2021年中考数学复习难点突破专题03 坐标变化类规律问题

这是一份2021年中考数学复习难点突破专题03 坐标变化类规律问题，共62页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题03 坐标变化类规律问题

一、单选题
1．育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（ ）

A．1009 B． C．505 D．
2．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B2C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（　　）

A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1）
C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）
3．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称：过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称：过点A3作x轴的垂线，交直线y=2x于点B3；按此规律作下去，则点Bn的坐标为（　　　）

A．（2n，2n-1） B．（2n-1，2n） C．（2n+1，2n） D．（2n，2n+1）
5．在平面直角坐标系中抛物线的图象如图所示，已知点A坐标为(1，1)，过点A作轴交抛物线于点A，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点过点作交抛物线于点，……则点的坐标为（ ）

A．(1011， ) B．(-1011， )
C．(-1010， ) D．(1010， )
6．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3....都在x轴上，点B1，B2，B3都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3....都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2020的坐标是( )

A．(22018，22018) B．(22019，22019) C．(22019，22020) D．(22020，22020)
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，， ，，将四边形绕点逆时针旋转90°后得到四边形，依此方式，绕点 连续旋转2021次得到四边形，那么点 的坐标是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为．已知，作点N关于点A的对称点N1，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，依此类推，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．（5，4）
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y轴的正半轴上，且 OA1＝A1A2＝1，以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角 形 OA₂ A3，以 OA3为直角边作第三个等腰直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形 OA2017A2018，则点 A2017 的坐标为（ ）

A．（0，21008） B．（21008，0）
C．（0，21007） D．（21007，0）
10．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律， A2019的坐标为（　　）

A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0）
C．（2，﹣504） D．（2，-506）
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2020次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为（ ）

A．(﹣1，1) B． C．(﹣1，﹣1) D．
12．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
13．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，……，则第10个等边三角形的边长等于（　　）

A． B． C． D．
14．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）

A．(5，44) B．(4，44) C．(4，45) D．(5，45)
15．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）

A．（2021，0） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，2）
二、填空题
16．如图，已知直线上，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则的坐标为_________，的坐标_________．

17．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为______．

18．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．

19．如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．

20．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2020次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2020的位置，则点P2020的横坐标为_____．

21．如图，在平面直角坐标系中，等边，等边，等边，……中，，，……平行于x轴，点，，，……在y轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， ，，，……的长依次为，，，……以此类推， 则等边的顶点的坐标为___．

22．如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点坐标是__________．

23．如图，边长为4的等边，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边，边与AB交于点，以为边作等边，边与交于点，为边作等边，边与交于点…依此规律继续作等边，记的面积为，的面积为，的面积为…的面积为，则______（，且n为整数）．

24．如图，直线与轴所夹的锐角为30°，的长为2，、、均为等边三边形，点、、在轴正半轴上依次排列，点、、在直线上依次排列，那么点的坐标为______，点的坐标为______．

25．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝_____．

26．如图，点A1（2，2）在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰，再过点作轴，分别交直线和于两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰，按此规律进行下去，则等腰的面积为_____；等腰的面积为____．

27．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点：过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…按照如此规律进行下去，点的坐标为___________．

28．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是______．

29．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是______．

30．如图，在平面直角坐标系中有一个等边，其中A点坐标为，将绕顶点A顺时针旋转，得到；将得到的绕顶点B顺时针旋转，得到；然后再将得到的绕顶点顺时针旋转，得到…按照此规律，继续旋转下去，则点的坐标为________．

31．探究与发现：
在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，……，点，，，，……在直线上，点，，，，……在轴正半轴上．则

（1）的坐标是_______；
（2）前个正方形对角线长的和是_______．
32．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为______．

33．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…，直线轴于点（其中为正整数）．函数的图象与直线,,,…，分别交于点,,，…，；函数的图象与直线,,,…，分别交于点,,，…,，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作,…，四边形的面积记作，那么_____.

