2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共6小题，共12分）下列根式中，是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 下列分式变形中，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 下列事件：从装满红球的袋子中取出黄球；人中至少有人的生日相同；抛掷一枚均匀硬币，正面朝上．其中是确定事件的有(    )A.  B.  C.  D. 将一张正方形纸片，按如图，的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图中的虚线剪去一个角得到图，将图展开铺平后的图形(    )
A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形
D. 是中心对称图形，也是轴对称图形某校开设了体育球类校本课程，每名学生只选一个项目．下面是该校七、八年级学生选择项目的统计图．根据统计图，下列作出的判断中，一定正确的是(    )
A. 七年级人数比八年级人数多
B. 七年级选择足球人数比八年级选择足球人数多
C. 七、八年级选择篮球人数分别占该年级人数百分比相等
D. 七、八年级选乒乓球人数分别占该年级人数百分比相等如图，点是反比例函数图象上的一动点，连接并延长交图象的另一支于点在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共10小题，共20分）若二次根式在实数范围内有意义．则的取值范围是______．当______时，分式的值为．计算的结果是______．与最接近的整数是______．将反比例函数的图象向右平移两个单位，得到新函数的图象与轴交于点，则点的坐标是______．如图是由在同一平面内的个平行四边形创作的立体视觉效果图．若，，则______
 如图，在矩形中，点在的延长线上．若，，则______．
一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是______．如图，在▱中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是和，则对角线长度的最小值是______．
如图，正方形在第一象限，点、，则点的坐标是______用含、、的代数式表示
  三、解答题（本大题共10小题，共68分）计算：
；
．解方程：
；
．先化简，再求值：，其中．某市为增强学生的反诈防骗意识，组织全市学生参加反诈防骗知识竞赛．为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出不完整的统计图，如图所示，请根据图中信息解答以下问题图中成绩分组分分表示大于或等于分而小于分，其他类同．
一共抽取了______名参赛学生的成绩；
补全频数分布直方图；
扇形统计图中成绩分布在“分分”所对应的圆心角度数为______；
该市共有名学生参加竞赛，请估计反诈防骗意识强成绩在分及以上的学生有多少人？
如图，在▱中，对角线所在直线上有两点、，满足，连接、、、．
求证：四边形是平行四边形；
若，则当______时，四边形是菱形．
已知、是反比例函数的图象上的点．
求的值；
求证：．某商场用万元购进一批新型净水器，很快销售一空，于是该商场又进了一批该种净水器，数量是第一次的倍，但是单价却比第一次贵了元，结果第二批用了万元．第一批购进净水器多少台？四边形是平行四边形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图不写作法，保留作图的痕迹．
在图中作出边的中点；
在图中作出边的中点．
A、是的边上两定点，是边上一动点，分别以、为边在上方同侧作正方形、正方形．
如图，，，，连接、．
求证；
当点在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由；
如图，，连接，当点在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点的位置；若不存在，请说明理由．
 
小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请你写出他的解答过程；
为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论：若，则；若，则；若，则；
结论：反比例函数的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
利用结论求解；
利用结论、结论求解．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．的被开方数中的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的根式，叫最简二次根式，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
 2.【答案】 【解析】解：、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；
D、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 3.【答案】 【解析】解：从装满红球的袋子中取出黄球是不可能事件，故是确定事件，
人中至少有人的生日相同是必然事件，故是确定事件，
抛掷一枚均匀硬币，正面朝上是随机事件，故是不确定事件，
所以和是确定事件．
故选：．
根据确定事件和随机事件的概念进行判断即可．
本题考查了事件的分类，事件分为确定事件和随机事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件．
 4.【答案】 【解析】解：将图展开铺平后的图形大致如下：

故图展开铺平后的图形是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：．
按如图所示的方法折叠后，剪去一个角后，由于是斜剪的，展开后一定不是直角，即是一个非正方形的菱形，据此判断即可．
此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪看看，可以培养空间想象能力．
 5.【答案】 【解析】解：根据扇形统计图不能得出八年级人数以及八年级选择足球人数，故A、不符合题意；
根据条形统计图得七年级选择篮球人数为，，八年级选择篮球人数占该八年级人数百分比为，故C不符合题意；
根据条形统计图得七年级选择乒乓球的人数为，，
根据扇形统计图得八年级选择乒乓球的人数所占百分比为，
七、八年级选乒乓球人数分别占该年级人数百分比相等．故D符合题意．
故选：．
根据扇形统计图不能得出八年级人数以及八年级选择足球人数，可判断、；根据条形统计图找出七年级选择篮球人数然后除以总人数求出百分比，可判断；根据条形统计图找出七年级选择乒乓球的人数，求出百分比，根据扇形统计图找出八年级选择乒乓球的人数所占百分比，二者进行比较即可判断．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 6.【答案】 【解析】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
．
又，，
，，
，，
，
又，，
≌，
，，
点，
，，
，，
，
点是反比例函数图象上，
，即，
故选：．
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出≌，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标．
 7.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 8.【答案】 【解析】解：根据题意，得
，且，
解得．
故答案是：．
分式的值为零的条件：分子为，分母不为．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 9.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
利用二次根式的乘法的运算法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 10.【答案】 【解析】解：，，
且比较接近，
且比较接近．
故答案为：．
先估算的大小，然后计算代数式的值，最后得出最接近的整数．
本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
 11.【答案】 【解析】解：将反比例函数的图象向右平移两个单位，得到，
当时，，
，
故答案为：．
根据左加右减，上加下减的平移规律得到新函数的解析式，然后令，求得的值即可求得的坐标．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质结合已知条件得出，由对顶角的性质得出，再由平行四边形的性质得出，最后由周角的定义即可求出的度数，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，对顶角的性质是解决问题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据矩形的对角线相等可得，然后根据度角所对直角边等于斜边的一半可得，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是掌握度角所对直角边等于斜边的一半．
 14.【答案】或 【解析】解：一次函数与反比例函数图象交于点，
，，
，，
一次函数为，反比例函数为，
把代入得，，
一次函数的图象交轴于点，
解得或，
一次函数与反比例函数图象交于点和，如图，
观察图象，当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
利用待定系数法求得两函数的解析式，先求得直线与轴的交点，然后两函数解析式联立成方程组，解方程组求得两函数的图象的交点，结合图象即可求得．
本题是反比例函数和一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据图象写出答案，考查了数形结合思想．
 15.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，设与交于点，与交于点，

