2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题15 相似三角形

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2018-2020江苏中考数学试题汇编
——相似三角形
一．选择题（共2小题）
1．（2019•常州）若△，相似比为，则与△的周长的比为
　　
A． B． C． D．
2．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
②与可能相似；
③四边形面积的最大值为；
④四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为　　
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二．填空题（共6小题）
3．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于　　．

第3题 第4题 第5题
4．（2019•苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为　　（结果保留根号）．

5．（2018•常州）如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是　　．
6．（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为　　．

第6题 第7题 第8题
7．（2020•盐城）如图，，且，，．则的值为　　．
8．（2019•连云港）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是　　．
三．解答题（共18小题）
9．（2020•南京）如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．
10．（2018•南京）如图，在正方形中，是上一点，连接．过点作，垂足为，经过点、、，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，，求的半径．

11．（2020•徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为　　；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．


12．（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）求的面积；
（3）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．




13．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片对折，折痕为．展平后，再将点折叠在边上（不与、重合），折痕为，点在上的对应点为，设与交于点，连接．已知．
（1）若为的中点，求的长；
（2）随着点在边上取不同的位置，
①的形状是否发生变化？请说明理由；
②求的周长的取值范围．








14．（2020•苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

15．（2019•苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．


16．（2018•苏州）问题1：如图①，在中，，是上一点（不与，重合），，交于点，连接．设的面积为，的面积为．
（1）当时，　　；
（2）设，请你用含字母的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形中，，，，是上一点（不与，重合），，交于点，连接．设，四边形的面积为，的面积为．请你利用问题1的解法或结论，用含字母的代数式表示．

17．（2020•扬州）如图1，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）当四边形的周长取最大值时，求的值．

18．（2019•泰州）如图，四边形内接于，为的直径，为的中点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为5，，求的长．


19．（2019•泰州）如图，线段，射线，为射线上一点，以为边作正方形，且点、与点在两侧，在线段上取一点，使，直线与线段相交于点（点与点、不重合）．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）求的周长．





20．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．








21．（2018•盐城）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、．将沿翻折后得到．
（1）试说明点在上；
（2）在线段的延长线上取一点，使．求证：为的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长．







22．（2020•淮安）初步尝试
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　　；
思考说理
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
拓展延伸
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．













23．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形中，，点在边上，，求证：．
【探究】如图②，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，，且，连接交于点．
求证：．
【拓展】如图③，点在四边形内，十，且，过作交于点，若，延长交于点．求证：．










2018-2020江苏中考数学试题汇编
——相似三角形
一．选择题（共2小题）
1．（2019•常州）若△，相似比为，则与△的周长的比为
　　
A． B． C． D．
【解答】△，相似比为，与△的周长的比为．
故选：．
2．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
②与可能相似；
③四边形面积的最大值为；
④四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为　　
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解答】①通的最大值为，的最小值为，所以，故①错误．
②设，则，
，
当或时，与相似，
即或，解得或或，
当或或时，两三角形相似，故②正确
③设，则四边形的面积
，
的最大值为，
时，四边形的面积最大，最大值，故③正确，
如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小．
过点作交的延长线于，交于．
由题意，，，，，
，
，
四边形的周长的最小值，故④错误，
故选：．
二．填空题（共6小题）
3．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于　　．

第3题 第4题 第5题
【解答】，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4．（2019•苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为　　（结果保留根号）．
【解答】如图，
，
含有角的直角三角板，
，，
，
图中阴影部分的面积为：



答：图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
5．（2018•常州）如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是　　．
【解答】如图所示，过作交于或交于，则或，
此时；

如图所示，过作交于，则，
此时；

如图所示，过作交于，则，
此时，，
当点与点重合时，，即，
，，
此时，；

综上所述，长的取值范围是．
故答案为：．
6．（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为　　．

第6题 第7题 第8题
【解答】如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于．

，，，
，，
，
，
设，，
，
或（舍弃），
，
四边形是矩形，
，
设，，，
，，，
，
，，，设，
在中，则有，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长，
故答案为25．

7．（2020•盐城）如图，，且，，．则的值为　　．
【解答】，
，
，即，
，
，
，，
，
故答案为：2．
8．（2019•连云港）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是　　．
【解答】方法1、设的半径为，
如图，作的平行线，使切于，
则与的最大距离为，
与相切，
点到的距离为，
四边形是矩形，
点到的距离为，
点到的最大距离为，
的最大值为；
三．解答题（共18小题）
9．（2020•南京）如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
△，
，
，
△．
故答案为：，．
（2）如图，过点，分别作，，交于，交于．

