2021年中考一轮复习数学《二次函数综合性压轴题》专题突破训练（含答案）

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2021年中考数学复习《二次函数综合性压轴题》专题突破训练
1．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．
（1）直接写出B点坐标：　 　，抛物线解析式为　 　（一般式）；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3，求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．

2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

3．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值．
4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3，与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴的交于点C．点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接CD、DB．当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标？
（3）是否存在点P，使得△PCD是等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由．



5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．


6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．

7．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；
（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．


8．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（Ⅰ）求点C的坐标和抛物线的解析式；
（Ⅱ）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；
（Ⅲ）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．



9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．

（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


10．如图，抛物线关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知D（0，1），连接AD，将△ADO绕平面内某一点顺时针旋转90°得到△A'D'O'，A、D、O的对应点分别为A'、D'、O'．若A′，D′两点恰好落在抛物线上，求点D'的坐标．
（3）如图2，P在抛物线上，且位于x轴上方，已知PA，PB与y轴分别交于E，F两点．当点P运动时，请探究是否为定值．

11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点D、E，二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m＜0）与x轴交于A、B两点．
（1）A点坐标　 　，B点坐标　 　；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在P点，使得以点A、B、P为顶点的三角形与△DEO相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；
（3）点Q为（2）中抛物线上的动点，当Q到直线DE距离最小时，求Q点坐标及最小值．

12．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝ax2+bx+c与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，tan∠ABO＝，B（1，0），点A横坐标为﹣2，BC＝4．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线y＝a（x﹣）2+h经过点A（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点Q是OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点D处，连接AC．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
（2）直接写出tan∠CAD的值；
（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；
（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）若直线y＝bx+t（t＞c）与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）．直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．


16．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠PAB＝2∠ACO，求点P的横坐标；
（3）如图3，点D为抛物线的顶点，直线y＝kx﹣k+2交抛物线于点E，F，过点E作y轴的平行线交FD的延长线于点P，求CP的最小值．

参考答案
1．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝，
令y＝＝0，解得x＝4或﹣2，故点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0），y＝；
（2）延长DC交x轴于点M，

∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA，
∴CA＝CM，
过点C作CQ⊥AM于点Q，
则QM＝AQ＝8，
∴点M坐标为（14，0），
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y＝，
由得或（舍去）
∴点D坐标为（﹣6，10）；
（3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C的坐标代入上式并解得b＝4﹣6k，
故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，
则点M（0，﹣6k+4），
由得，
∴xC+xE＝2+4k，
∴xE＝4k﹣4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4 则点N（0，﹣6t+4）即xF＝4t﹣4 ②，
由得，
∴xE+xF＝4m+2③，
xE•xF＝﹣8﹣4n④，
将①②代入③④得，
又OM•ON＝3，
∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，
∴，
∴，
当时，，
∴直线EF经过定点且定点坐标为．
2．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2①；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则点Q（m，﹣m+2），
过点Q作QH⊥y轴于点H，

由点B、C的坐标知，CO＝2，OB＝4，则tan∠CBO＝＝＝tan∠CQH，则sin∠CQH＝，
则CH＝CQsin∠CQH＝CQ＝CH＝yC﹣yH＝2﹣（﹣m+2）＝m，
则PQ+CQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）m＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，故PQ+CQ有最大值，
当m＝3时，PQ+CQ最大值为，此时点P（3，）；
（3）将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，则向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
则抛物线的抛物线为y＝﹣（x+1）2+（x+1）+2+1＝﹣x2﹣x+3②；
联立①②并解得，故点G（1，），
设点N的坐标为（x，﹣x2﹣x+3），
①当CG是边时，
将点C向上平移个单位得到点G，则点N（M）向上平移个单位得到M（N），
即﹣x2﹣x+3±＝0，解得x＝﹣1±或1±2，
故点N的坐标为（﹣1+，）或（﹣1﹣，）或（﹣1+2，﹣）或（﹣1﹣2，﹣）；
②当CG是对角线时，
由中点公式得：（2+）＝（﹣x2﹣x+3），
整理得：x2+2x+5＝0，
∵△＜0，故该方程无解；
综上，点N的坐标为（﹣1+，）或（﹣1﹣，）或（﹣1+2，﹣）或（﹣1﹣2，﹣）．
3．解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（4，0），
∴0＝﹣4+n，
∴n＝4，
∴直线解析式为：y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4①；
（2）①∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+3m+4），则点D（m，﹣m+4），
∴PD2＝（﹣m2+4m）2，BP2＝m2+（﹣m2+3m）2，BD2＝m2+（﹣m+4﹣4）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+3m）2+2m2＝（﹣m2+4m）2，
∴m＝2，m＝0（舍去）
∴点E的坐标为（2，0），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
同理可得：m＝0（舍去）或3或4（舍去），
∴点E的坐标为（3，0），
综上所述：点E的坐标为（2，0）或（3，0）；
②当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，

