初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时教学设计

第2课时 切线的判定与性质

【知识与技能】

能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.

【过程与方法】

经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.

【情感态度】

体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.

【教学重点】

切线的判定定理及性质定理的探究和运用.

【教学难点】

切线的判定定理和性质的应用.

一、情境导入，初步认识

情境1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？

情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？

情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？

【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，深化学生思想中的数学模型.

二、思考探究，获取新知

1.切线的判定定理

思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？

分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.

∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.

∴直线l与⊙O相切.

【归纳总结】

切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.

试一试 （1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能作一条直线）

（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）

2.切线的性质定理

思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）

教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.

【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.

三、典例精析，掌握新知

例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.

例2 （1）如图（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.

（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.

解：（1）∵△OAB为等腰三角形，

∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，

∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.

（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.

∴∠OCA=60°，

∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.

【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时，常见辅助线有：（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线.

（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直.②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.

四、运用新知，深化理解

1.完成教材第98页练习1、2.

2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线.

【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.

【答案】1.（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.

（2）l1∥l2，理由如下：∵AB是⊙O的直径，且l1、l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.

2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.

五、师生互动，课堂小结

1.让学生回顾本堂课的两个知识点.

2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.

【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.

2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.