2021-2022学年广东省广州大学附中大联盟八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州大学附中大联盟八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4. 一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 一组数据，，，，的平均数是，这组数据的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某市出租车计费办法如图所示。根据图象信息，下列说法错误的是(    )

A. 出租车起步价是元
B. 在千米内只收起步价
C. 超过千米部分每千米收元
D. 超过千米时所需费用与之间的函数关系式是
 

7. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或或

8. 如图，直线和与轴分别交于点，点，则解集为(    )

A.  B.
C. 或 D.

9. 如图，菱形的边长为，，点是边上的动点，点是对角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：；；；若，则其中所有正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. ______．
12. 将直线向下平移个单位，所得直线的函数表达式是______．
13. 已知函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是______．

14. 如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的度数是______．

15. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是______尺．
16. 如图，在矩形中，，，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．
    求证：≌；
    四边形是平行四边形．

19. 如图，点为线段上一点且不与，两点重合，分别以，为边向的同侧做角为的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．保留作图痕迹．
    在图中，连接，若，作出线段的中点；
    在图中，连接，若，作出线段的中点．
     

20. 某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分分，学生得分均为整数，成绩达分以上为合格，达到分以上含分为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．
    补充完成下列的成绩统计分析表；

甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．

21. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型如图乙四边形，是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，干米，干米．
    求小溪流的长．
    求四边形的面积．结果保留根号
     

22. 为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙口罩多元，小丽从该药店购买了袋甲口罩和袋乙口罩共花费元．
    求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？
    根据消费者需求，药店决定用不超过元购进甲、乙两种口罩共袋．已知甲口罩每袋的进价为元，乙口罩每袋的进价为元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少？
23. 如图，点表示小明家，点表示学校．小明妈妈骑车带着小明去学校，到达处时发现数学书没带，于是妈妈立即骑车原路回家拿书后再追赶小明，同时小明步行去学校，到达学校后等待妈妈．假设拿书时间忽略不计，小明和妈妈在整个运动过程中分别保持匀速．妈妈从处出发分钟时离处的距离为米，小明离处的距离为米，如图，折线表示与的函数图象；折线表示与的函数图象．
    
    小明的速度为______，图中的值为______．
    设妈妈从处出发分钟时妈妈与小明之间的距离为米．
    写出小明妈妈在骑车由处返回到处的过程中，与的函数表达式及的取值范围；
    在图中画出整个过程中与的函数图象．要求标出关键点的坐标
24. 问题：如图，点、分别在正方形的边、上，，试判断、、之间的数量关系．
    【发现证明】小聪把绕点逆时针旋转至，从而发现，请你利用图证明上述结论．
    【类比引申】如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有．
    【探究应用】如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形已知米，，，，道路、上分别有景点、，且，米，现要在、之间修一条笔直道路，求这条道路的长结果取整数，参考数据：，
     

25. 在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的正方形称为点，的“确定正方形”．
    如图为点，的“确定正方形”的示意图．
    
    如果点的坐标为，点的坐标为，那么点，的“确定正方形”的面积为______；
    已知点的坐标为，点为直线上一动点，当点，的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为时，求的值．
    已知点在以边长为的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为，点在直线上，若要使所有点，的“确定正方形”的面积都不小于，直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：．
根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．
本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
B、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】
解：代数式有意义，
，解得且．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
故直线经过第一、二、四象限．
不经过第三象限．
故选：．
由直线的解析式得到，，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由，的符号来确定．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
根据平均数的公式求出的值，根据方差公式求出方差．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，

，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知，出租车的起步价是元，在千米内只收起步价。
设超过千米的函数解析式为，把和代入得
解得
超过千米时所需费用与之间的函数关系式是；超过千米部分每千米收元
故A、、D正确，C错误．
故选C．
根据图象信息一一判断即可解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加，可能减少，或不变．
首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】
解：设内角和为的多边形的边数是，则，
解得：．
原多边形的边数为时：

原多边形的边数为时：

原多边形的边数为时：

故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：直线和与轴分别交于点，点，
解集为，
故选：．
根据两条直线与轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，，如图所示，
四边形是菱形，
点和点关于对称，
，
当时，点到的距离最短，
当时，此时于的交点为时，，的值最小，
菱形的边长为，，
，，
，
，
，
即的最小值是，
故选：．
根据菱形的性质，可知点和点关于对称，再根据对称的性质，将转化为，然后根据垂线段最短可知，当时，取得最小值．
本题考查菱形的性质、对称轴最短路径问题，解答本题的关键是找出的值最小满足的条件．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明≌，得到，由，得到，，故错误；由于，得到，故正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案．
【解答】
解：平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
故正确；
，，
是等腰直角三角形，
点为的中点，
，，
，
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
，
故错误；
，
，
故正确；
，
设，，
≌，
，，
，
，
，
，

