2022届广东省肇庆市封开县中考数学四模试卷含解析

这是一份2022届广东省肇庆市封开县中考数学四模试卷含解析，共22页。试卷主要包含了如图，已知点A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示的工件，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，PD交AC于点D，已知AB=a，设CD=y，BP=x，则y与x函数关系的大致图象是（　　）

A． B． C． D．
3．下列各数中，比﹣1大1的是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣3
4．如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（ ）

A． B．
C． D．
7．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若，，则点C的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数的图像经过点E，则k的值是 （ ）

（A）33 （B）34 （C）35 （D）36
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，且AO=BD=4，AD=3，则△BOC的周长为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．14
10．若x是2的相反数，|y|=3，则的值是（　　）
A．﹣2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．

12．与直线平行的直线可以是__________（写出一个即可）．
13．如果，那么______．
14．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．
15．分解因式：3m2﹣6mn+3n2＝_____．
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，cos∠AMC ，则 tan∠B 的值为__________．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某中学为了解八年级学习体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名．
18．（8分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：DE=BF．

19．（8分）已知顶点为A的抛物线y＝a(x－)2－2经过点B(－，2)，点C(，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；
(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

20．（8分）手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷•某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．
21．（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：
组别

成绩（分）

频数（人数）

频率

一



2

0.04

二



10

0.2

三



14

b

四



a

0.32

五



8

0.16

请根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）本次决赛共有 名学生参加；
（2）直接写出表中a= ,b= ;
（3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为 ．
22．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，连接OA，且OA＝OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）过点P（k，0）作平行于y轴的直线，交一次函数y＝2x＋n于点M，交反比例函数的图象于点N，若NM＝NP，求n的值．

23．（12分）如图，在中，，且，，为的中点，于点，连结，．

（1）求证：；
（2）当为何值时，的值最大？并求此时的值．
24．如图，已知△ABC，请用尺规作图，使得圆心到△ABC各边距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
试题分析：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，
故选B．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．
2、C
【解析】
根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=- x2+x，对照四个选项即可得出．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．
∵∠APD=60°，∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴,即，
∴y=- x2+x.
故选C.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-x2+x是解题的关键．
3、A
【解析】
用-1加上1，求出比-1大1的是多少即可．
【详解】
∵-1+1=1，
∴比-1大1的是1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数加法的运算，解题的关键是要熟练掌握： “先符号，后绝对值”．
4、B
【解析】
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.
【详解】
锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.
故选B.
【点睛】
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
5、B
【解析】
|﹣3|=3，||=，|0|=0，|2|=2，|﹣1|=1，
∵3＞2＞＞1＞0，
∴绝对值最小的数是0，
故选：B．
6、C
【解析】
根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A. 当时，能判断；
B. 当时，能判断；
C. 当时，不能判断；
D. 当时，，能判断.
故选：C.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键.
7、C
【解析】
根据A点坐标即可建立平面直角坐标．
【详解】
解：由A（0，2），B（1，1）可知原点的位置，

建立平面直角坐标系，如图，
∴C（2，-1）
故选：C．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系，解题的关键是建立直角坐标系，本题属于基础题型．
8、D
【解析】
试题分析：过点E作EM⊥OA，垂足为M，∵A（1，0），B（0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB==，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CBG，∵∠BCG=90°，∴△BCG∽△AOB，∴，∵BC=AB=，∴CG=2，∵CD=AD=AB=，∴DG=3，∴DE=DG=3，∴AE=4，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO，又∵∠EMA=90°，∴△EAM∽△ABO，∴，即，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E（9，4），∴k=4×9=36；
故选D．

考点：反比例函数综合题．
9、A
【解析】
利用平行四边形的性质即可解决问题.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，OD=OB==2，OA=OC=4，
∴△OBC的周长=3+2+4=9，
故选：A．
【点睛】
题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.
10、D
【解析】
直接利用相反数以及绝对值的定义得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵x是1的相反数，|y|=3，
∴x=-1，y=±3，
∴y-x=4或-1．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算，正确得出x，y的值是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、60°
【解析】
试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为60°.
12、y=-2x+5（答案不唯一）
【解析】
根据两条直线平行的条件：k相等，b不相等解答即可．
【详解】
解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．
故答案为y=2x+1．（提示：满足的形式，且）
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条直线重合．
13、；
【解析】
先对等式进行转换，再求解.
【详解】
∵
∴3x＝5x－5y
∴2x＝5y
∴
【点睛】
本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.
14、1或2
【解析】
分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
【详解】
点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；
点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1，
故答案为1或2.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.
15、3（m-n）2
【解析】
原式==
故填：
16、
【解析】
根据cos∠AMC ，设， ，由勾股定理求出AC的长度，根据中线表达出BC即可求解．
【详解】
解：∵cos∠AMC ，
，
设， ，
∴在Rt△ACM中，
∵AM 是 BC 边上的中线，
∴BM=MC=3x，
∴BC=6x，
∴在Rt△ABC中，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值的求解问题，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）50名；（2）16名；见解析；（3）56名．
【解析】
试题分析：根据A等级的人数和百分比求出总人数；根据总人数和A、B、D三个等级的人数求出C等级的人数；利用总人数乘以D等级人数的百分比得出答案．
试题解析：（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样共抽取了50名学生．
（2）50－10－20－4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名．
补全图形如图所示：

