设点M的坐标为（m，12m+2）．
①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（32m-34，34m+3），
∵点P在抛物线y=-13x2-56x+2上，
∴34m+3=-13×（32m-34）2-56×（32m-34）+2，
整理，得：12m2+20m+9＝0．
∵△＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，
∴方程无解，即不存在符合题意得点P；
②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（12m+34，14m+1），
∵点P在抛物线y=-13x2-56x+2上，
∴14m+1=-13×（12m+34）2-56×（12m+34）+2，
整理，得：4m2+44m﹣9＝0，
解得：m1=-11+1302，m2=-11+1302，
∴点P的横坐标为﹣2-1304或﹣2+1304．
综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2-1304或﹣2+1304．
（3）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：
作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．
∵点B（32，0），点C（0，2），
∴OB=32，OC＝2，BC=52．
设OE＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，
由面积法，可知：12OB•CE=12BC•EF，即32（2﹣n）=52n，
解得：n=34．
∵OCOA=12=OEOB，∠AOC＝90°＝∠BOE，
∴△AOC∽△BOE，
∴∠CAO＝∠EBO，
∴∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB．
17．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 （52，2） ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3，
当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，
∴P（2，0），Q（3，4），
∴线段PQ的中点坐标为：（2+32，0+42），即（52，2）；
故答案为：（52，2）；
（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝∠PAQ＝90°，
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，PAAQ=QBBC，
∴3-t2t=6-2t3，
4t2﹣15t+9＝0，
（t﹣3）（t-34）＝0，
t1＝3（舍），t2=34，
②当△PAQ∽△CBQ时，PAAQ=BCBQ，
∴3-t2t=36-2t，
t2﹣9t+9＝0，
t=9±352，
∵9+352＞3，
∴t=9+352不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是34或9-352；
（3）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
1+b+c=09+3b+c=2，解得：b=-3c=2，
∴抛物线：y＝x2﹣3x+2＝（x-32）2-14，
∴顶点K（32，-14），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，
∴KM＝KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE＝∠QKE=12∠MKQ，
如图2，∠MQD=12∠MKQ＝∠QKE，
∴tan∠MQD＝tan∠QKE=MHMQ=EQEK，
即MH3=322+14，MH＝2，
∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y=-23x+4，
则y=-23x+4y=x2-3x+2，
x2﹣3x+2=-23x+4，
解得：x1＝3（舍），x2=-23，
∴D（-23，409）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=12∠MKQ＝∠QKE，
由对称性得：H（0，0），
易得OQ的解析式：y=23x，
则y=23xy=x2-3x+2，
x2﹣3x+2=23x，
解得：x1＝3（舍），x2=23，
∴D（23，49）；
综上所述，点D的坐标为：D（-23，409）或（23，49）．
18．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
【解答】（1）由题意m＝2，n＝4，
∴y1＝a（x﹣2）2+4，
把（0，2）代入得到a=-12．
（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．
∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，
∴P（0，am2+n），
∵A（m，n），
∴PM＝m，AN＝n，
∵∠APM＝45°，
∴AM＝PM＝m，
∴m+am2+n＝n，
∵m＞0，
∴am＝﹣1．
②如图2中，由题意AB⊥y轴，
∵P（0，am2+n），
当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，
解得x＝±66m，
∴B（-66m，am2+n），
∴PB=66m，
∵AP＝2m，
∴PAPB=2m66m=26．
（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．
设B（b，6ab2+n），
∵PA＝2PB，
∴点A的横坐标为﹣2b，
∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，
∵BE∥AK，
∴BEAK=PBPA=12，
∴AK＝2BE，
∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），
整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，
∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，
∵m﹣4b＞0，
∴m+2b＝0，
∴m＝﹣2b，
∴A（m，n），
∴点A是抛物线C1的顶点．
19．（2019•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求tan∠ABC．
【解答】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．
把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，
解得a=13．
故该二次函数解析式为y=13（x﹣4）2﹣3；
（2）令x＝0，则y=13（0﹣4）2﹣3=73．则OC=73．
因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，
所以B（7，0）．
所以OB＝7．
所以tan∠ABC=OCOB=737=13，即tan∠ABC=13．
20．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【解答】（1）当m＝﹣2时，抛物线解析式为：y＝x2+4x+2
令y＝0，则x2+4x+2＝0
解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2-2
抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+2，0）（﹣2-2，0）
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2
∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）
∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）
∴当直线l在x轴上方时
2m+2＜m-1m-1＞02m+2＞0
不等式无解
当直线l在x轴下方时
2m+2＞m-12m+2＜0m-1＜0
解得﹣3＜m＜﹣1
（3）由（1）
点A在点B上方，则AB＝（2m+2）﹣（m﹣1）＝m+3
△ABO的面积S=12（m+3）（﹣m）=-12m2-32m
∵-12＜0
∴当m=-b2a=-32时，S最大=98
21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【解答】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（-34m，m），
∴P（-32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N（-a2，2），
∴P（8a-a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a-a2=±4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
22．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
【解答】（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），
∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即-b2a＞0
∵a＞0，∴b＜0；
（2）①过点D作DM⊥y轴，
则DCCA=DMOA=MCCO=12，
∴DM=12AO，
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m
∵OC＝4，∴CM＝2，
∴D（m，﹣6），B（4m，0），
则MDBO=MEOE=OE-6OE，
∴OE＝8，
S△BEC=12×4×4m＝8，
∴m＝1，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
即y＝ax2﹣2ax﹣8a，
令x＝0，则y＝﹣8a，
∴C（0，﹣8a），
∴﹣8a＝﹣4，a=12，
∴y=12x2-x-4；
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，
CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，
当∠CDB为锐角时，
CD2+DB2＞CB2，
m2+4+9m2+36＞16m2+16，
解得﹣2＜m＜2；
当∠BCD为锐角时，
CD2+CB2＞DB2，
m2+4+16m2+16＞9m2+36，
解得m＞2或m＜-2(舍)，
综上：2＜m＜2，22＜2m＜4；
故：22＜OA＜4．
23．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（35，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（-455，0），求这条抛物线的函数表达式．
【解答】（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE⊥AF于点E
设AC＝n，则CD＝n
∵点B坐标为（0，﹣1）
∴CH＝n+1，AF＝m+1
∵CH∥AF，BC＝2AC
∴CHAF=BCAB=23
即：n+1m+1=23
整理得：
n=2m-13
Rt△AEC中，
CE2+AE2＝AC2
∴5+（m﹣n）2＝n2
把n=2m-13代入
5+（m-2m-13）2＝（2m-13）2
解得m1＝5，m2＝﹣3（舍去）
∴n＝3
∴把A（35，5）代入y＝kx﹣1得
k=255
∴y=255x﹣1
（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E
设点P坐标为（25，n），由已知n＞0
由已知，PD⊥x轴
∴△PQD∽△APE
∴QDPD=PEAE
∴1455n=n-55
解得n1＝7，n2＝﹣2（舍去）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∴y＝a（x﹣25）2+7
把A（35，5）代入y＝a（x﹣25）2+7
解得a=-25
∴抛物线解析式为：y=-25x2+855x-1
24．（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S1．
（1）抛物线的开口方向 上 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
【解答】（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得b=2-2k+b=0，
解得k=1b=2，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1=12MN⋅OA，S2=12MN⋅BH，
∵S2=52S1，
∴OA=52BH，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得c=24a+2b+c=09a+3b+c=5，
解得a=2b=-5c=2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．
25．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解答】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1和2，
故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
（2）OA=22+1=5，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；
（3）存在，理由：
①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，
图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，
设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，
则AN＝AH＝﹣k，AB=k2+1，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（k2+1+k）2，
解得：m＝﹣k2﹣kk2+1，
在△AHM中，tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，
解得：k=±3，
此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k=-3；
②当点B在x轴下方时，
同理可得：tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=-（k+2），
解得：k=-4-73或-4+73，
此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去-4+73，
故k的值为：-3或-4-73．
26．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【解答】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