，
过作于，
，
，
，
，
，
故错误．
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

12.【答案】 

【解析】解：将直线向下平移个单位，所得直线的函数解析式为．
故答案为：．
根据上加下减的平移规律即可求解．
本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数和的图象交于点，
点，满足二元一次方程组；
方程组的解是．
故答案为：．
函数图象的交点坐标即是方程组的解，有几个交点，就有几组解．
本题不用解答，关键是理解两个函数图象的交点即是两个函数组成方程组的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
【解答】
解：如图，

一条直角边即枯木的高长尺，
另一条直角边长尺，
因此葛藤长为尺．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图：

当点与点重合时，点在点 处，，
当点与点重合时，点在点处，，
且，
当点在上除点、的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点的运动轨迹是线段，
矩形中，，，为的中点，
，、为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
的长最小，最大，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据中位线定理先判断出点的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点到线段上各点的连线中，最小，最大．
本题考查矩形的性质、轨迹等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌；
由得：≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，点即为所求．


如图中，点即为所求．
 

【解析】连接，交于点，连接，连接延长交于点，点即为所求．
连接，，延长交的延长线于，连接，交于点点即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关键是利用三角形中线的定义，平行四边形的性质解决问题．
 

20.【答案】解：乙组的优秀率为：；
故答案为：；
乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组答案不唯一． 

【解析】根据达到分以上含分为优秀可得答案；
通过乙组的平均数、中位数或方差进行说明．
本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了中位数和方差．
 

21.【答案】解：，千米，
千米；

，，
，
则，


平方千米． 

【解析】根据勾股定理即可得；
由勾股定理逆定理得，从而由可得答案．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该药店甲种口罩每袋的售价为元，则乙种口罩每袋的售价为元，
根据题意得：，
解得，
元，
答：该药店甲种口罩每袋的售价为元，乙种口罩每袋的售价为元；
设药店获利元，购进甲种口罩袋，则购进乙种口罩袋，
药店决定用不超过元购进甲、乙两种口罩，
，
解得，
根据题意得，
，
随的增大而增大，
为整数，
当时，取最大值，最大值为元，
此时袋，
答：药店购进甲种口罩袋，购进乙种口罩袋，药店获利最大，最大获利是元． 

【解析】设该药店甲种口罩每袋的售价为元，可得：，即可解得该药店甲种口罩每袋的售价为元，乙种口罩每袋的售价为元；
设药店获利元，购进甲种口罩袋，根据药店决定用不超过元购进甲、乙两种口罩，可得，而，由一次函数性质可得药店购进甲种口罩袋，购进乙种口罩袋，药店获利最大，最大获利是元．
本题考查一次函数，一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

23.【答案】解：   
小明妈妈的速度为 
小明妈妈在骑车由回到的过程中，小明与妈妈相向而行，小明的速度为 ，
，的取值范围是   
整个过程中与的函数图象如图所示：
 

【解析】

解：小明的速度为；妈妈的速度，
，
，
，
故答案为，．

见答案

【分析】
利用图中信息，根据速度、路程、时间之间的关系即可解决问题；
根据速度、路程、时间之间的关系，可得，
求出，，根据关键点画出函数图象即可，；
本题考查一次函数的应用、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．  

24.【答案】 

【解析】【发现证明】证明：如图，≌，
，，，
又，即，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
；

【类比引申】．
理由如下：如图，延长至，使，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即．
故答案是：．

【探究应用】如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为．
，，
．
又，
是等边三角形，
米．
根据旋转的性质得到：，
又，
，即点在的延长线上．
易得，≌，
，，，
又，
故，

从而
又
根据上述推论有：米，即这条道路的长约为米．
【发现证明】根据旋转的性质可以得到≌，则，只要再证明≌即可．
【类比引申】延长至，使，连接，证≌，证≌，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则米．把绕点逆时针旋转至，只要再证明即可得出．
此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
 

25.【答案】解：；
点，的“确定正方形”面积为，
，
点，的“确定正方形”面积最小，
直线于点．
当时，如图中，

由题意可知，为等腰直角三角形，
可求，

当时，同理可求
，
．
当或． 

【解析】解：，，
，
以为边的正方形的面积，
故答案为；
见答案；
如图中，当正方形在直线的下方时，延长交直线于．

易知直线，当时，点，的“确定正方形”的面积的最小值为，此时．

如图中，当正方形在直线的上方时，延长交直线于．

易知直线，当时，点，的“确定正方形”的面积的最小值为，此时，
观察图象可知：当或时，所有点，的“确定正方形”的面积都不小于．
求出的长即可解决问题．
分两种情形：，分别求解即可．
分两种情形：如图中，当正方形在直线的下方时．如图中，当正方形在直线的上方时，求出两种特殊位置的值即可判断．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．