∵点A（4，0），点B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，点C，
∴0＝﹣x2+3x+4，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴＝，
∴ON＝16，
∴点N（16，0），
∴直线BN解析式为：y＝﹣x+4②，
联立①②并解得：x＝0（舍去）或，
∴m＝；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，

∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣4x+4③，
联立①③并解得：x＝0（舍去）或7，
∴点P的横坐标为7，
∴m＝7，
综上所述：m＝7或．
4．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x﹣3，
设点P（x，﹣x﹣3），则点D（x，x2+2x﹣3），
则PD＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
则△BDC的面积＝S△PDB+S△PDC＝×PC×OB＝×3×（﹣x2﹣3x）＝﹣x2﹣x，
∵﹣＜0，故△BDC的面积有最大值，
当x＝﹣时，△BDC的面积的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；

（3）存在，理由：
由（1）知，设点P（x，﹣x﹣3），则点D（x，x2+2x﹣3），则PD＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
①当PC＝DC时，则点C在PD的中垂线上，
即（yP+yD）＝yC，即（﹣x﹣3+x2+2x﹣3）＝﹣6，
解得：x＝0（舍去）或﹣1，
故点P（﹣1，﹣2）；
②当PD＝PC时，
由点P、C的坐标知，PC＝﹣x，
则﹣x＝﹣x2﹣3x，
解得x＝0（舍去）或﹣3，
故点P（﹣3，﹣）；
③当DP＝CD时，
同理可可得，点P的坐标为（﹣2，﹣1），
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣3，﹣）或（﹣2，﹣1）．
5．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，
把x＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：y＝2，
∴C点坐标是（0，2），
又∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵点D（m，﹣m2+m+2），
∴E（m，﹣m+2），

∴DE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，
∴（﹣m2+2m）×3＝2××1×2，
整理得：m2﹣3m+2＝0
解得：m1＝1，m2＝2
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2；
（3）存在，理由：
设：点M的坐标为：（x，y），y＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），
故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，
解得：x＝﹣2或4，
故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；
②当BC为对角线时，
由中点公式得：x+1＝3，y+s＝2，
解得：x＝2，故点M（2，2）；
综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，﹣）或（4，﹣）．
6．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣3①；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
而直线l⊥AC，AO⊥y轴，

∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠OCA＝90°，
∴∠CDE＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠CED＝90°，
∴△CED∽△AOC，则，
而点A、C的坐标分别为（﹣6，0）、（0，﹣3），则AO＝6，OC＝3，设点D（x，x2+x﹣3），
则DE＝﹣x，CE＝﹣x2﹣x，
则＝，解得x＝0（舍去）或﹣1，
当x＝﹣1时，y＝x2+x﹣3＝﹣5，
故点D的坐标为（﹣1，﹣5）；
（3）①当点P在x轴的上方时，
由点C、D的坐标得，直线l的表达式为y＝2x﹣3，

