2021-2022学年浙江省杭州市西湖区市级名校中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（　　）

A．2π B．4π C．5π D．6π

2．在中，，，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

3．实数﹣5.22的绝对值是（　　）

A．5.22 B．﹣5.22 C．±5.22 D．

4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若AC＝CD＝DB，则cos∠CAD ＝（    ）

A． B． C． D．

5．-2的绝对值是（）

A．2 B．-2 C．±2 D．

6．下列实数中是无理数的是（　　）

A． B．2﹣2 C．5. D．sin45°

7．某种微生物半径约为0.00000637米，该数字用科学记数法可表示为（　　）

A．0.637×10﹣5    B．6.37×10﹣6    C．63.7×10﹣7    D．6.37×10﹣7

8．已知3x+y＝6，则xy的最大值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

9．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（ ）

A． B． C． D．

10．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（　　）

A．80° B．80°或50° C．20° D．80°或20°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为_______.

12．已知图中Rt△ABC，∠B=90°,AB=BC,斜边AC上的一点D，满足AD=AB，将线段AC绕点A逆时针旋转α （0°<α <360°），得到线段AC’，连接DC’，当DC’//BC时，旋转角度α 的值为_________,

13．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．

14．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．

15．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为_____．

16．如图，□ABCD中，E是BA的中点，连接DE，将△DAE沿DE折叠，使点A落在□ABCD内部的点F处．若∠CBF＝25°，则∠FDA的度数为_________．

17．2018年春节期间，反季游成为出境游的热门，中国游客青睐的目的地仍主要集中在温暖的东南亚地区．据调查发现2018年春节期间出境游约有700万人，游客目的地分布情况的扇形图如图所示，从中可知出境游东南亚地区的游客约有________万人．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B型号足球进价每只60元．

（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；

（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？

19．（5分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

（1）求x，y的值；

（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？

20．（8分）如图，在自动向西的公路l上有一检查站A，在观测点B的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B的距离为7km，位于点B南偏西76°方向的点C处，求工作人员家到检查站的距离AC．（参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan 76°≈4，sin53°≈，tan53°≈）

21．（10分）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？

22．（10分）先化简，再求值：（）÷，其中a=+1．

23．（12分）如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线；

（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．

24．（14分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．

【详解】

连接OA、OC，

∵∠ADC=60°，

∴∠AOC=2∠ADC=120°，

则劣弧AC的长为： =4π．

故选B．

【点睛】

本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 ．

2、D

【解析】
首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．

【详解】

∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．

3、A

【解析】
根据绝对值的性质进行解答即可．

【详解】

实数﹣5.1的绝对值是5.1．

故选A．

【点睛】

本题考查的是实数的性质，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．

4、D

【解析】
根据圆心角，弧，弦的关系定理可以得出===，根据圆心角和圆周角的关键即可求出的度数，进而求出它的余弦值．

【详解】

解：

===，

故选D．

【点睛】

本题考查圆心角，弧，弦，圆周角的关系，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

5、A

【解析】
根据绝对值的性质进行解答即可

【详解】

解：﹣1的绝对值是：1．

故选：A．

【点睛】

此题考查绝对值，难度不大

6、D

【解析】

A、是有理数，故A选项错误；

B、是有理数，故B选项错误；

C、是有理数，故C选项错误；

D、是无限不循环小数，是无理数，故D选项正确；

故选：D．

7、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

0.00000637的小数点向右移动6位得到6.37

所以0.00000637用科学记数法表示为6.37×10﹣6，

故选B．

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8、B

【解析】
根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x2+6x，利用配方法求该式的最值．

【详解】

解：∵1x+y=6，

∴y=-1x+6，

∴xy=-1x2+6x=-1（x-1）2+1．

∵（x-1）2≥0，

∴-1（x-1）2+1≤1，即xy的最大值为1．

故选B．

【点睛】

考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值．

9、B

【解析】
根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面看得到的图形即可．

【详解】

解：主视图，如图所示：

．

故选B．

【点睛】

本题考查由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图是从物体的正面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．

10、D

【解析】
根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．

【详解】

∵等腰三角形的一个外角是100°，

∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，

当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，

∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

分析：设A款魔方的单价为x元，B魔方单价为y元，根据“购买两个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．

解：设A魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，根据题意得：

故答案为

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

12、15或255°

【解析】

如下图，设直线DC′与AB相交于点E，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，DC′//BC，

∴∠AED=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACB=∠BAC=45°，AB=AC，

∴AE=AD，

又∵AD=AB，AC′=AC，

∴AE=AB=AC=AC′，

∴∠C′=30°，

∴∠EAC′=60°，

∴∠CAC′=60°-45°=15°， 即当DC′∥BC时，旋转角=15°；

同理，当DC′′∥BC时，旋转角=180°-45°-60°=255°；

综上所述，当旋转角=15°或255°时，DC′//BC.

故答案为：15°或255°.