a-b+3=09a+3b+3=0，解得：a=-1b=2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为-12时，点Q的横坐标为72，
∴此时点P的坐标为（-12，74），点Q的坐标为（72，-94）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y＝mx+n，得：
-12m+n=7472m+n=-94，解得：m=-1n=54，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x+54．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+54），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+54）＝﹣x2+3x+74，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQE=12DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ=12DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
27．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝ 1 ，n＝ ﹣2 ；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．
【解答】（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4中，得﹣1﹣b+4＝2，
∴b＝1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4中，得n＝﹣9+3+4＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+a，由（1）知，点B（3，﹣2），
∵A（﹣1，2），
∴-k+a=23k+a=-2，
∴k=-1a=1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
∵点P（m，0），
∴M（m，﹣m+1），N（m，﹣m2+m+4），
∵点N在点M的上方，且MN＝3，
∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3，
∴m＝0或m＝2；
（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5，
令y＝0，则﹣x+5＝0，
∴x＝5，
∴C（5，0），
∵A（﹣1，2），B（3，﹣2），
∴直线AC的解析式为y=-13x+53，直线BC的解析式为y＝x﹣5，
过点N作y轴的平行线交AC于K，交BC于H，∵点P（m，0），
∴N（m，﹣m2+m+4），K（m，-13m+53），H（m，m﹣5），
∴NK＝﹣m2+m+4+13m-53=-m2+43m+73，NH＝﹣m2+9，
∴S2＝S△NAC=12NK×（xC﹣xA）=12（﹣m2+43m+73）×6＝﹣3m2+4m+7，
S1＝S△NBC=12NH×（xC﹣xB）＝﹣m2+9，
∵S1﹣S2＝6，
∴﹣m2+9﹣（﹣3m2+4m+7）＝6，
∴m＝1+3（由于点N在直线AC上方，所以，舍去）或m＝1-3；
∴S2＝﹣3m2+4m+7＝﹣3（1-3）2+4（1-3）+7＝23-1，
S1＝﹣m2+9＝﹣（1-3）2+9＝23+5；
②如图2，
记直线AB与x轴，y轴的交点为I，L，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴I（1，0），L（0，1），
∴OL＝OI，
∴∠ALD＝∠OLI＝45°，
∴∠AOD+∠OAB＝45°，
过点B作BG∥OA，
∴∠ABG＝∠OAB，
∴∠AOD+∠ABG＝45°，
∵∠FBA＝∠ABG+∠FBG，∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，
∴∠ABG+∠FBG+∠AOD﹣∠BFC＝45°，
∴∠FBG＝∠BFC，
∴BG∥CF，
∴OA∥CF，
∵A（﹣1，2），
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
∵C（5，0），
∴直线CF的解析式为y＝﹣2x+10，
过点A，F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点Q，S，
∵∠AQM＝∠MSF＝90°，
∵点M在直线AB上，m＞﹣1，
∴M（m，﹣m+1），
∴A（﹣1，2），
∴MQ＝m+1，
设点F（n，﹣2n+10），
∴FS＝﹣2n+10+m﹣1＝﹣2n+m+9，
由旋转知，AM＝MF，∠AMF＝90°，
∴∠MAQ+∠AMQ＝90°＝∠AMQ+∠FMS，
∴∠MAQ＝∠FMS，
∴△AQM≌△MSF（AAS），
∴FS＝MQ，
∴﹣2n+m+9＝m+1，
∴n＝4，
∴F（4，2），
∴直线OF的解析式为y=12x①，
∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4②，
联立①②解得，x=1+654y=1+658或x=1-654y=1-658，
∴直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为1+654或1-654．
28．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3
将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a=-316
∴二次函数的表达式为：y=-316（x﹣1）2+3
（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，
代入得0=5k+b3=k+b，解得k=-34b=154
∴线段BD所在的直线为y=-34x+154，
设点E的坐标为：（x，-34x+154）
∴ED2＝（x﹣1）2+（-34x+154-3）2，
EF2=(-34x+154)2
∵ED＝EF，
∴（x﹣1）2+（-34x+154-3）2=(-34x+154)2，
整理得2x2+5x﹣25＝0，
解得x1=52，x2＝﹣5（舍去）．
故点E的纵坐标为y=-34×52+154=158
∴点E的坐标为(52，158)
（3）存在点G，
当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．
由题意：AE：BF＝3：5，
∵BF∥AE，
∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，
∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，
解得t＝﹣15，
∴直线DG的解析式为y=316x+4516，
由y=316x+4516y=-316(x-1)2+3，
解得x=0y=4516或x=1y=3，
∴G（0，4516）．
当点G在x轴下方时，如图2所示，
∵AO：OB＝3：5
∴当△ADG与△BDG的高相等时，
存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，
此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，
将点D代入得k＝3，
故y＝3x，
则有y=3xy=-316(x-1)2+3
整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，
得x1＝1（舍去），x2＝﹣15
当x＝﹣15时，y＝﹣45，
故点G为（﹣15，﹣45）．