延长AP交直线l于点M，设点M（t，2t﹣3），
∵∠PAC＝45°，直线l⊥AC，
∴△ACM为等腰直角三角形，则AC＝CM，
则62+32＝（t﹣0）2+（2t﹣3+3）2，解得t＝3，
故点M的坐标为（3，3），
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y＝x+2②，
联立①②并解得x＝﹣6（舍去）或，
故点P的横坐标m＝；
②当点P在x轴的下方时，
同理可得x＝﹣6（舍去）或x＝﹣5，
故m＝﹣5，
综上，m＝﹣5或．
7．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，
故点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）由点B、C、D的坐标知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
则BC2+CD2＝BD2，则△BCD为直角三角形，
四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC＝×3×+×4×3＝9；
（3）存在，理由：
作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，

设直线ED的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，
令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣，
故点Q的坐标为（﹣，0）．
8．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴点C（0，6）；
（Ⅱ）如图（1），

∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设D（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PD＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PD最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；
（Ⅲ）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6＝，
∴m＝或m＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．
9．解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3得：y＝3，
∴C（0，3）．
把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点D作DF⊥x轴于点F，

设D（x，﹣x2+2x+3），则F（x，0），OF＝x，BF＝3﹣x，
则DF＝﹣x2+2x+3，
S＝S梯形COFD+S△DFB﹣S△BOC＝×x（3﹣x2+2x+3）（3﹣x）（﹣x2+2x+3）﹣×3×3＝﹣（x﹣）2+，
∴当时，S有最大值，最大值为．
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3），B（3，0），
∴，，．
∴CD2+CB2＝BD2，
∴∠DCB＝90°．
如图所示：连接AC．

①∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA＝1，CO＝3．
∴，
又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
②过点C作CQ′⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ′，
∴△ACQ′∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ′∽△DCB．
∴，即，
解得：AQ′＝10．
∴Q′（9，0）．
③过点A作AQ⊥AC，交y轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CA⊥AQ，
∴△QAC∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△QAC∽△DCB．
∴，即，
解得：．
∴，
综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）或时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．
10．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+c，
∵OC＝2OB＝4，则点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；
（2）设点D′的坐标为（p，q），
∵△ADO绕平面内某一点顺时针旋转90°得到△A'D'O'，
∴D′O′⊥y轴，A′O′⊥y轴，O′A′＝2，O′D′＝1．
则点A′的坐标为（p﹣1，q+2），
将点A′、D′的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故点D′的坐标为（，）；
（3）是定值，理由如下，
过点P作PQ⊥AB于Q点，
设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），
则at2+c＝0，c＝﹣at2．

∵PQ∥OF，
∴，则OF＝＝＝﹣ac（m+t），
同理OE＝amt﹣at2．
∴OE+OF＝﹣2at2＝2c＝2OC．
∴＝2，是定值．
11．解：（1）令y＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，
解得x＝﹣1或4，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0），
故答案为（﹣1，0）、（4，0）；
（2）存在，理由：
对于一次函数y＝2x+4，令y＝2x+4＝0，则x＝﹣2，令x＝0，则y＝4，故点D、E的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4），
在Rt△ODE中，tan∠EDO＝2，则sin∠EDO＝，
当以点A、B、P为顶点的三角形与△DEO相似时，只能是∠APB为直角，如图1，设点P的为（a，b），
∵OE：OD＝2，故以点A、B、P为顶点的三角形与△DEO相似时，两个三角形的相似比为2或，
过点P作x轴的平行线，交过点A与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，

∵∠MPA+∠BPN＝90°，∠BPN+∠PBN＝90°，
∴∠MPA＝∠PBN，
∵∠PMA＝∠BNP＝90°，
∴△PMA∽△BNP，且相似比为2或，
即，即，
解得，则点P（3，2），
将点P的坐标代入y＝mx2﹣3mx﹣4m得：2＝9m﹣9m﹣4m，
解得m＝﹣；
（3）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2，
如图2，过点Q作x轴的平行线交DE于点N，则∠HNQ＝∠EDO，则sin∠HNQ＝sin∠EDO＝，
设点Q的坐标为（t，﹣t2+t+2），点N（x，﹣t2+t+2），
∵y＝2x+4＝﹣t2+t+2，则x＝﹣t2+t﹣1，
过点Q作QH⊥DE于点H，则HQ为Q到直线DE距离，

