2022届北京朝阳区中考数学押题试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．

2．下列运算正确的（　　）

A．（b2）3=b5 B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5 D．a+a2=a3

3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ）

A． B． C．且 D．

4．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

5．下列运算正确的是（ ）

A．a3•a2=a6 B．（2a）3=6a3

C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．3a2﹣a2=2a2

6．下列实数中，在2和3之间的是（    ）

A． B． C． D．

7．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C．- D．

8．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，且AO=BD=4，AD=3，则△BOC的周长为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．14

9．抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（  　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为_____．

12．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达点C，乙船正好到达甲船正西方向的点B，则乙船的航程为______海里(结果保留根号).

13．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=________．

14．如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为，，，AB与x轴交于点C，那么AC：BC的值为______．

15．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_____．

16．不等式组的解集为，则的取值范围为_____．

17．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）解方程：＝1．

19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．

(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是　                  ；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为　                   ；

(2)直线l：y=x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，

①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；

②M为直线l上的一个动点，若以(m，0)为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．

20．（8分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2，4，6，B组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D点，且AD=AC，延长DO交圆O于E点，连接AE.求证：DE⊥AB；若DB=4，BC=8，求AE的长.

22．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．

23．（12分）小明准备用一块矩形材料剪出如图所示的四边形ABCD（阴影部分），做成要制作的飞机的一个机翼，请你根据图中的数据帮小明计算出CD的长度．（结果保留根号）．

24．（14分）某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．

（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有4个情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故选B．

2、C

【解析】

分析：直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．

详解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；

B、x3÷x3=1，故此选项错误；

C、5y3•3y2=15y5，正确；

D、a+a2，无法计算，故此选项错误．

故选C．

点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3、C

【解析】
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴ ，

解得：k<1且k≠1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．

4、C

【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【详解】

A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；

B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；

C、，是最简二次根式；故C选项正确；

D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；

故选C．

考点：最简二次根式．

5、D

【解析】

试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解；

根据完全平方公式求解；

根据合并同类项法则求解．

解：A、a3•a2=a3+2=a5，故A错误；

B、（2a）3=8a3，故B错误；

C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；

D、3a2﹣a2=2a2，故D正确．

故选D．

点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．

6、C

【解析】
分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.

详解：

A、3<π<4，故本选项不符合题意；
B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；
C、2<<3，故本选项符合题意；
D、3<<4，故本选项不符合题意；

故选C.

点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.

7、B

【解析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.

【详解】

根据绝对值的性质得：|-1|=1．

故选B．

【点睛】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

8、A

【解析】
利用平行四边形的性质即可解决问题.

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=3，OD=OB==2，OA=OC=4，

∴△OBC的周长=3+2+4=9，

故选：A．

【点睛】

题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.

9、A

【解析】
根据二次函数图象所在的象限大致画出图形，由此即可得出结论．

【详解】

∵二次函数图象只经过第一、三、四象限，∴抛物线的顶点在第一象限．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．

10、C

【解析】
求得不等式组的解集为x＜﹣1，所以C是正确的．

【详解】

解：不等式组的解集为x＜﹣1．

故选C．

【点睛】

本题考查了不等式问题，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1．

【解析】
先根据二次函数的图象和性质判断出2≤x≤5时的增减性，然后再找最大值即可.

【详解】

对称轴为

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴当x＝2时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为1，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

12、10海里．

【解析】
本题可以求出甲船行进的距离AC，根据三角函数就可以求出AB，即可求出乙船的路程．

【详解】

由已知可得：AC=60×0.5=30海里，

又∵甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，

∴∠BAC=90°，

又∵乙船正好到达甲船正西方向的B点，

∴∠C=30°，

∴AB=AC•tan30°=30×=10海里．

答：乙船的路程为10海里．

故答案为10海里．

【点睛】

本题主要考查的是解直角三角形的应用-方向角问题及三角函数的定义，理解方向角的定义是解决本题的关键．

13、

【解析】

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=2，

∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∴，

∴CE=，

故答案为.

14、

【解析】
过点A作AD⊥y轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E.先证△ADO∽△OEB，再根据∠OAB＝30°求出三角形的相似比，得到OD:OE=2∶，根据平行线分线段成比例得到AC:BC=OD:OE=2∶=

【详解】

解：

如图所示：过点A作AD⊥y轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E.

∵∠OAB＝30°，∠ADE＝90°，∠DEB＝90°

∴∠DOA+∠BOE＝90°，∠OBE+∠BOE＝90°

∴∠DOA=∠OBE

∴△ADO∽△OEB

∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，

∴OA∶OB=

∵点A坐标为（3，2）

∴AD=3，OD=2

∵△ADO∽△OEB

∴

∴OE

∵OC∥AD∥BE

根据平行线分线段成比例得：

AC:BC=OD:OE=2∶=

故答案为.

【点睛】

本题考查三角形相似的证明以及平行线分线段成比例.

