2021中考数学专题《倍长中线模型构造全等三角形》

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2021中考数学专题《倍长中线模型构造全等三角形》【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC中 AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE  作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE   延长MD到N，使DN=MD，连接CD1、     如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,∵D为AC中点∴AD=DC,在△ABD和△CED中，BD=DE,∠ADB=∠CDEAD=CD∴△ABD≌△CED（SAS）∴EC=AB=10在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC10-6＜BE＜10+6∴4＜2BD＜16∴2＜BD＜82、如图1，已知中，是边上的中线．求证：．证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线∴在和中∴∴在中，∴． 3、如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．【答案】详见解析【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【详解】如图，延长至点，使得，并连结，∵是三角形的中线，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，即．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形． 4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.解析：延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线∴∠1=∠4=∠ADB,∠3=∠5=∠ADC又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°∴△EFD≌△HFD（AAS）∴EF=FH在△BDE和△CDH中，DE=DH∠1=∠2BD=DC∴△BDE≌△CDH（SAS）∴BE=CH在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH∵CH=BE,FH=EH∴BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？解析：连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G在△DFC和△BDG中，∠DFC=∠G∠FCD=∠DBGBD=CD∴△DFC≌△BDG(AAS)∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB又∵ED⊥FD,∴EF=EG∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°∴△EBG为直角三角形∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.  【跟踪练习】1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.  2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学+科+网]  3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE. 4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？     [来源:学§科§网Z§X§X§K]5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．  6、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC>2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．   [来源:Z*xx*k.Com]8、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．  9、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．       10、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．   [来源:学科网]11、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．  [来源:Z,xx,k.Com 12、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG． 参考答案：1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.【解析】倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）∵AF=EF∴∠FAE=∠FEA，BE=BM∴AC=BM=BE2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.【解析】[来源:学科网ZXXK]倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS）所以EF=CM=AC∴∠CAD=∠EFD=∠BAD∴EF∥AB3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.【解析】倍长CE至点M，连BM，证△DCB≌△MCB如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE求证：AM⊥CD【解析】倍长AM至点F，连BF和EF可证△ABF≌△CAD（SAS）∠C+∠CAF=∠BAF+∠CAF=90°∴AM⊥CD4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？[来源:Z§xx§k.Com] 解：如图，延长GE交CB的延长线于点H∵AD∥BC[来源:学,科,网Z,X,X,K]∴∠GAE=∠HBE∵E为AB边的中点∴AE=BE在△AGE和△BHE中，∴△AGE≌△BHE（ASA）∴BH=AG，HE=GE∵GE⊥EF∴GF=HF∵BF=2，AG=1∴GF=HF=BF+BH        =BF+AG        =2+1        =35、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2[来源:学科网ZXXK]∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com]∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC6、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC>2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD为BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）（3）证明：如图，∵△BDE≌△CDA∴BE=AC∵DE=AD∴AE=2 AD在△ABE中，AB+BE>AE∴AB+AC>2AD（4）在△ABE中，ABBE<AE<AB+BE由（3）得AE=2AD，BE=AC∵AC=3，AB=5∴53<AE<5+3∴2<2AD<8∴1<AD<4 [来源:学&科&网Z&X&X&K7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB，∠2=∠E∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC 8、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF∴CF=2CD∵CD是△ABC的中线∴BD=AD在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠1=∠F∵CB是△AEC的中线∴BE=AB∵AC=AB∴BE=BF∵∠1=∠F∴BF∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC=AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE=∠CBF在△CBE和△CBF中∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠2=∠3∴CE=2CDCB平分∠DCE[来源:学科网ZXXK]9、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM∵D是BC边的中点∴BD=CD在△ADC和△MDB中[来源:学科网ZXXK]∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠1=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠3[来源:Zxxk.Com]∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF=∠EAF10、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM∵点E是BC的中点∴BE=CE在△CFE和△BME中∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD∥EF∴∠3=∠F，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD为△ABC的角平分线 11、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．解：如图，延长AF交BC的延长线于点G∵AD∥BC∴∠3=∠G∵点F是CD的中点∴DF=CF在△ADF和△GCF中∴△ADF≌△GCF（AAS）∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠1=∠B∵AB⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B+∠G=90°∴∠2=∠G∴EG=AE=5∴CE=EGCG=52.7=2.3 12、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°∴∠DCB+∠FEB=180°∴EF∥CD∴∠FEG=∠M∵点G为FD的中点∴FG=DG在△FGE和△DGM中∴△FGE≌△DGM（AAS）∴EF=MD，EG=MG∵△FEB是等腰直角三角形∴EF=EB∴BE=MD在正方形ABCD中，BC=CD[来源:学科网]∴BE+BC=MD+CD即EC=MC∴△ECM是等腰直角三角形∵EG=MG∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°∴∠2=∠3=45°∴EG=CG