综上所述，点G的坐标为（0，4516）或（﹣15，﹣45）．
29．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【解答】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，
得4a+2b+3=036a+6b+3=0，
解得a=14b=-2
∴二次函数的解析式为y=14x2-2x+3．
∵y=14x2-2x+3=14(x-4)2-1，
∴E（4，﹣1）．
（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32．
解得m＝3±29．
∴满足条件的点D的坐标为（4，3+29）或(4，3-29)．
（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，14n2-2n+3），则Q（12n，18n2-n+32），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则18n2-n+32=12nk+3．
解得k=14n-2-3n，于是CQ：y＝（14n-2-3n）x+3，
当x＝4时，y＝4（14n-2-3n）+3＝n﹣5-12n，
∴M（4，n﹣5-12n），ME＝n﹣4-12n．
∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM=12×12n⋅ME=12⋅12n⋅(n-4-12n)=12．
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
30．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴1+b+c=00+0+c=-3 解得：b=2c=-3
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC=12+32=10，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO=OAAC=1010，cos∠ACO=OCAC=31010
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG=BGAB=1010
∴BG=1010AB=2105
∴BH＝2BG=4105
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI=HIBH=1010，cos∠HBI=BIBH=31010
∴HI=1010BH=45，BI=31010BH=125
∴xH＝﹣3+45=-115，yH=-125，即H（-115，-125）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴k+a=0-115k+a=-125 解得：k=34a=-34
∴直线AH：y=34x-34
∵y=34x-34y=x2+2x-3 解得：x1=1y1=0（即点A），x2=-94y2=-3916
∴P（-94，-3916）；
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称
∴H'（-115，125）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴k'+a'=0-115k'+a'=125 解得：k'=-34a'=34
∴直线AH'：y=-34x+34
∵y=-34x+34y=x2+2x-3 解得：x1=1y1=0（即点A），x2=-154y2=5716
∴P（-154，5716）．
综上所述，点P的坐标为（-154，5716）或（-94，-3916）．
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
设直线AQ解析式为y＝dx+e
∴d+e=0dt+e=t2+2t-3 解得：d=t+3e=-t-3
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
设直线BQ解析式为y＝mx+n
∴-3m+n=0mt+n=t2+2t-3 解得：m=t-1n=3t-3
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
31．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
【解答】（1）∵y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3），
∴A（a，0），B（3，0）．
当x＝0时，y＝3a，
∴D（0，3a）；
（2）∵A（a，0），B（3，0），
∴对称轴直线方程为：x=3+a2．
当x=3+a2时，y＝﹣（3-a2）2，
∴C（3+a2，﹣（3-a2）2），
PB＝3-3+a2，PC＝（3-a2）2，
①若△AOD∽△BPC时，则AOBP=DOCP，即a3-3+a2=3a(3-a2)2，
解得a＝0或a＝±3（舍去）；
②若△AOD∽△CPB时，则AOCP=DOPB，即a(3-a2)2=3a3-3+a2，
解得a＝3（舍去）或a=73．
所以a的值是73．
（3）能．理由如下：
联结BD，取中点M
∵D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（32，32a）．
若点C也在圆上，则MC＝MB．即（32-3+a2）2+（32a+（3-a2）2）2＝（32-3）2+（32a﹣0）2，
整理，得
a4﹣14a2+45＝0，
所以（a2﹣5）（a2﹣9）＝0，
解得a1=5，a2=-5（舍），a3＝3（舍），a4＝﹣3（舍），
∴a=5．
32．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及ACBC的值；
（2）随着a的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
【解答】（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，
∵ME∥FN∥x轴，
∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，
∴MEAC=DEDC，BCFN=DCDF，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D（1，5），N（4，﹣4），
则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，
∴2AC=45，BC3=59，解得：AC=52，BC=53，
∴ACBC=32；
（2）不变，理由：
∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣2a），
∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），
∴ME＝2，DE＝﹣4a，
由（1）的结论得：AC=1-4a-2a，BC=1-4a-3a，
∴ACBC=32；
（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，
∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH=1-4a6，
∵BC=4a-13a，
∴CH=54×4a-13a=20a-512a，
∴F（53-512a+1，16-23a），
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
16-23a＝a（53-512a+1+1）（53-512a+1﹣3）+1，
解得：a=-54或14（舍弃），
经检验a=-54，
故y=-54x2+52x+194．
