2021年中考数学复习之压轴题专题05 方案设计与决策型问题

专题05 方案设计与决策型问题

【中考展望】

方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．

方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：

1．根据实际问题拼接或分割图形；

2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．

方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．

【方法点拨】

解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．

解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.

【精讲例题】

类型一、利用方程（组）进行方案设计 

1．（凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．

（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？

（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？

【思路点拨】

（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；

（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．

【答案与解析】

解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，

解得，

即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；

（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，

则

解得，12.5≤x≤15，

第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；

第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；

第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；

即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．

【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

举一反三：

【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.

(1)求出该班男生与女生的人数；

(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？

【答案】

解：(1)设男生有6x人，则女生有5x人．

依题意得：6x＋5x＝55，

∴x＝5，

∴6x＝30,5x＝25.

答：该班男生有30人，女生有25人．

(2)设选出男生y人，则选出的女生为(20－y)人．

由题意得：，

解得：7≤y<9，

∴y的整数解为：7、8.

当y＝7时，20－y＝13，

当y＝8时，20－y＝12.

答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．

类型二、利用不等式（组）进行方案设计

2．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．

(1)当n＝200时，

①根据信息填表：

②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？

(2)若总运费为5800元，求n的最小值．

【思路点拨】

(1)①运往B地的产品件数＝总件数n－运往A地的产品件数－运往C地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；

②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；

(2)总运费＝A产品的运费＋B产品的运费＋C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可．

【答案与解析】

(1)①根据信息填表：

②由题意得

解得40≤x≤42.

∵x为正整数，∴x＝40或41或42，∴有3种方案，分别为：

(ⅰ)A地40件，B地80件，C地80件；

(ⅱ)A地41件，B地77件，C地82件；

(ⅲ)A地42件，B地74件，C地84件．

(2)由题意得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，

整理得n＝725－7x.

∵n－3x≥0，∴x≤72.5.

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为正整数．

∵n随x的增大而减小，∴当x＝72时，n有最小值为221.

【总结升华】

考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n的最小值.

举一反三：

【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水.

（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？

（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；

（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）

【答案】

解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题意3x+2×0.75x=54，解得x＝12，

∵12×75%＝9，∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元
(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有12a+9(8-a)≤84①；

200a+160(8-a)≥1300②，解得：≤a≤4，
由题意a为正整数,∴a＝1,2,3,4∴所有购买方案有四种,分别为
方案一:甲型1台,乙型7台；方案二:甲型2台,乙型6台
方案三:甲型3台,乙型5台；方案四:甲型4台,乙型4台
(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，

W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），
化简得:W=－2a＋192,
∵W随a的增大而减少∴当a＝4时,W最小（逐一验算也可）
∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.

类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计

3．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．

(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？

(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．

【思路点拨】

（1）等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；
（2）关系式为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．

【答案与解析】

解：(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，

则，解得.

答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金130万元．

(2)设A类学校应该有a所，则B类学校有(8－a)所．

则，解得，

∴1≤a≤3，即a＝1,2,3.

答：有3种改造方案：

方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；

方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；

方案三：A类学校有3所，B类学校有5所．

【总结升华】

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键．

举一反三：

【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．

(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？

(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于x的函数关系式；

(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱．

【答案】

解：(1)设每个文具盒x元，每支钢笔y元，由题意得

，解得.

答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．

(2)由题意知，y1关于x的函数关系式为y1＝14×90%x，即y1＝12.6x.

由题意知，买钢笔10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y2＝15x.

当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y2＝15×10＋15×80%(x－10)，

即y2＝12x＋30.

(3)当y1<y2，即12.6x<12x＋30时，解得x<50；

当y1＝y2，即12.6x＝12x＋30时，解得x＝50；

当y1>y2，即12.6x>12x＋30时，解得x>50.

综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱；

当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；

当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱．

类型四、利用函数知识进行方案设计

4．（深圳模拟）将220吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：

（1）求这两种货车各需多少辆？

（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，填写表2，写出

运费w（元）与a的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费．

表1

表2．

【思路点拨】

（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可

（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．

【答案与解析】

解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得

15x+10（18﹣x）=220，

解得：x=8，

需要小货车18﹣8=10辆．

答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；

（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．

由题意，得

W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），

W=100a+10800．

15a+10（8﹣a）≥110，

a≥6．

∵k=100＞0，

∴W随a的增大而增大，

∴a=6时，W最小=11400，

∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．

【总结升华】

此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．

类型五、利用几何知识进行方案设计

5．某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)

(1)试用含x的代数式表示y；

(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；

①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；

②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.

③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.