34．如图，已知直线a：y=x，直线b：y=-x和点P(1，0)，过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点p2，过点p2作y轴的平行线交直线a于点p3，过点p3作x轴的平行线交直线b于点p4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为_____________．

35．如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上…，如此下去，其中纵坐标为______，点的纵坐标为______．

36．如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为（2，0）．过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边．过作交双曲线于点，过作交轴于点得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为______，的坐标为______．

37．正方形、、…按如图放置，其中点、、…在轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，点的坐标是______．

38．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为______．


一、单选题
1．育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（ ）

A．1009 B． C．505 D．
【答案】D
【分析】
先根据点的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点的坐标，再根据点的坐标可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
由题意得：点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
归纳类推得：点的坐标为，其中n为正整数，
，
点的坐标为，即，
又，
，且的边上的高为1，
则的面积为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点的坐标是解题关键．
2．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B2C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（　　）

A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1）
C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）
【答案】D
【分析】
由的规律写出的坐标．
【详解】
∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴点B3的坐标为（7，4），
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．
则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
故选：D．
【点睛】
本题考查点的坐标规律探索，观察图形前面某些点的坐标，找出规律后再写出图形一般点的坐标．
3．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置．
【详解】
如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是
……
∵2020÷6=336……4
∴小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是
故选D

【点睛】
本题考查坐标位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
4．如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称：过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称：过点A3作x轴的垂线，交直线y=2x于点B3；按此规律作下去，则点Bn的坐标为（　　　）

A．（2n，2n-1） B．（2n-1，2n） C．（2n+1，2n） D．（2n，2n+1）
【答案】B
【分析】
根据图形规律，确定A1、A2、┅坐标，再通过横坐标相同代入直线解析式中，确定B1、B2┅的坐标，探究发现其规律即可得到结论．
【详解】
解：∵点A1的坐标为（1，0），∴OA1=1
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2）
∵点A2的坐标为（2，0），代入直线y=2x的解析式中，得到B2的坐标为（2，4）
又∵点A3与点O关于直线A2B2对称，∴点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8）
以此类推，即可得到An的坐标为（2n-1，0），点Bn的坐标为（2n-1，2n）
故选：B．
【点睛】
本题考查平面坐标系中点的特点，一次函数上的点的特点，探索规律．
5．在平面直角坐标系中抛物线的图象如图所示，已知点A坐标为(1，1)，过点A作轴交抛物线于点A，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点过点作交抛物线于点，……则点的坐标为（ ）

A．(1011， ) B．(-1011， )
C．(-1010， ) D．(1010， )
【答案】A
【分析】
根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x＋2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2020的坐标．
【详解】
∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（−1，1），
∵A1A2∥OA，
设直线A1A2为y＝x＋b
把A1（−1，1）代入得1=-1+b
解得b=2
∴直线A1A2为y＝x＋2，
解
得或，
∴A2（2，4），
∴A3（−2，4），
∵A3A4∥OA，
设直线A3A4为y＝x＋n，
把A3（−2，4）代入得4＝-2＋n，解得n=6
∴直线A3A4为y＝x＋6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（−3，9）
同理求出A6（4，16），A7（-4,16）A8（5，25），A9（-5,25）A10（6，36），A11（-6,36）
…，
∴A2n为
∴A2020（1011，10112），
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3....都在x轴上，点B1，B2，B3都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3....都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2020的坐标是( )

A．(22018，22018) B．(22019，22019) C．(22019，22020) D．(22020，22020)
【答案】B
【分析】
根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2020的坐标．
【详解】
∵OA1=1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，
∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=，
同理：∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3=2，
∴B2（2，2），
可得，B3（，），B4（，），…Bn（，），
B2020(22019，22019)，
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.也考查了等腰直角三角的性质以及勾股定理.
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，， ，，将四边形绕点逆时针旋转90°后得到四边形，依此方式，绕点 连续旋转2021次得到四边形，那么点 的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接交于．解直角三角形求出点的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
解：连接交于．

由题意，，，，
四边形关于轴对称，
，，
．，
，，，，，，，，
观察图象可知，4次一个循环，
，
的坐标与相同，
故选：A．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，熟悉探究规律的方法是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为．已知，作点N关于点A的对称点N1，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，依此类推，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．（5，4）
【答案】A
【分析】
先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解．
【详解】
解：由题意作出如下图形：

