初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数第2课时教案及反思

第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

【知识与技能】

利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.

【过程与方法】

通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.

【情感态度】

经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.

【教学重点】

待定系数法求二次函数的解析式.

【教学难点】

选择恰当的解析式求法.

一、情境导入，初步认识

问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？

【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件.

二、思考探究，获取新知

在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.

回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：

（1）顶点在原点，可设为y=ax2;

（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k;

（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2;

（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx;

(5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k;

（6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c;

（7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2).

【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握.

三、典例精析，掌握新知

例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式.

（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式.

（2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；

（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）.

分析：

(1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解.

(2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解.

（3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有=-1, =3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式.

解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则a(-2-1)(-2+5)=9/2,∴a=-1/2,y=-1/2(x-1)(x+5)=-1/2x2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x2-2x+5/2.

方法二：∵图象过（1,0），（-5,0），则对称轴为直线x=-2,设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+9/2,

则a(1+2)2+9/2=0,解得a=-1/2.

∴y=-1/2(x+2)2+9/2=-1/2x2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x2-2x+5/2.

（2）设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0)，由题意，有：

解这个方程组，得

故所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5；

（3）方法一：设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），由题意，有：

解得：

故所求二次函数解析式为y=2/9x2+4/9x+29/9；

方法二：设所求的二次函数表达式为y=a（x-h）2+k(a≠0)，由题意,有:

h=-1，k=3，即y=a（x+1）2+3.

把（2，5）代入，得5=a×9+3.∴a=2/9.

故所求二次函数解析式为y=2/9(x+1)2+3，即y=2/9x2+4/9x+29/9.

【教学说明】可让学生先独立思考，求出解析式，并交流结果，让快速完成的同学体验成功的喜悦；对出现的问题，让他们自查并反思，加深印象，在学生完成后，师生共同探索，总结收获.教师给出完整解答，规范学生的答题过程，最后教师引导学生做教材第40页练习.

四、运用新知，深化理解

1.抛物线y=ax2+bx-3过点（2,4），则代数式8a+4b+1的值为（   ）

A.3               B.9

C.15              D.-15

2.抛物线y=mx2-3x+3m-m2过原点，则m=_____,该抛物线的关系式为________.

3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；

（2）二次函数的图象顶点为（3，-2），且图象与x轴两个交点间的距离为4；

（3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1，4）和（5，0）.

【教学说明】1、2两题较为简单，可让学生自主完成，第2题注意抛物线解析式中的二次项系数不能为0.解第3题时，应注意关注学生是否能根据不同条件设二次函数的解析式.

【答案】1.C       2.3        y=3x2-3x

3.（1）y=2x2-x-1;

(2)y=1/2(x-3)2-2，即y=1/2x2-3x+5/2.

【解析】依题意，可设此二次函数表达式y=a(x-3)2-2，又它的对称轴为x=3，且图象与x轴两交点间距离为4,可知图象与x轴的交点坐标应分别为(1,0)和(5,0),从而可求出二次函数表达式;

(3)∵对称轴为直线x=2，且过点（5，0），则必过点（-1，0）.

故可设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1).

又抛物线过点(1,4),∴4=a(1-5)(1+1),∴a=-1/2.

故抛物线的解析式为

y=-1/2(x-5)(x+1),即y=-1/2x2+2x+5/2.

五、师生互动，课堂小结

求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.

1.布置作业：教材习题22.1第8、10、12题.

2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。

本课时的主要内容是利用待定系数法求二次函数解析式，教师应让学生体会求解过程，关键是让学生学会如何运用三点式，顶点式，交点式等来求解析式.