，，
，，
点是定点，且点到直线和的距离分别是和，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当时，的长度取最小值，最小值为的长，
对角线长度的最小值是，
故答案为：．
过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，设与交于点，与交于点，证明≌，可得，根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，当时，的长度取最小值，最小值为的长，进而可以解决问题．
本题考查了平行线的性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握垂线段最短、两点之间线段最短．
 16.【答案】 【解析】解：连接、，两线交于点，

点、，
轴，，
四边形是正方形，
，，
点、，，
，
，轴，
轴，
，
即，
故答案为：
连接、，两线交于点，根据正方形的性质求得与的交点的坐标，进而便可求得点标．
本题考查了正方形的性质，点的坐标特点，中点坐标公式，两点间的距离公式，关键是求出的长度与点的坐标．
 17.【答案】解：

；



． 【解析】先化简，再算加减即可；
先化简，再算括号里的减法，最后算乘法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 19.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 20.【答案】   【解析】解：名，
故答案为：；
“分分”的频数为，
补全频数分布直方图如下：

成绩分布在“分分”所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
人，
答：估计反诈防骗意识强成绩在分及以上的学生有人．
根据分分”的频数和所占的百分比，可求出抽取总人数；
根据总数减去其他组的频数求出“分分”的频数，画出直方图即可；
乘以“分分”所占的比例即可求出相应的圆心角的度数；
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查频数分布直方图，样本估计总体的思想，扇形统计图等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 21.【答案】 【解析】证明：连接，交于点，

四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是菱形．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，，
，
由可知，四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：．
连接，交于点，由平行四边形的性质得出，，证出，由平行四边形的判定可得出结论；
证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则四边形是菱形，由菱形的性质证出，，得出，由菱形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 22.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
；
证明：点是反比例函数的图象上的点，
，
，
，即，
． 【解析】把点坐标代入反比例函数解析式可求得的值；
由点是反比例函数的图象上的点得出，而，整理得到，即可证得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，得到是解题的关键．
 23.【答案】解：设第一批购进净水器台，则第二批购进净水器台，
由题意得：，
解得：，
经检验，是头发长的解，且符合题意，
答：第一批购进净水器台． 【解析】设第一批购进净水器台，则第二批购进净水器台，由题意：某商场用万元购进一批新型净水器，该商场又进了一批该种净水器，数量是第一次的倍，结果第二批用了万元．列出分式方程，解方程即可．
本题考查分式方程的应用，找准数量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 24.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 【解析】连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
连接，，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，三角形的中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 25.【答案】证明：如图中，
四边形，四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．

解：存在．
理由：如图中，设交于点，交于点，过点作于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
，
的最小值为；

如图中，在上取一点，使得．

，
，
，，
≌，
，
点在射线上运动，
作于，当点与重合时，的值最小，连接，以为圆心，以为半径作弧，交于点，当点与重合时，的值最小．
故点即为所求． 【解析】证明≌，推出即可；
存在．如图中，设交于点，交于点，过点作于点根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小；
如图中，在上取一点，使得证明≌，推出，推出点在射线上运动，作于，当点与重合时，的值最小，连接，以为圆心，以为半径作弧，交于点，当点与重合时，的值最小．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 26.【答案】解：设按方式混合后单价为，按方式混合后单价为，
则，，
，
甲，乙单价不同，
，则，
又，
，
即，
，
方式将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低；
由知，，，
则有，
且为定值，
与的关系可用反比例函数表示，，
为可看作横坐标为、两点的中点横坐标，
根据反比例函数的性质和中点坐标公式可得，对应的线段中点纵坐标大于所在反比例函数的纵坐标，
，
方式将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低． 【解析】设按方式混合后单价为，按方式混合后单价为，则，，再利用作差法比较大小，可得答案；
由知，，，则有，为可看作横坐标为、两点的中点横坐标，根据反比例函数的性质和中点坐标公式可得，对应的线段中点纵坐标大于所在反比例函数的纵坐标，从而解决问题．
本题主要考查了代数式的大小比较，反比例函数的实际应用，中点坐标公式等知识，将实际问题转化为函数模型是解题的关键．