N点坐标为（-1，0），
N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），
N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），
N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），
N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴2020÷6=336……4，
即循环了336次后余下4，
故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y轴的正半轴上，且 OA1＝A1A2＝1，以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角 形 OA₂ A3，以 OA3为直角边作第三个等腰直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形 OA2017A2018，则点 A2017 的坐标为（ ）

A．（0，21008） B．（21008，0）
C．（0，21007） D．（21007，0）
【答案】A
【分析】
先根据等腰直角三角形的性质发现，，，…，的规律，再根据8个点一循环确定的位置，得到它的点坐标．
【详解】
解：∵等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作等腰直角三角形…
∴，，，…，，
∵、、…每8个一循环，再回到y轴的正半轴，
，
∴点在y轴的正半轴上，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查坐标找规律，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系内点坐标的特点，以及循环问题的求解方法．
10．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律， A2019的坐标为（　　）

A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0）
C．（2，﹣504） D．（2，-506）
【答案】A
【分析】
用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．
【详解】
依题意列出前面几个的坐标如下表
A1（2，0）
A2（1，1）
A3（0，0）
A4（2，2）
A5（4，0）
A6（1，3）
A7（-2，0）
A8（2，4）
A9（6，0）
A10（1，5）
A11（-4，0）
A12（2，6）
A13（8，0）
A14（1，7)
A15（-6，0）
A16（2，8）
观察表格发现：
对于，当n除以4余1时，的纵坐标为0，横坐标；
当n除以4余2时，的纵坐标为，横坐标1；
当n除以4余3时，的纵坐标为0，横坐标；
当n除以4，整除时，的纵坐标为，横坐标2．
运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点的纵坐标为0，横坐标为，所以点的坐标为（-1008，0） ．
故选：A．
【点睛】
本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2020次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为（ ）

A．(﹣1，1) B． C．(﹣1，﹣1) D．
【答案】C
【分析】
根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【详解】
解：如图，

∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB=，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（-1，1），B3（-，0），B4（-1，-1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，
∴点B2020的坐标为（-1，-1）
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
12．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】
解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
13．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，……，则第10个等边三角形的边长等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题目已知条件可推出，AA1=OB=，B1A2=A1B1=，B2A3=A2B2=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
【详解】
如图，∵点C（0，1），∠ABC=30°，
∴OC=1，OB=．
∵∠OBA1=30°，
∴AA1=OB=，
∵△AA1B1、△A2B1B2为等边三角形，
∴∠A1AB1=∠AA1B1=∠A2B1B2=60°，
∴∠AA1B=∠B1A2B=90°，∠A1B1A2=60°，则∠B1A1A2=30°，
在Rt△B1A1A2中，B1A2=A1B1=，
同理得：B2A3=A2B2=，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于，
∴第10个等边三角形的边长=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，从而归纳出边长的规律．
14．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）

A．(5，44) B．(4，44) C．(4，45) D．(5，45)
【答案】B
【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：用的次数是次，到是第次，到是第次，到是第次，到是第次，到是第次，依此类推，到是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标．
【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，用的次数是次，到是第次，到是第次，到是第次，到是第次，到第次，依此类推，到是第2025次．
，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
15．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）

A．（2021，0） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，2）
【答案】C
【分析】
分析点P的运动规律找到循环规律即可．
【详解】
解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，
因为2021＝505×4＋1
所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，剩余一次运动向右走1个单位，且纵坐标为1．
故点P坐标为（2021，1）
故选：C．
【点睛】
本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．

二、填空题
16．如图，已知直线上，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则的坐标为_________，的坐标_________．

【答案】（0，4） （0，）
【分析】
先求出点B的坐标为（，1），得到OA=1，AB=，求出∠AOB=60°，再求出∠得到，求出(0，4)；同理得到，，（0，）；由此得到规律求出答案．
【详解】
将y=1代入中得x=，
∴B（，1），
∴OA=1，AB=，
∴tan∠AOB=，
∴∠AOB=60°，
∵∠A1BO=90°，
∴∠，