HQ＝NQsin∠HNQ＝[t﹣（﹣t2+t﹣1）]＝（t2+t+1），
∵＞0，故HQ有最小值，
当t＝﹣时，HQ有最小值为，此时点Q（﹣，）．
12．解：（1）∵tan∠ABO＝，由直线的表达式知，a＝﹣，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+；
当x＝﹣2时，y＝﹣x+＝2，故点A（﹣2，2），
∵点B（1，0），BC＝4，则点C（﹣3，0），则c＝﹣3，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx+c
将点A、B的坐标代入上式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故抛物线的顶点坐标为：（﹣1，）；

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，

由点A、C的坐标知，AC＝＝，
由翻折的性质可知AN＝AC＝，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（0，2），故OD＝2，
∴ON＝2﹣3或ON＝2+3，
当ON＝2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2﹣3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，
∴tan∠DAM＝＝，
∴∠DAM＝60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC＝∠DAO＝60°，
又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，
∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，
∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，
∴此时N点坐标为（，）；
综上可知N点坐标为（0，2﹣3）或（，）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC＝EF，
∴∠ACK＝∠EFH，
在△ACK和△EFH中，
，
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，
∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2﹣＝，即E点纵坐标为﹣，
∴E（﹣1，﹣）；
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2，
∴x＝﹣4，y＝2﹣t，
代入直线AB解析式可得2﹣t＝﹣×（﹣4）+，解得t＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．
13．解：（1）由抛物线表达式知，函数的对称轴为x＝，
而点A（1，0），
根据点的对称性，则xB＝1+2×（﹣1）＝4，
故点B的坐标为（4，0）；
（2）存在，理由：
∵抛物线经过点A（1，0），B（4，0），
∴A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0），B（4，0），C（0，3），
设直线BC解析式为y＝kx+n，把B、C两点坐标代入可得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝，
当x＝时，y＝﹣x+3＝，
故点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由：
①当∠BQM＝90°时，如图2，

∵M在线段BC上
∴设M（m，﹣m+3），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM＝MQ＝﹣m+3，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，则，即，
解得：m＝，
∴M（，）；
②当∠QMB＝90°时，如图3，

∵∠CMQ＝90°，
∴只能CM＝MQ，
设CM＝MQ＝m，
∴BM＝5﹣m，
∵∠BMQ＝∠COB＝90°，∠MBQ＝∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，则，即，
解得m＝＝CM，
过点M作MN∥OB交y轴于点N，
∴，即，
∴MN＝，
∵BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝时，则y＝﹣x+3＝，
∴M（，）．
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．
14．解：（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，
故点B（2，0）、点C（0，6），
由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（﹣6，0）、（0，2）；
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式中得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，

则S△ACD＝×CD×AO＝×AC×HD，即×4×6＝××HD，
解得HD＝2，
根据勾股定理得，AH＝＝＝4，
故tan∠CAD＝；
（3）∵OA＝OC，则∠ACO＝45°，
由题意得：PC＝2t，CQ＝6﹣t，
则|xP|＝PC•cos45°＝t，
则S△CPQ＝×CQ×|xP|＝×t（6﹣t）＝﹣（t2﹣6t），
∵﹣＜0，故S△CPQ有最大值，当t＝3时，其最大值为，
当t＝3时，PC＝6，点P的纵坐标为6﹣3，
故点P（﹣3，6﹣3）；
（4）①当AD是正方形的对角线时，则正方形为ANDM′，
设M′N交AD于R，交x轴于点H，
则点R是AD的中点，则点R（﹣3，1），
在Rt△AOD中，tan∠DAO＝＝＝，则tan∠RHA＝3，
则设直线M′N的表达式为y＝﹣3x+b，将点R的坐标代入上式并解得b＝﹣8，
故直线M′N的表达式为y＝﹣3x﹣8，设点N（m，﹣3m﹣8），
过点N作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点G，交y轴于点K，

