2021-2022学年云南弥勒市中考数学押题卷含解析

这是一份2021-2022学年云南弥勒市中考数学押题卷含解析，共21页。试卷主要包含了下列运算正确的是，的相反数是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列命题中，错误的是（　　）
A．三角形的两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分
2．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．180°
3．下列等式正确的是（　　）
A．（a+b）2=a2+b2 B．3n+3n+3n=3n+1
C．a3+a3=a6 D．（ab）2=a
4．1cm2的电子屏上约有细菌135000个，135000用科学记数法表示为（　　）
A．0.135×106 B．1.35×105 C．13.5×104 D．135×103
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．（a3）2÷a6=1 C．a2•a3=a6 D．（+）2=5
6．的相反数是 （ ）
A． B． C．3 D．-3
7．2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为（ ）
A．0.555×104 B．5.55×103 C．5.55×104 D．55.5×103
8．黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（　　）

A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时
C．3.636×106立方米/时 D．36.36×105立方米/时
9．函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x=3 D．x≠3
10．某校航模小分队年龄情况如表所示，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（　　）
年龄（岁）
12
13
14
15
16
人数
1
2
2
5
2
A．2，14岁 B．2，15岁 C．19岁，20岁 D．15岁，15岁
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+化简为_____．

12．无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学记数法可以表示为_____秒．
13．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______________．
14．如图，已知点A（2，2）在双曲线上，将线段OA沿x轴正方向平移，若平移后的线段O'A'与双曲线的交点D恰为O'A'的中点，则平移距离OO'长为____．

15．已知|x|=3，y2=16，xy＜0，则x﹣y=_____．
16．计算的结果等于_____．
17．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝3，则CG+9＝______．（直接写出答案）．

19．（5分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
(1)分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
(2)函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；
(3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为 .

20．（8分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，求旗杆AB的髙．

21．（10分）图 1 和图 2 中，优弧纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝2 ，点 P为优弧上一点（点 P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′．

发现：
（1）点 O 到弦 AB 的距离是 ，当 BP 经过点 O 时，∠ABA′＝ ；
（2）当 BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．
拓展：把上图中的优弧纸片沿直径 MN 剪裁，得到半圆形纸片，点 P（不与点 M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿 NP 折叠，分别得到点 M，O 的对称点 A′， O′，设∠MNP＝α．
（1）当α＝15°时，过点 A′作 A′C∥MN，如图 3，判断 A′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆 O 相切，当α＝ °时，点 O′落在上．
（3）当线段 NO′与半圆 O 只有一个公共点 N 时，直接写出β的取值范围．
22．（10分）某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
23．（12分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．
24．（14分）如图，抛物线交X轴于A、B两点，交Y轴于点C ，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在直接写出P的坐标，若不存在请说明理由。



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
根据三角形的性质即可作出判断．
【详解】
解：A、正确，符合三角形三边关系；
B、正确；三角形外角和定理；
C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
2、C
【解析】
求出正三角形的中心角即可得解
【详解】
正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，
故选C．
【点睛】
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键
3、B
【解析】
（1）根据完全平方公式进行解答；
（2）根据合并同类项进行解答；
（3）根据合并同类项进行解答；
（4）根据幂的乘方进行解答.
【详解】
解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
B、3n+3n+3n=3n+1，正确；
C、a3+a3=2a3，故此选项错误；
D、（ab）2=a2b，故此选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查整数指数幂和整式的运算，解题关键是掌握各自性质.
4、B
【解析】
根据科学记数法的表示形式（a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数）．
【详解】
解：135000用科学记数法表示为：1.35×1．
故选B．
【点睛】
科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5、B
【解析】
利用合并同类项对A进行判断；根据幂的乘方和同底数幂的除法对B进行判断；根据同底数幂的乘法法则对C进行判断；利用完全平方公式对D进行判断．
【详解】
解：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=a6÷a6=1，所以A选项正确；
C、原式=a5，所以C选项错误；
D、原式=2+2+3=5+2，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘除、二次根式的混合运算，：二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6、B
【解析】
先求的绝对值，再求其相反数：
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是；
相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．因此的相反数是．故选B．
7、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：5550=5.55×1．
故选B．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
1010×360×24=3.636×106立方米/时，
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9、D
【解析】
由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选D．
10、D
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】
解：数据1出现了5次，最多，故为众数为1；
按大小排列第6和第7个数均是1，所以中位数是1．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、2a﹣b．
【解析】
直接利用数轴上a，b的位置进而得出b﹣a＜0，a＞0，再化简得出答案．
【详解】
解：由数轴可得：
b﹣a＜0，a＞0，
则|b﹣a|+
=a﹣b+a
=2a﹣b．
故答案为2a﹣b．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．
12、5
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.005=5×10-1，
故答案为：5×10-1．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13、a＜8，且a≠1
【解析】
分式方程去分母得：x=2x-8+a，
解得：x=8- a，
根据题意得：8- a＞2，8- a≠1，
解得：a＜8，且a≠1．
故答案为：a＜8，且a≠1．
【点睛】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a的范围即可．此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为2．
14、1．
【解析】
直接利用平移的性质以及反比例函数图象上点的坐标性质得出D点坐标进而得出答案．
【详解】
∵点 A(2，2)在双曲线上，
∴k＝4，
∵平移后的线段O'A'与双曲线的交点 D 恰为 O'A'的中点，
∴D点纵坐标为：1，
∴DE＝1，O′E＝1，
∴D点横坐标为：x＝＝4，
∴OO′＝1，
故答案为1．