33．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 （2，9） ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n=275时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 95＜n＜215 ．
【解答】（1）顶点为D（2，9）；
故答案为（2，9）；
（2）对称轴x＝2，
∴C（2，95），
由已知可求A（-52，0），
点A关于x＝2对称点为（132，0），
则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，
∴B（5，3），
①当n=275时，N（2，275），
∴DA=952，DN=185，CD=365
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，
∴△DAC∽△DPN，
∴DPDA=DNDC，
∴DP=945；
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，
∴△DNQ∽△DCA，
∴DPDB=DQDA=DNDC
∴DP=325；
综上所述，DP=325，DP=945；
②当PQ∥AB，DB＝DP时，
DB＝35，
∴DPDA=DNDC，
∴DN=245，
∴N（2，215），
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，95＜n＜215；
故答案为95＜n＜215；
34．（2018•镇江）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于 6 ．
【解答】（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得OA'OA=OB'OB=2
∵A（4，4），B（3，0）
∴A′（8，8），B′（6，0）
将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y＝ax2+bx+c
得c=036a+6b=064a+8b=0
解得a=12b=-3c=0
∴二次函数的解析式为y=12x2﹣3x；
（2）①∵点P在y＝x2﹣3x的图象上，
∴n＝m2﹣3m，
∴P（m，m2﹣3m），
设直线OP的解析式为y＝kx
将点P代入，得mk＝m2﹣3m，解得k＝m﹣3，
∴OP：y＝（m﹣3）x
∵直线OP与y=12x2﹣3x交于点Q
∴12x2﹣3x＝（m﹣3）x，解得x1＝0（舍），x2＝2m，
∴Q（2m，2m2﹣6m）
②∵P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上
∴n＝m2﹣3m
∴P（m，m2﹣3m）
设直线OP的解析式为y＝kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，
得mk＝m2﹣3m
∴k＝m﹣3
∴OP的解析是为y＝（m﹣3）x
∵OP与y═12x2﹣3x交于Q点
∴y=(m-3)xy=12x2-3x
解得x=0y=0（不符合题意舍去）x=2my=2m2-6m
∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D
则OC＝|m|，PC＝|m2﹣3m|，OD＝|2m|，QD＝|2m2﹣6m|
∵ODOC=OQOP=2
∴△OCP∽△ODQ
∴OQ＝2OP
∵2AP＞OQ
∴2AP＞2OP，即AP＞OP
∴(m-4)2+(m2-3m-4)2＞m2+(m2-3m)2
化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1-5＜m＜1+5，且m≠0；
③P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）
∵点Q在第一象限，
∴2m＞02m2-6m＞0，解得＞3
由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y＝2m2﹣6m
∵QQ′交y=12x2﹣3x交于点Q′
y=12x2-3xy=2m2-6m
解得x=2my=2m2-6m（不符合题意，舍）x=6-2my=2m2-6m
∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）
设OQ′的解析是为y＝kx，（6﹣2m）k＝2m2﹣6m
解得k＝﹣m，OQ′的解析式为y＝﹣m
∵OQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x1＝0（舍），x2＝3﹣m
∴P′（3﹣m，m2﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x1＝0（舍去），x2＝3﹣m
∴P′（3﹣m，m2﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点M、N
∴x2﹣3x＝2m2﹣6m
解得x1=3+8m2-24m+92，x2=3-8m2-24m+92
∵M在N左侧
∴M（3+8m2-24m+92，2m2﹣6m）
N（3-8m2-24m+92，2m2﹣6m）
∵△Q′P′M∽△QB′N
∴P'Q'QB'=QMQN
∵(P'QQB)2=(3-m)2+(m2-3m)2(2m-6)2+(2m2-6m)2=14
即3-8m2-24m+9-(6-2m)2m-3+8m224m+92=12
化简得m2﹣12m+27＝0
解得：m1＝3（舍），m2＝9
∴N（12，108），Q（18，108）
∴QN＝6．
故答案为：6．
35．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
【解答】（1）当y＝0时，12x2-32x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x=32，
∴点P在直线x=32上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x=32的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（32，﹣5）
（3）由题意，AB＝5，CB＝25，CA=5，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵y=12x2-32x﹣2=12（x-32）2-258，
∴顶点D（32，-258），
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，QPDP=ACBC=12，
设Q（x，12x2-32x﹣2），则P（32，12x2-32x﹣2），
∴DP=12x2-32x﹣2﹣（-258）=12x2-32x+98，QP＝x-32，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3=12x2-32x+98，解得x=112或32（舍弃），
∴P（32，398）．
②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，
x-32=x2﹣3x+94，
解得x=52或32（舍弃），
∴P（32，-218）．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，PQDQ=ACBC=12，
过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴QMMD=PQDQ=12，由图3﹣3可知，M（32，398），Q（112，398），
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝45，
由DQDM=PDDQ，可得PD＝10，
∵D（32，-258）
∴P（32，558）．
②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．