∵∠DNK+∠ANG＝90°，∠ANG+∠NAG＝90°，
∴∠NAG＝∠DNK，
∵∠NGA＝∠DKN＝90°，AN＝DN，
∴△NGA≌△DKN（AAS），
∴GN＝DK，即m+6＝2+3m+8，解得m＝﹣2，
故点N的坐标为（﹣2，﹣2）；
②当AD是正方形的边时，
当DN′是边时，
同理可得：△DSN′≌△AOD（AAS），
∴N'S＝OD＝2，DS＝AO＝6，
故点N′（﹣2，8）；
当AN是边时，点N对应的是上图中的点M，
同理可得，点M（﹣8，6），即点N″（﹣8，6）；
综上，点N的坐标为（﹣8，6）、（﹣2，8）、（﹣2，﹣2）．
15．解：（1）①将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②当点P在CQ的右边时，设点P（m，0），如图，过点Q作QS⊥x轴于点S，

∵∠QPS+∠CPO＝90°，∠SQP+∠QPS＝90°，
∴∠SQP＝∠CPO，
∵∠QSP＝∠POC＝90°，PQ＝PC，
∴△PQS≌△CPO（AAS），
∴SQ＝OP＝m，SP＝OC＝3，
∴SO＝3﹣m，则点Q（m﹣3，m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m＝（m﹣3）2﹣2（m﹣3）﹣3，解得m＝，
故点P的坐标为（，0）或（，0）．
当点P在CQ的左侧时，同法可得Q（m+3，﹣m），

将点Q的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，解得m＝0或﹣5，
∴P（0，0）或（﹣5，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，0）或（﹣5，0）．
（2）设点A、M、N的坐标分别为（p，0）、（m，am2+bm+c）、（n，an2+bn+c），
由点A的坐标得：当x＝p时，y＝ax2+bx+c＝ap2+bp+c＝0，即c＝﹣ap2﹣bp，
联立y＝ax2+bx+c和y＝bx+t并整理得：ax2+c﹣t＝0，则m+n＝0，
设直线MN的表达式为y＝sx+q，则，解得，
即直线MN表达式中的k值为am+an+b，
同理直线AM表达式中的k值为am+ap+b，
则直线AM的表达式为y＝（am+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yE＝﹣p（am+ap+b），
同理可得AN表达式为y＝（an+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yD＝﹣p（an+ap+b），
则（yD+yE）＝﹣p（am+an+2ap+2b）＝﹣p（0+2ap+2b）＝﹣ap2﹣bp＝c＝yC，
故点C是线段DE的中点．
16．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；
（2）在OB上取OR＝OA＝2，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，
过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，

则S△ACR＝AR×CO＝×CR×AK，即×4×4＝××AK，
解得AK＝，则sin∠ACK＝＝＝，则tan∠ACK＝＝tan∠BAP，
在Rt△AOH中，OH＝AO×tan∠BAP＝2×＝，
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为y＝﹣x﹣②；
联立①②并解得x＝，
故点P的横坐标为；
（3）设点E、F的坐标分别为（m，﹣m2+m+4）、（n，﹣n2+n+4），
联立①与y＝kx﹣k+2并整理得：x2+（2k﹣2）x﹣（4+2k）＝0，
则m+n＝2﹣2k，mn＝﹣4﹣2k，
由抛物线的表达式知，点D（1，），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y＝﹣（n﹣1）x+n+4，
当x＝m时，y＝﹣（n﹣1）m+n+4＝﹣mn+（m+n）+4＝﹣（﹣4﹣2k）+（2﹣2k）+4＝7，
故点P的坐标为（m，7），
则PC＝＝≥3，
故PC的最小值为3