∴，
∴，
∴(0，4)；
同理：，，
∴16，
∴（0，），
，
∴点的坐标为，
故答案为：（0,4）；．
【点睛】
此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为______．

【答案】（-1，-1）
【分析】
根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形O A B C，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【详解】
解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1）；
连接OB，由勾股定理得：OB= ，由旋转得：OB= OB= OB=OB=…=；
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BO B=∠BO B=…=45°，
∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…余4，
∴点B的坐标为（-1，1）．
故答案为（-1，-1）．

【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
18．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．

【答案】(－37，1)
【分析】
先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A18的坐标．
【详解】
正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．
AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）
CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）
DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）
AA3=7-（-1）=8，A4与A平行x轴，A4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A4（9，-1）
A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），
每四次变化回到相同的象限，
第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，
相应变化的坐标一周差8，
18÷4=4…2，A18在第二象限，
4×8=32，四周差32，
A18的横坐标为：-5-4×8=-37，
A18（-37，1），
故答案为：（-37，1）．
【点睛】
本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．

【答案】
【分析】
先根据直线 与x轴交于点，可得 (3,0)，O=3，再过作A⊥O于A，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，同理可得 的横坐标为，由此可得，的横坐标为，进而求得点的横坐标是．
【详解】
解：由直线与轴交于点，
可得，
∴，
如图所示，过作于，

则，
即的横坐标为，
由题意可得，，
∴，
∴，
过作于，
则，
即的横坐标为，
过作于，同理可得 横坐标为，
同理可得，的横坐标为，
由此可得，的横坐标为，
点的横坐标是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性质找出规律，求得坐标．
20．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2020次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2020的位置，则点P2020的横坐标为_____．

【答案】2020
【分析】
根据图形的翻转，分别得出P1、P2、P3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标．
【详解】
作PD⊥AO于D，
∵三角形OAP为等边三角形，且边长为1，
∴OD= AD=0.5，

观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5，…，
找到规律：
P3的横坐标是：，P4、P5的横坐标是：，
P6的横坐标是：，P7、P8的横坐标是：，
，
因为2019÷3=673，所以P2019的横坐标为2018.5．
∴P2020的横坐标是．
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出P1、P2、P3…的横坐标，找到规律是解答此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，等边，等边，等边，……中，，，……平行于x轴，点，，，……在y轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， ，，，……的长依次为，，，……以此类推， 则等边的顶点的坐标为___．

【答案】
【分析】
如图，分别交x轴于点,连接，根据等边三角形的性质得，则利用含的直角三角形三边关系得到，
从而得到的坐标，然后利用这些坐标的变换规律写出点的坐标．
【详解】
如图，分别交x轴于点,连接，
，平行于x轴，

都是等边三角形，

所有等边三角形的三边垂直平分线的交点在原点，



等边的顶点的坐标为，纵坐标为
即
故答案为：

【点睛】
本题考查等边三角形的性质，点坐标与象限等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点坐标是__________．

【答案】
【分析】
先分别求出A1的坐标是（-1，-3），A2的坐标是（-5，1），A3的坐标是（1，7），A4的坐标是（9，-1），从中找出规律，依规律计算即可．
【详解】
解：从图中可以看出A1的坐标是（-1，-3）
A2的坐标是（-5，1）
A3的坐标是（1，7）
A4的坐标是（9，-1）
2015÷4=503…3
∴点A2015的坐标是A3的坐标循环后的点．
依次循环则A2015的坐标在x轴上的是1，
y轴上的坐标是可以用n=（1+2n）（n为自然数）表示．
那么A2015实际上是当n=2015时的数，所以（1+2×2015）=4031．
A2015的坐标是（1，4031），
故答案为：（1，4031）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．
23．如图，边长为4的等边，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边，边与AB交于点，以为边作等边，边与交于点，为边作等边，边与交于点…依此规律继续作等边，记的面积为，的面积为，的面积为…的面积为，则______（，且n为整数）．