【点睛】
本题考查了反比例函数图象上的性质，正确得出D点坐标是解题关键．
15、±3
【解析】分析：本题是绝对值、平方根和有理数减法的综合试题，同时本题还渗透了分类讨论的数学思想．
详解：因为|x|=1，所以x=±1．
因为y2=16，所以y=±2．
又因为xy＜0，所以x、y异号，
当x=1时，y=-2，所以x-y=3；
当x=-1时，y=2，所以x-y=-3．
故答案为：±3.
点睛：本题是一道综合试题，本题中有分类的数学思想，求解时要注意分类讨论．
16、
【解析】
分析：直接利用二次根式的性质进行化简即可．
详解：==．
故答案为．
点睛：本题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
17、2
【解析】
试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=2﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（2﹣x）2=42+x2，解得：x=1．∴AH=1，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．
∴C△EBF==C△HAE=2．
考点：1折叠问题；2勾股定理；1相似三角形.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）证明见解析；（2）y＝x2（x＞0）；（3）①π或8π或（2+2）π；②4．
【解析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得=，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，
∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴y＝x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．

∵GH垂直平分线段AD，
∴FA＝FD，
∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，
∴AB＝，
∴⊙O的面积为π．
如图2中，当AF＝AO时，

∵AB＝＝，
∴OA＝，
∵AF＝＝，
∴＝，
解得x＝4（负根已经舍弃），
∴AB＝，
∴⊙O的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝，

∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴16＝x•，
解得x2＝2﹣2（负根已经舍弃），
∴AB2＝16+4x2＝8+8，
∴⊙O的面积＝π••AB2＝（2+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为π或8π或（2+2）π；
②如图3中，连接CG．

∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝5，
∴OH＝OA＝，
∴AE＝，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH＝＝，
∵EF＝x2＝，
∴FG＝﹣，AF＝＝，AH＝＝，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，
∴△CFG∽△HFA，
∴，
∴，
∴CG＝﹣，
∴CG+9＝4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19、详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（1）①首先由函数y=1x1﹣bx=x，求得x（1x﹣b﹣1）=2，然后由其不变长度为零，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；
（3）由记函数y=x1﹣1x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G1，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．
试题解析：解：（1）∵函数y=x﹣1，令y=x，则x﹣1=x，无解；
∴函数y=x﹣1没有不变值；
∵y=x-1 =，令y=x，则，解得：x=±1，∴函数的不变值为±1，q=1﹣（﹣1）=1．∵函数y=x1，令y=x，则x=x1，解得：x1=2，x1=1，∴函数y=x1的不变值为：2或1，q=1﹣2=1；
（1）①函数y=1x1﹣bx，令y=x，则x=1x1﹣bx，整理得：x（1x﹣b﹣1）=2．∵q=2，∴x=2且1x﹣b﹣1=2，解得：b=﹣1；
②由①知：x（1x﹣b﹣1）=2，∴x=2或1x﹣b﹣1=2，解得：x1=2，x1=．∵1≤b≤3，∴1≤x1≤1，∴1﹣2≤q≤1﹣2，∴1≤q≤1；
（3）∵记函数y=x1﹣1x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G1，∴函数G的图象关于x=m对称，∴G：y= ．∵当x1﹣1x=x时，x3=2，x4=3；
当（1m﹣x）1﹣1（1m﹣x）=x时，△=1+8m，当△＜2，即m＜﹣时，q=x4﹣x3=3；
当△≥2，即m≥﹣时，x5=，x6=．
①当﹣≤m≤2时，x3=2，x4=3，∴x6＜2，∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当x5=x4时，m=1，当x6=x3时，m=3；
当2＜m＜1时，x3=2（舍去），x4=3，此时2＜x5＜x4，x6＜2，q=x4﹣x6＞3（舍去）；
当1≤m≤3时，x3=2（舍去），x4=3，此时2＜x5＜x4，x6＞2，q=x4﹣x6＜3；
当m＞3时，x3=2（舍去），x4=3（舍去），此时x5＞3，x6＜2，q=x5﹣x6＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．
点睛：本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解答此题的关键．
20、 (8+8)m．
【解析】
利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，由AB=AE+BE可得答案．
【详解】
在Rt△EBC中，有BE=EC×tan45°=8m，
在Rt△AEC中，有AE=EC×tan30°=8m，
∴AB=8+8（m）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
21、发现：（1）1，60°；（2）2；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°．
【解析】
发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C与半圆相切；
（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在时，连接MO′，则可知NO′=MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；
（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
【详解】
发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,

∵⊙O的半径为2，AB=2，
∴OH==
在△BOH中，OH=1，BO=2
∴∠ABO=30°
∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
∴∠OBA′=∠ABO=30°
∴∠ABA′=60°
（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．
∵OG⊥BP，∴BG=PG=．
∴BP=2．∴折痕的长为2
拓展：（1）相切．
分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，
∵A'C∥MN
∴四边形A'HOD是矩形
∴A'H=O
∵α=15°∴∠A'NH=30
∴OD=A'H=A'N=MN=2
∴A'C与半圆
（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，
∴∠ONA′=2α=90°，
∴α=45

当O′在上时，连接MO′，则可知NO′=MN，
∴∠O′MN=0°
∴∠MNO′=60°，
∴α=30°，
故答案为：45°；30°．
（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，
由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，
∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；
当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．
当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，
∴α＜90°，
∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．
综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、（1）购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元（2）这所学校最多可购买2个乙种足球
【解析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球．
【详解】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+2）元，
根据题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝1．
答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元．
（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，
根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+1×（1﹣10%）m≤2910，
解得：m≤2．
答：这所学校最多可购买2个乙种足球．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系．
23、 ，当m=0时，原式=﹣1．
【解析】
原式括号中两项通分，并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果.根据分数分母不为零的性质，不等于-1、2，将代入原式即可解出答案.
【详解】
解：原式，
，
，
，
∵且，
∴当时，原式．
【点睛】
本题主要考查分数的性质、通分，四则运算法则以及倒数.
24、（1）；（2） （3，-4） 或（5,4）或（-5,4）
【解析】
（1）设|OA|=1，确定A,B,C三点坐标，然后用待定系数法即可完成；
（2）先画出存在的点，然后通过平移和计算确定坐标；
【详解】
解：（1）设|OA|=1，则A(-1，0)，B(4，0)C（0,4）
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
则有： 解得
所以函数解析式为：
（2）存在，（3，-4） 或（5,4）或（-5,4）
理由如下：如图：

P1相当于C点向右平移了5个单位长度，则坐标为（5，4）；
P2相当于C点向左平移了5个单位长度，则坐标为（-5，4）；
设P3坐标为（m，n）在第四象限，要使A P3BC是平行四边形，
则有A P3=BC, B P3=AC
∴ 即 （舍去）
P3坐标为（3，-4）
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式，通过作图确认平行四边形存在，然后通过观察和计算确定P点坐标；解题的关键在于规范作图，以便于树形结合.