，
，
，
同理，，
，
，
，
同理，，
，即，
，
，
，
△，
，
，
，
同理，，
，
，
△．
10．（2018•南京）如图，在正方形中，是上一点，连接．过点作，垂足为，经过点、、，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，，求的半径．

【解答】（1）证明：在正方形中，，
，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
．
（2）如图，连接．
，，
，
，即，
，
，
，
在正方形中，，
，，
，
，
是的直径，
的半径为．
11．（2020•徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为　　；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

【解答】（1）点为线段的黄金分割点，，
．
故答案为：．
（2）延长，交于点，

四边形为正方形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
．
，
即，
，
，
是的黄金分割点；
（3）当时，满足题意．
理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
当、恰好分别是、的黄金分割点时，
，
，
，，
，
，
．
12．（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）求的面积；
（3）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）如图，作于，于，于．
，
，，
，
，，
同理可证：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
可以假设，
在上，
，
，
，
．
（2）证明，得，可求的面积等于9．
（3）设，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积的最大值为．
13．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片对折，折痕为．展平后，再将点折叠在边上（不与、重合），折痕为，点在上的对应点为，设与交于点，连接．已知．
（1）若为的中点，求的长；
（2）随着点在边上取不同的位置，
①的形状是否发生变化？请说明理由；
②求的周长的取值范围．

【解答】（1）为的中点，
，
由折叠的性质可知，，
设，则，
在中，，即，
解得，，即；
（2）①的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，
理由如下：由折叠的性质可知，，
是中垂线，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．

②是等腰直角三角形，设，
由勾股定理可知：，
的周长，
，
的周长满足：．
14．（2020•苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
（2）是的中点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．

15．（2019•苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．

【解答】（1）因为点是弧的中点，
所以，即，
而，
所以，
所以；
（2），
，
，
；
（3），连接，则，
，在中，，
设：，则，
而，则，
，
，
而，
即和的相似比为3，
设：，则，，
，
，，
．
16．（2018•苏州）问题1：如图①，在中，，是上一点（不与，重合），，交于点，连接．设的面积为，的面积为．
（1）当时，　　；
（2）设，请你用含字母的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形中，，，，是上一点（不与，重合），，交于点，连接．设，四边形的面积为，的面积为．请你利用问题1的解法或结论，用含字母的代数式表示．

【解答】问题
（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；

问题2：如图2，
如图2，分别延长、交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
由问题1的解法可知：，
，
，
，即；

17．（2020•扬州）如图1，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）当四边形的周长取最大值时，求的值．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
又，
，
；
（2）如图1，

，
，
设，则．
，，
，
，
，
，
，
，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
（3）如图2，
，，
，
，
设，，则，
，
，
解得：，
，
，，
为的中点，
又为的中点，
，
四边形的周长为
，
，
时，四边形的周长有最大值为10．
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
，，
．

18．（2019•泰州）如图，四边形内接于，为的直径，为的中点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为5，，求的长．

【解答】（1）与相切，
理由：连接，
为的直径，
，
为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
与相切；
（2）的半径为5，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

19．（2019•泰州）如图，线段，射线，为射线上一点，以为边作正方形，且点、与点在两侧，在线段上取一点，使，直线与线段相交于点（点与点、不重合）．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）求的周长．
【解答】（1）证明：四边形正方形，
平分，，
，
；
（2），理由如下：
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）过点 作．
，，
，
，
又，
，
，，
，
，







．
20．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．


【解答】证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
21．（2018•盐城）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、．将沿翻折后得到．
（1）试说明点在上；
（2）在线段的延长线上取一点，使．求证：为的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长．

【解答】（1）为的直径，
，
将沿翻折后得到，
，
，
连接，
则，
点在以为直径的上；
（2），
，
，
，即，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（3）、，，
，
，
，
解得：，
，
四边形内接于，
，即，
又，
，
，
又，
，
，
，即，
，
在中，，
，
整理，得：，
解得：（舍或，
．
22．（2020•淮安）初步尝试
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　　；
思考说理
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
拓展延伸
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

【解答】（1）如图①中，
折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）如图②中，

，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，

，
，
，
，
．

②如图③中，
，，，
，
，
，
，
点在线段上运动，，，
，
．
23．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形中，，点在边上，，求证：．
【探究】如图②，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，，且，连接交于点．
求证：．
【拓展】如图③，点在四边形内，十，且，过作交于点，若，延长交于点．求证：．

【解答】【感知】证明：，
，
，
，
．
【探究】证明：如图1，过点作于点，由（1）可知，
，
，
，
又，，
，
，
【拓展】证明：如图2，在上取点，使，
过点作，交的延长线于点，则，
，，
，
，
，
，，
而，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，，
，
．