（3）700×（4÷50）=56（名）
答：估计该中学八年级700名学生中体能测试为D等级的学生有56名．
考点：统计图．
18、（1）作图见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；
（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得结论．
【详解】
解：（1）如图：

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO=DO，
在△DEO和三角形BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴DE=BF．
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．
19、 (1) y＝(x－)2－2；(2)△POE的面积为或；(3)点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．
【解析】
（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；
（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得=
＝＝，即OP=FA，设点P（t，-2t-1），列出关于t的方程解之可得；
（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．
【详解】
解：（1）把点B(－，2)代入y＝a(x－)2－2，
解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝(x－)2－2，
（2）由y＝(x－)2－2知A(，－2)，
设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，
易求E(0，－1)，F(0，－)，M(－，0)，
若∠OPM＝∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴OP＝FA＝ ，
设点P(t，－2t－1)，则，
解得t1＝－，t2＝－，
由对称性知，当t1＝－时，也满足∠OPM＝∠MAF，
∴t1＝－，t2＝－都满足条件，
∵△POE的面积＝OE·|t|，
∴△POE的面积为或；
（3）如图，若点Q在AB上运动，过N′作直线RS∥y轴，交QR于点R，交NE的延长线于点S，

设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a，QN＝－2a.
由翻折知QN′＝QN＝－2a，N′E＝NE＝－a，
由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴＝＝，即＝=＝2，
∴QR＝2，ES＝ ，
由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2，
解得a＝－，
∴Q(－，)，
如图，若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.

设NE＝a，则N′E＝a.
易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，
∴QR＝，SE＝－a.
在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，
解得a＝，
∴Q(－，2)，
如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.

设NE＝a，则N′E＝a.
易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，
∴QR＝，SE＝－a.
在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，
解得a＝，
∴Q(，2)．
综上，点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．
20、（1）7000辆；（2）a的值是1．
【解析】
（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，根据损坏率不低于10%，可得不等量关系：一月初投入的自行车-一月底可用的自行车≥一月损坏的自行车列不等式求解；
（2）根据三月底可使用的自行车达到7752辆，可得等量关系为：（二月份剩余的可用自行车+三月初投入的自行车）×三月份的损耗率=7752辆列方程求解.
【详解】
解：（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，
x﹣（7500﹣110）≥10%x，
解得x≥7000，
答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆；
（2）由题意可得，
[7500×（1﹣1%）+110（1+4a%）]（1﹣a%）=7752，
化简，得
a2﹣250a+4600=0，
解得：a1=230，a2=1，
∵，
解得a＜80，
∴a=1，
答：a的值是1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，根据一月底的损坏率不低于10%找出不等量关系式解答（1）的关键；根据三月底可使用的自行车达到7752辆找出等量关系是解答（2）的关键.
21、（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.
【解析】
试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.
试题解析：（1）2÷0.04=50
（2）50×0.32=16 14÷50=0.28
（3）
（4）（0.32+0.16）×100%=48%
考点：频数分布直方图
22、20（1）y＝2x－5, y=；（2）n＝－4或n＝1
【解析】
（1）由点A坐标知OA=OB=5，可得点B的坐标，由A点坐标可得反比例函数解析式，由A、B两点坐标可得直线AB的解析式；
（2）由k=2知N（2，6），根据NP=NM得点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得答案．
【详解】
解：（1）∵点A的坐标为（4，3），
∴OA=5，
∵OA=OB，
∴OB=5，
∵点B在y轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（0，-5），
将点A（4，3）代入反比例函数解析式y=中，
∴反比例函数解析式为y=，
将点A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，得：
k=2、b=-5，
∴一次函数解析式为y=2x-5；
（2）由（1）知k=2，
则点N的坐标为（2，6），
∵NP=NM，
∴点M坐标为（2，0）或（2，12），
分别代入y=2x-n可得：
n=-4或n=1．
【点睛】
本题主要考查直线和双曲线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想的运用．
23、（1）见解析；（2）时，的值最大，
【解析】
（1）延长BA、CF交于点G，利用可证△AFG≌△DFC得出，，根据，可证出，得出，利用，，点是的中点，得出，，则有，可得出，得出，即可得出结论；
（2）设BE=x，则，，由勾股定理得出，，得出，求出，由二次函数的性质得出当x=1，即BE=1时，CE2-CF2有最大值，，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】
解：（1）证明：如图，延长交的延长线于点，

∵为的中点，
∴．
在中，，
∴．
在和中，

∴，
∴，，
∵．
∴，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，．
∴．
∴．
∴．
在中，，
又∵，
∴．
∴
（2）设，则，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，的值最大，
∴．
在中，
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和等腰三角形是解题的关键．
24、见解析
【解析】
分别作∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点O满足条件．
【详解】
解：如图，点O为所作．

【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．