【答案】．
【分析】
首先根据等边三角形的性质得到…，，进而得到相似比，进而得到面积比，求出，然后写出、…后即可总结得到规律．
【详解】
由题意：…，，相似比：，
∵，，
∴，，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，考查较为综合，重点是弄清图像变化形式．
24．如图，直线与轴所夹的锐角为30°，的长为2，、、均为等边三边形，点、、在轴正半轴上依次排列，点、、在直线上依次排列，那么点的坐标为______，点的坐标为______．

【答案】 ．
【分析】
根据等边三角形的性质和∠B1OA2=30°，可求得∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=4，同理可求得OAn=2n，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△AnBnAn+1的边长，进一步可求得点Bn的坐标．
【详解】
解：∵为等边三角形，∴，
∵，∴，
可求得，同理可求得，
∵，，∴，
即的边长为，则可求得其高为，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；．
【点睛】
本题属于规律型问题，考查点的坐标，掌握等边三角形的性质为解题关键．
25．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝_____．

【答案】
【分析】
作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，根据等腰直角三角形的性质设点的坐标为，求出a的值，从而得到点的坐标，然后用同样的方法依次求其他的点坐标，从而发现这些等腰直角三角形腰长的规律，最终求出结果．
【详解】
解：如图，作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，
∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．
设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得：
∴a＝a2，
解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，
由勾股定理得：A1B0＝，
∴B1B0＝2，
过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），
可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，
又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，
（x2+2）＝x22，
解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），
∴A2B1＝2，
同理可得：
A3B2＝3，
A4B3＝4，
…
∴A2020B2019＝2020，
∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020．
故答案为2020．

【点睛】
本题考查点坐标找规律，解题的关键是掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
26．如图，点A1（2，2）在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰，再过点作轴，分别交直线和于两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰，按此规律进行下去，则等腰的面积为_____；等腰的面积为____．

【答案】
【分析】
利用一次函数的解析式，分别作出等腰直角三角形的直角边的长，探究规律后，解决问题即可．
【详解】
解：∵点轴交直线于点，
，
，
即的面积，
，
，
又由轴交直线于点，
，
，
即的面职，
以此类推，，
即面积，
……，
，
的面积，
当时，
的面积为：

．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的判定和性质，正比例函数的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
27．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点：过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…按照如此规律进行下去，点的坐标为___________．

【答案】
【分析】
根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2020的坐标．
【详解】
由题意可得，
点A1的坐标为(2，4)，
设点B1的坐标为(，)，
∵OB1=OA1，
∴，
解得：，
∴点B1的坐标为(4，2)，
同理可得，点A2的坐标为(4，8)，点B2的坐标为(8，4)，
点A3的坐标为(8，16)，点B3的坐标为(16，8)，
……
∴点B2020的坐标为(，)，
故答案为：(，)．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
28．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是______．

【答案】
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…，
∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）．
观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，
∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1），An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数），
∴△AnAn+1Bn的面积是（2n-1）2=22n-3，
∴△A2016A2017B2016的面积=22×2016-3=24029，
故答案为：24029．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键．
29．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是______．

【答案】
【分析】
观察题图可知，先根据P3(1，0)， P6 (2，0)，即可得到P3n(n，0)，P3n+1(n，-1)，再根据P3×673(673，0) ，可得P2019 (673，0)，进而得到P2020(673，-1)．
【详解】
由图可知P3(1，0)， P6 (2，0)，···，P3n(n，0)，P3n+1(n，-1)，
∵3×673=2019，
∴P3×673(673，0) ，即P2019 (673，0)，
∴P2020(673，-1)．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形的变化规律得到P3n(n，0)．
30．如图，在平面直角坐标系中有一个等边，其中A点坐标为，将绕顶点A顺时针旋转，得到；将得到的绕顶点B顺时针旋转，得到；然后再将得到的绕顶点顺时针旋转，得到…按照此规律，继续旋转下去，则点的坐标为________．

【答案】
【分析】
计算出的横坐标，推出的横坐标，再代入即可．
【详解】
观察得知：，，，；
且当为偶数时，的纵坐标为0；当为奇数时，的纵坐标为．
归纳得出：；
代入，得；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的旋转变化，正确归纳旋转的规律是解决本题的关键．
31．探究与发现：
在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，……，点，，，，……在直线上，点，，，，……在轴正半轴上．则