15、k＞

【解析】
由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实根，

∴△＞0，即（2k+1）2-4（k2+1）＞0，

解得k＞，

故答案为k＞．

【点睛】

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

16、k≥1

【解析】

解不等式2x+9＞6x+1可得x＜2，解不等式x-k＜1，可得x＜k+1，由于x＜2，可知k+1≥2，解得k≥1.

故答案为k≥1.

17、．

【解析】

∵(a−3)x>1的解集为x<，

∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，

∴a−3<0，

∴a<3.

故答案为a<3.

点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、

【解析】
先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解.

【详解】

原方程变形为，

方程两边同乘以（2x﹣1），得2x﹣5＝1（2x﹣1），

解得 ．

检验：把代入（2x﹣1），（2x﹣1）≠0，

∴是原方程的解，

∴原方程的．

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根.

19、（1）①R，S;②（，0）或（4，0）；（2）①;②m≤或m≥1．

【解析】
（1）∵点A的坐标为(−2,1)，

∴2+1=4，

点R(0,4),S(2,2),T(2,−2)中，

0+4=4，2+2=4，2+2=5，

∴点A的同族点的是R，S；

故答案为R，S；

②∵点B在x轴上，

∴点B的纵坐标为0，

设B(x,0)，

则|x|=4，

∴x=±4，

∴B(−4,0)或(4,0)；

故答案为(−4,0)或(4,0)；

（2）①由题意，直线与x轴交于C（2，0），与y轴交于D（0，）．

点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：

，，且．

点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，

则．

∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为2．

即点N在右图中所示的正方形CDEF上．

∵点E的坐标为（，0），点N在直线上，

∴．

②如图,设P(m,0)为圆心, 为半径的圆与直线y=x−2相切，

∴PC=2，

∴OP=1，

观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心,为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，再根据对称性可知，m≤也满足条件，

∴满足条件的m的范围：m≤或m≥1

20、（1）P（抽到数字为2）=；（2）不公平，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．

试题解析: （1）P=；

（2）由题意画出树状图如下：

一共有6种情况，

甲获胜的情况有4种，P=，

乙获胜的情况有2种，P=，

所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．

考点：游戏公平性；列表法与树状图法．

21、（1）详见解析；（2）6

【解析】
（1）连接CD，证明即可得到结论；

（2）设圆O的半径为r，在Rt△BDO中，运用勾股定理即可求出结论.

【详解】

（1）证明：连接CD,

∵

∴

∵

∴

.

（2）设圆O的半径为，，

设.

【点睛】

本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．

22、 (1)、y=－+x+4；(2)、不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：(1)、首先设抛物线的解析式为一般式，将点C和点A意见对称轴代入求出函数解析式；(2)、本题利用假设法来进行证明，假设存在这样的点，然后设出点F的坐标求出FH和FG的长度，然后得出面积与t的函数关系式，根据方程无解得出结论.

试题解析：(1)、∵抛物线y=a+bx+c(a≠0)过点C(0,4) ∴C=4①

∵－=1 ∴b=－2a② ∵抛物线过点A(－2,0) ∴4a－2b+c="0" ③

由①②③解得：a=－，b=1，c=4 ∴抛物线的解析式为：y=－+x+4

(2)、不存在 假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G. 设点F的坐标为(t，+t+4)，其中0＜t＜4 则FH=+t+4 FG=t

∴△OBF的面积=OB·FH=×4×(+t+4)=－+2t+8 △OFC的面积=OC·FG=2t

∴四边形ABFC的面积=△AOC的面积+△OBF的面积+△OFC的面积=－+4t+12

令－+4t+12=17 即－+4t－5=0 △=16－20=－4＜0 ∴方程无解

∴不存在满足条件的点F

考点：二次函数的应用

23、CD的长度为17﹣17cm．

【解析】
在直角三角形中用三角函数求出FD，BE的长，而FC＝AE＝AB＋BE，而CD＝FC－FD，从而得到答案.

【详解】

解：由题意，在Rt△BEC中，∠E=90°，∠EBC=60°，

∴∠BCE=30°，tan30°=，

∴BE=ECtan30°=51×=17（cm）；

∴CF=AE=34+BE=（34+17）cm，

在Rt△AFD中，∠FAD=45°，

∴∠FDA=45°，

∴DF=AF=EC=51cm，

则CD=FC﹣FD=34+17﹣51=17﹣17，

答：CD的长度为17﹣17cm．

【点睛】

本题主要考查了在直角三角形中三角函数的应用，解本题的要点在于求出FC与FD的长度，即可求出答案.

24、（1）该公司计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套；（2）A种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．

【解析】
（1）设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，根据花11万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，根据总价=单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过18万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．

【详解】

解：（1）设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，

根据题意得：

解得：．

答：该公司计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套．

（2）设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，

根据题意得：1.5（20﹣m）+1.2（30+1.5m）≤18，

解得：m≤，

∵m为整数，

∴m≤1．

答：A种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．