同法可得M（32，-218），Q（52，-218），
∴DM=12，QM＝1，QD=52，
由QDDM=PDDQ，可得PD=52，
∴P（32，-58）．
36．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=-12x2-32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
【解答】（1）将x＝2代入y=-12x2-32x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），
将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
-3=22+2b+c-3=0+0+c，解得b=-2c=-3，
∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
第一种情况：AC为平行四边形的一条边，
①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），
将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y=-12x2-32x+2，得
x2﹣2x﹣3=-12（x+2）2-32（x+2）+2，
解得x＝0或x＝﹣1，
因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），
将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y=-12x2-32x+2，得
x2﹣2x﹣3=-12（x﹣2）2-32（x﹣2）+2，
解得，x＝3，或x=-43，
此时点P的坐标为（3，0）或（-43，139）；
第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，
由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），
故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），
将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y=-12x2-32x+2，得
﹣x2+2x﹣3═-12（2﹣x）2-32（2﹣x）+2，
解得，x＝0或x＝﹣3，
因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为（﹣3，12）．
综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（-43，139）或（﹣3，12）；
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，
由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，
∴△PSC∽△RTC，
∴PSCS=RTCT，
设点P坐标为（x1，x12-2x1-3），点R坐标为（x2，x22-2x2-3），
所以有x1x12-2x1-3-(-3)=x2-3-(x22-2x2-3)，
整理得，x1+x2＝4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH=PHRH=x12-2x1-3-(x22-2x2-3)x1-x2=x1+x2-2=2
过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，-12m2-32m+2），
若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，
所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，
所以2m=-12m2-32m+2，
解得，m=-7±652，
所以点Q坐标为（-7+652，﹣7+65）或（-7-652，﹣7-65）．
37．（2018•连云港）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
【解答】（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1＝kx2+m（k＜0）的图象上，
∴k+m=0m=1，
∴k=-1m=1，
∴二次函数解析式为y1＝﹣x2+1，
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2＝ax2+b（a＞0）的图象上，
∴a+b=0b=-3，
∴a=3b=-3，
∴二次函数y2＝3x2﹣3；
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，
∴MM'＝（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）＝4﹣4m2，
由抛物线的对称性知，若有内接正方形，
∴2m＝4﹣4m2，
∴m=-1+174或m=-1-174（舍），
∵0＜-1+174＜1，
∴MM'=-1+172
∴存在内接正方形，此时其边长为-1+172；
（3）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，
∴AD=OA2+OD2=10，
同理：CD=10，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，
∴BC=OC2+OB2=2，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB＝∠ADO，
∴在y轴上存在E，由DBDA=DCDE，
∴410=10DE，
∴DE=52，
∵D（0，﹣3），
∴E（0，-12），
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分线EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴DEDA=DFDO=EFAO，
∴2.510=DF3=EF1，
∴DF=3104，EF=104，
∵S△DEE'=12DE•E'M＝EF×DF=158，
∴E'M=32，
∵DE'＝DE=52，
在Rt△DE'M中，DM=DE'2-E'M2=2，
∴OM＝1，
∴E'（32，﹣1），
②如图2，
当△DBC∽△ADE时，有∠BDC＝∠DAE，DBAD=DCAE，
∴410=10AE，
∴AE=52，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，
∴PD＝PA，
设PD＝n，
∴PO＝3﹣n，PA＝n，
在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，
∴n2＝（3﹣n）2+1，
∴n=53，
∴PA=53，PO=43，
∵AE=52，
∴PE=56，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴APPE=AOOQ，
∴OQ=12，
∵OPPE=APAE=23，
∴QE＝2，
∴E（-12，﹣2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE=AQ2+QE2=52，
∴AE'=52
∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，-52），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，-12）或（32，﹣1）或（1，-52）或（-12，﹣2）．
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