13、1

【解析】
将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．

【详解】

∵x+y=8，xy=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=1．
故答案为：1．

【点睛】

本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．

14、（ ， ）

【解析】
连接AC，根据题意易证△AOC∽△COB，则，求得OC=2，即点C的坐标为（0，2），可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将C点坐标代入求解，最后将解析式化为顶点式即可.

【详解】

解：连接AC，

∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，

∴OA=1，OB=4，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵CO⊥AB，

∴∠ABC+∠BCO=90°，

∴∠CAB=∠BCO，

又∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴，

即=，

解得OC=2，

∴点C的坐标为（0，2），

∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，

∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

把点C的坐标代入得，a（0+1）（0﹣4）=2，

解得a=﹣，

∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x2﹣3x﹣4）=﹣（x﹣）2+，

∴此抛物线顶点的坐标为（ ， ）．

故答案为：（ ， ）．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，抛物线的顶点式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，利用相似三角形的性质求得关键点的坐标.

15、1

【解析】
由双曲线y=（x＞0）经过点D知S△ODF=k=，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=，据此可得OA•BE=1，根据OA=OB可得答案．

【详解】

如图，

∵双曲线y=（x＞0）经过点D，

∴S△ODF=k=，

则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，

∴OA•BE=1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴OB•BE=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．

16、50°

【解析】
延长BF交CD于G，根据折叠的性质和平行四边形的性质，证明△BCG≌△DAE,从而∠7=∠6=25°,进而可求∠FDA得度数.

【详解】

延长BF交CD于G

由折叠知，

BE=CF, ∠1=∠2, ∠7=∠8,

∴∠3=∠4.

∵∠1+∠2=∠3+∠4,

∴∠1=∠2=∠3=∠4,

∵CD∥AB,

∴∠3=∠5,

∴∠1=∠5,

在△BCG和△DAE中

∵∠1=∠5,

∠C=∠A,

BC=AD,

∴△BCG≌△DAE,

∴∠7=∠6=25°,

∴∠8=∠7=25°,

∴FDA=50°.

故答案为50°.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质. 证明△BCG≌△DAE是解答本题的关键.

17、1

【解析】

分析：用总人数乘以样本中出境游东南亚地区的百分比即可得．

详解：出境游东南亚地区的游客约有700×（1﹣16%﹣15%﹣11%﹣13%）=700×45%=1（万）．故答案为1．

点睛：本题主要考查扇形统计图与样本估计总体，解题的关键是掌握各项目的百分比之和为1，利用样本估计总体思想的运用．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元.

【解析】
（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；

（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可.

【详解】

解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

∴ 40x +60（100-x）=5200  ,

解得：x=40 ,

∴100-x=100-40=60个,

答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．

（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

100-x≥ ,

解得：x≤60 ,

设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,

∵k=-20，∴y随x的增大而减小,

∴当x=60时，y最小=4800元.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.

19、（1）x=1，y=；（2）小华的打车总费用为18元.

【解析】

试题分析：（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组．
（2）根据里程数和时间来计算总费用．

试题解析：

(1)由题意得，

解得；

（2）小华的里程数是11km，时间为14min．

则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）．

答：总费用是18元．

20、工作人员家到检查站的距离AC的长约为km．

【解析】

分析：过点B作BH⊥l交l于点H，解Rt△BCH，得出CH=BC•sin∠CBH=，BH=BC•cos∠CBH=．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=，那么根据AC=CH-AH计算即可.

详解：如图，过点B作BH⊥l交l于点H，

∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7km，

∴CH=BC•sin∠CBH≈，

BH=BC•cos∠CBH≈．

∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=，

∴AH=BH•tan∠ABH≈，

∴AC=CH﹣AH=（km）．

答：工作人员家到检查站的距离AC的长约为km．

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

21、（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.

【解析】

判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．

22、，.

【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

解: （）÷

=

=

=

=，

当a=+1时，原式==．

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

23、（1）证明见解析；（2）；（3）1.

【解析】
（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可；

（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE-HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1．

【详解】

解：（1）证明：连接OM，如图1，

∵BM是∠ABC的平分线，

∴∠OBM=∠CBM，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠CBM=∠OMB，

∴OM∥BC，

∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE为⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，

∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，

∴BE=CE=BC=2，

∵OM∥BE，

∴△AOM∽△ABE，

∴，即，解得r=，

即设⊙O的半径为；

（3）解：作OH⊥BE于H，如图，

∵OM⊥EM，ME⊥BE，

∴四边形OHEM为矩形，

∴HE=OM=，

∴BH=BE﹣HE=2﹣=，

∵OH⊥BG，

∴BH=HG=，

∴BG=2BH=1．

24、（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.

【解析】

分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；

（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠FAE=∠CDE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

又∵∠FEA=∠CED，

∴△FAE≌△CDE，

∴CD=FA，

又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）BC=2CD．

证明：∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE=45°，

∵∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=DE，

∵E是AD的中点，

∴AD=2CD，

∵AD=BC，

∴BC=2CD．

点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．