2022年四川省宜宾市江安县中考数学二模试卷（含解析）

2022年四川省宜宾市江安县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射据统计，国内已有超过辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下面的几何体中，主视图为圆的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：

这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

7. 将函数的图象向上平移个单位，向左平移个单位，则所得函数表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，点在边上，交于点，，若线段，那么线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，中，弦与半径相交于点，连接，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，，则不等式的解集为(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

11. 在中，，为锐角，且满足，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：；；；点运动的路程是，其中正确结论的序号为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 不等式的解集是______．
15. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期末考试成绩占，小彤的这两项成绩依次是，则小彤这学期的体育成绩是______ ．
16. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ．
17. 如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海岛到航线的距离等于______海里．

18. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：；；；．
    则其中正确的结论有______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算．
    解分式方程：．
20. 如图，已知，，．
    求证：．
    若，求的值．

21. 某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立周年书画展评活动，全校征集学生书画作品王老师从全校个班中随机抽取了，，，四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
    
    王老师采取的调查方式是______ 填“普查”或“抽样调查”，王老师所调查的个班共征集到作品______ 件，并补全条形统计图；
    在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角的度数为______ ；
    如果全校参展作品中有件获得一等奖，其中有件作品的作者是男生，件作品的作者是女生现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率要求用树状图或列表法写出分析过程
22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于
    点和，与轴交于点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标；
    将直线向下平移个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．

23. 如图，在同一剖面内，小明在点处用测角仪测得居民楼的顶端的仰角为，他水平向右前进了米来到斜坡的坡脚处，沿者斜坡上行米到达点，用测角仪测得点的仰角为，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底处，若斜坡的坡度为：，请你求出居民楼的高度．测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到米．参考数据：，，，

24. 如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．

25. 如图，已知点，点，点，直线为，且直线直线，垂足为点，抛物线为经过点、、三点．
    
    求、、的值．
    点在抛物线上，过点作轴，交直线于点，若点由点运动到点的过程中，求线段的最大值．
    点、分别在线段、上，连接、，若点由点运动到点的过程中，是否存在和中一个是等腰三角形另一个是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是。
故选：。
直接根据倒数的定义进行解答即可。
本题考查的是倒数的定义，即乘积是的两数互为倒数。
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示应为：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、的主视图是矩形，故A不符合题意；
B、的主视图是正方形，故B不符合题意；
C、的主视图是圆，故C符合题意；
D、的主视图是三角形，故D不符合题意；
故选：．
根据常见几何体的主视图，可得答案．
本题考查了常见几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于一共有个数据，其中小时的人数最多，有人，
所以这组数据的众数为小时，
这个数据的第、个数据分别为、，
所以这组数据的中位数为小时，
故选：．
直接根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可．
本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把二次函数的图象向上平移个单位后，再向左平移个单位，则平移后的抛物线的表达式为．
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
点是的中点，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
．
故选：．
由，可得点是的中点，再由，则可判断点是的中点，则是的中位线，从而可求的长度．
本题主要考查三角形中位线定理，解答的关键是明确三角线的中位线的长度等于相应底边长度的一半．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出度数是解题关键．
直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出以及度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】
解：，，
，，
，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
根据函数的图象和交点坐标找出直线在曲线上方部分所对应的的范围即可．
【解答】
解：不等式的解集为：或，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
的度数为：．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形内角和定理，正确记忆相关数据是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论正确；
如图，连接，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
故结论正确；
，
，即，
故结论正确；
如图，延长至，使，连接，
≌，，
点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，
，
点运动的路程是，
故结论正确；
故选：．
根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论正确；
如图，连接，利用证明≌，再证明≌，即可得出结论正确；
通过等量代换即可得出结论正确；
如图，延长至，使，连接，通过≌，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论正确；
本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
，
．
故答案为：．
不等式移项，合并同类项，化系数为即可．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：小彤这学期的体育成绩是，
故答案为：．
将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
 

16.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，，
，
，
海里，
在中，，，，
，
海里，
故答案为：．
根据方向角的定义及余角的性质求出，，再由三角形外角的性质得到，根据等角对等边得出，然后解，求出即可．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，故正确；
在上取一点，使，连接，
≌，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
是等边三角形．
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，故正确；
过作交于，
，
根据勾股定理，得
由面积公式得：，
，
，，
，，
，
，故正确；
在中，，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，故错误；
综上，正确的结论有，
故答案为：．
由正方形的性质可以得出，，通过证明≌，就可以得出；
在上取一点，使，连接，再通过条件证明≌就可以得出；
过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得；
解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得∽，求得．
本题属于几何综合题，主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
解：由得：≌，
． 

【解析】由平行线的性质可得，由得，利用证得≌，则有，结合邻补角的定义可求得，从而得证；
由得≌，则有．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚边与边的关系．
 

21.【答案】抽样调查，；
补全条形统计图如下：

；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为，
所以恰好抽中一男一女的概率． 

【解析】解：王老师采取的调查方式是抽样调查；
王老师所调查的个班共征集到作品有件，
班级的件数有：件，
故答案为：抽样调查，；

在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角是：；
故答案为：；
见答案．

根据全面调查与抽样调查的概念得出王老师采取的调查方式是抽样调查；利用班的作品数除以它的占比得到调查的总作品件数，再用总件数减去其他班级的件数，得出班级的件数，然后补全统计图即可；
用乘以班的占比即可得出班圆心角的度数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

22.【答案】解：过点，
，
即反比例函数：，
当时，，即，
过和，
则，解得，
；

当时，代入中得，，即，
且，
，
或；

如图，设与的图像交于，两点，

向下平移两个单位得且，
，
联立，解得或，
，，
，
或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由且，即可求解；
如图，设与的图像交于，两点，求出，，再观察函数图象即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大．
 

23.【答案】解：如图，由题意得，，，，
由于斜坡的坡度为：，即，设，则，
由勾股定理得，
，
，
即，，
在中，设，则，
在中，，，，
由得，
，
解得，
答：居民楼的高度约为． 

【解析】根据斜坡的坡度可求出、，再根据直角三角形的边角关系用含有的代数式表示，在中，由直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；

连接，为直径，
，
又，
∽，
，
又，
，则，又，
在中，，即，
解得：，则，
，
解得：，，
，
∽，
，设，
，解得：，
经检验：是原方程的解，
故BC的长为． 

【解析】连接，由题意可证，且，即，则可证是的切线；
连接，证明∽，得到，根据，在中，利用勾股定理求出和，可得和，再证明∽，得到，设，解方程即可求出．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

25.【答案】解：设直线为，
则，
解得，
直线的解析式为：，
，
解得，
，
抛物线经过点、、三点．
，解得，
，，；

设则，
．
当时，有最大值．
线段的最大值为；

当，时，作于，如图，

设，则，
设，则，
，
．
，
：
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
当，时，如图，

设，则，，
，
，
，
；
当时，如图，

设，则，
，
，，
，
，
，
．
综上，点的坐标为或或． 

【解析】先根据待定系数法求出直线的解析式，再出点坐标，最后再用待定系数法求出；
设则，则根据二次函数的性质求出最大值即可：
分，，，，设，分别表示出和，再根据，求出的值，进而求出点坐标．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，锐角三角函数，解本题的关键是掌握二次函数的性质，根据题意正确画出图形，找到线段之间的关系，列方程求解．