数学九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时教学设计

第3课时 切线长定理

【知识与技能】

理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.

【过程与方法】

利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.

【情感态度】

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.

【教学重点】

切线长定理及其应用.

【教学难点】

内切圆、内心的概念及运用.

一、情境导入，初步认识

探究 如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？

学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.

分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.

二、思考探究，获取新知

1.切线长的定义及性质

切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.

如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.

由此我们得到切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？

分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.

2.三角形的内切圆

思考 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.

假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切.

内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.

三、典例精析，掌握新知

例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）

例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.

分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.

解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.

设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+62=(2+x)2，解得:x=2.∴OA=2，OP=4，∴∠AOP=60°，∠APO=30°.

∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为2，两切线PA、PB的夹角为60°.

【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.

例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.

分析：∵I是内心.

∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.

∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.

又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.

∴∠ABC+∠ACB=160°.

∴∠A=180°-160°=20°.

【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.

四、运用新知，深化理解

课本第100页练习1、2题.

【教学说明】教师引导学生完成课本练习.

五、师生互动，课堂小结

这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？

【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.

2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.