【思路点拨】

（1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；

（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；

②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；

③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．

【答案与解析】

解：（1）由题意得，

πy+πx=628，

∵3.14y+3.14x=628，

∴y+x=200则y=200﹣x；

（2）①W=428xy+400π+400π，

=428x（200﹣x）+400×3.14×+400×3.14×，

=200x2﹣40000x+12560000；

②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，

由①知W=200（x﹣100）2+1.056×107＞107，

所以不能；

③由题意可知：x≤y即x≤（200﹣x）解之得x≤80，

∴0≤x≤80，

又题意得：W=200（x﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，

整理得（x﹣100）2=441，

解得x1=79，x2=121（不合题意舍去），

∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；

所以设计方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．

【总结升华】

此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．

【中考实战】

一、选择题

1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用(　　)

A．14分钟  B．13分钟  C．12分钟  D．11分钟

2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有(　　)

A．2种  B．3种  C．4种  D．5种

3．（邯郸一模）如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象（总利润=总销售额﹣总成本）．由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案：

方案（1）是不改变食品售价，减少总成本；

方案（2）是不改变总成本，提高食品售价．

下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1）（2）的图象是（　　）

A．②，③ B．①，③ C．①，④ D．④，②

二、填空题

4．（乳山市期中）某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛（即每队均需26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是　．

5．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．

(1)每支钢笔的价格为；每本笔记本的价格为；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有种购买方案？请你一一写出．

6.“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：

（1）前往A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%；

（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______.

三、解答题

7．（高新区期末）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A，B两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）我区计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？

8.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：

方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；

方案二：售价不变，但发资料做广告.已知这种商品每月的广告费用m(千元)与销售量倍数p关系为p=；

试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！

9.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．

(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程；

(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．

10.阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.

请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图表明探究方法并直接写出结果）.

【中考实战答案与解析】

一、选择题
1.【答案】C；

【解析】洗锅盛水2分钟，用锅把水烧开7分钟，用烧开的水煮面和菜要3分钟，这样一共是12分钟.而洗菜的3分钟和准备面及佐料的2分钟可以在烧开水的过程中来做.

2.【答案】C；

【解析】解：设甲车a辆，则乙车（10-a）辆.
根据题意：
40a+30×（10-a）≥340①
16a+20×（10-a）≥170②
由①得40a+300-30a≥340，a≥4
由②得16a+200-20a≥170，a≤7.5
所以4≤a≤7.5
a=4，5，6，7
所以租车方案有4种.

3.【答案】B；

【解析】①根据函数图象可知，斜率不变，与y轴交点上移，即售价不变，总成本减少；

②根据函数图象可知，斜率不变，与y轴交点下移，即售价不变，总成本增加；

③根据函数图象可知，斜率变大，与y轴交点不变，即总成本不变，售价增加；

④根据函数图象可知，斜率变小，与y轴交点不变，即总成本不变，售价减少．

表示方案（1）的图象为①，表示方案（2）的图象为③．

故选B．

二、填空题

4.【答案】7、13、6；

【解析】设这个队在第一赛季中胜了x场，负了y场，平了（y+7）场，

根据题意得：，

解得：，

∴y+6=13．

故答案为：7、13、6．

5.【答案】（1）3元，5元；（2）5；20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．

【解析】（1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元，依题意得：解得：

所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元.

(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本

依题意得：，解得：，所以，一共有５种方案

即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．

6.【答案】（1）30；20．（2）．

【解析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图；

（2）让去B地车票数除以车票总数即为所求的概率；
三、解答题

7.【答案与解析】

（1）解：设改造一所A类学校需资金a万元一所B类学校需资金a万元．

，

解得．

答：改造一所A类学校需资金60万元，一所B类学校需资金85万元；

（2）解：设改造x所A类学校，（6﹣x）所B类学校，依题意得

，

解得2≤x≤4，

又因为x是整数，

∴x=2、3、4、6﹣x=4、3、2．

所以共有三种方案：改造A类学校2所，B类学校4所；

改造A类学校3所，B类学校3所；

改造A类学校4所，B类学校2所．

设改造方案所需资金W万元

w=60x+85（6﹣x）=﹣25x+510．

所以当x=4时，w最小=410．

答：改造A类学校4所B类学校2所用资金最少为410万元．

8．【答案与解析】

解：设涨价x元，利润为y元，则

方案一：

∴方案一的最大利润为9000元；

方案二：

∴方案二的最大利润为10125元；

∴选择方案二能获得更大的利润.

9．【答案与解析】

解:(1)设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池(20－x)个.

依题意得:  解得：7≤ x ≤ 9   

∵x为整数，  ∴ x = 7，8 ，9 ，

∴满足条件的方案有三种.

(2)设建造A型沼气池 x个时，总费用为y万元，则：

y =2x +3(20－x)=－x+ 60 

∵－1<0，∴y 随x增大而减小，

当x=9时，y的值最小，此时y=51(万元)

∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．

解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：

方案一:建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，

        总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 )

方案二: 建造A型沼气池8个， 建造B型沼气池12个，

        总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 )

方案三: 建造A型沼气池9个， 建造B型沼气池11个，

       总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )

∴方案三最省钱.

10．【答案与解析】

⑴如图中平行四边形即为所求.

⑵如图：平行四边形MNPQ面积为.