（1）的坐标是_______；
（2）前个正方形对角线长的和是_______．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意和函数图像可以求得、、、的坐标，从而可以发现其中的变化规律进而求得的坐标；
（2）在（1）结论的基础之上，可求得、、、的长度，再由正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧即可求得前个正方形对角线长的和．
【详解】
解：（1）∵根据题意可得，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；

∴点的坐标为．
（2）∵由（1）可知，
；
；
；
；

∴前个正方形对角线长的和是：


∵设
∴
∴
∴
∴
∴前个正方形对角线长的和是：


．
故答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、找规律题型（点的坐标）、正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧，解答本题的关键是明确题意，并利用数形结合的思想解答．
32．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为______．

【答案】
【分析】
根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可．
【详解】
解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是
依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020，
的坐标是，
故答案为．
【点睛】
本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．
33．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…，直线轴于点（其中为正整数）．函数的图象与直线,,,…，分别交于点,,，…，；函数的图象与直线,,,…，分别交于点,,，…,，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作,…，四边形的面积记作，那么_____.

【答案】2014.5
【分析】
根据题意可判断出四边形是梯形且An(n，n)，Bn(n，2n)，可求出AnBn和An﹣1Bn﹣1，可根据梯形面积公式求解即可．
【详解】
解：∵⊥x轴，⊥x轴，
∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且与的距离为1，
∴四边形是梯形，An(n，n)，Bn(n，2n)，
根据题意，AnBn=2n﹣n=n，An﹣1Bn﹣1=n﹣1，
∴四边形的面积= （n+n﹣1）×1= （2n﹣1），
∴当n=2015时，=×（2×2015﹣1）=2014.5，
故答案为：2014.5．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质、梯形的面积公式、有理数的运算、图形类规律探究，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合思想得出四边形是梯形是解答的关键．
34．如图，已知直线a：y=x，直线b：y=-x和点P(1，0)，过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点p2，过点p2作y轴的平行线交直线a于点p3，过点p3作x轴的平行线交直线b于点p4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为_____________．

【答案】
【分析】
点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．
【详解】
解：点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，
，
令，则
的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上…，如此下去，其中纵坐标为______，点的纵坐标为______．

【答案】
【分析】
先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．
【详解】
解：设直线AB的解析式y=kx+b
则有： ，解得：
所以直线仍的解析式是：
设C1的横坐标为x，则纵坐标为
∵正方形OA1C1B1
∴x=y，即，解得
∴点C1的纵坐标为
同理可得：点C2的纵坐标为=
∴点Cn的纵坐标为．
故答案为：，．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
36．如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为（2，0）．过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边．过作交双曲线于点，过作交轴于点得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为______，的坐标为______．

【答案】（2，0）， （2，0）．
【分析】
根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点Bn的坐标．
【详解】
解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．
∵点A2在双曲线上，
∴（2+a）•a=，
解得a=-1，或a=--1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，
OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．
∵点A3在双曲线y=（x＞0）上，
∴（2+b）•b=，
解得b=-+，或b=--（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
故答案为（2，0），（2，0）．

【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
37．正方形、、…按如图放置，其中点、、…在轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，点的坐标是______．

【答案】
【分析】
先根据直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【详解】
解：∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴A1B1=B1C1，
∴设B1的坐标是（x，-x+2），
∴x=-x+2，x=1．
∴B1的坐标是（1，1）．
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵A1A2B2C2是正方形，
∴B2C2=A1C2，
∵点B2在直线y=-x+2上，
∴B2C2=B1C2，
∴B2C2=A1B1=，
∴点B2的坐标为（1+，），
同理，可得到点B3的坐标为（1++，）．
依此类推，可得到点Bn的坐标为（1++ … ，），
即Bn的坐标为.
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为______．

【答案】
【分析】
根据题意，得到点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，由于，所以第2020个点在第45个矩形右下角顶点，向上5个单位处．
【详解】
根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，
点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为，共有个，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，
，是奇数，
第个点是，
第个点是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了规律的归纳总结，重点是先归纳总结规律，然后在根据规律求点位的规律．