2021-2022学年河南省信阳市淮滨县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省信阳市淮滨县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列算式中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

4. 若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

5. 下列根式中，不是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对下列各值：
    
    线段的长；
    的周长；
    的面积；
    直线，之间的距离；
    的大小．
    其中会随点的移动而变化的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______．
12. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米．

13. 如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快________后，四边形成为矩形．

14. 如图，四边形中，，，，分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件______．

15. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
     
17. 如图，为▱的对角线，点、在上，且，求证：．

18. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？假设绳子是直的，结果保留根号

19. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
    
    
    以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
    请用不同的方法化简；
    化简：．
20. 在中，，，，求的面积．
    某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
     

21. 如图，在▱中，，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是矩形；
    连接交于点，连接若，，求的长．

22. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
    求证：≌；
    证明四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

23. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
    
    出发秒后，求的长；
    当点在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
    当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：．
根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，再根据分式的分母不为列出不等式解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，因此不是最简二次根式．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
被开方数不含分母；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

6.【答案】 

【解析】解：图中的直角三角形的两直角边为和，
斜边长为：，
到的距离是，那么点所表示的数为：．
故选：．
先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．
 

7.【答案】 

【解析】解：由折叠性质知：，    ， 
四边形是矩形，
，，  ，
在与中，

≌，
与面积相等，
设，则，
，
，
解得，
的面积．
故选：．
≌，≌，得与面积相等，设，列出关于的关系式，解得的值即可解题．
本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中正确计算的值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论．
【解答】
解：由题意得：，，
，
，，
，
故选D．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，从而判断出不变；再根据三角形的周长的定义判断出是变化的；确定出点到的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出不变；根据平行线间的距离相等判断出不变；根据角的定义判断出变化．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
【解答】
解：点，为定点，点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
又为定点，的长度不变，
即线段的长度不变，故错误；
、的长度随点的移动而变化，
所以，的周长会随点的移动而变化，故正确；
的长度不变，点到的距离等于与的距离的一半，
的面积不变，故错误；
直线，之间的距离不随点的移动而变化，故错误；
的大小点的移动而变化，故正确．
综上所述，会随点的移动而变化的是．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为．
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则四边形是矩形，
连接，
，，，
在中，
．

故小鸟至少飞行．
故答案为：．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．根据矩形的性质，可得与的关系，根据矩形的判定定理，可得，构建一元一次方程，可得答案．
【解答】
解：设最快秒，四边形成为矩形，由得
．
解得，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：添加的条件应为：．
证明：，，，分别是边、、、的中点，
在中，为的中位线，所以且；同理且，同理可得，
则且，
四边形为平行四边形，又，所以，
四边形为菱形．
故答案为：
添加的条件应为：，把作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，平行且等于的一半，平行且等于的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到和平行且相等，所以为平行四边形，又等于的一半且，所以得到所证四边形的邻边与相等，所以四边形为菱形．
此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
．
，，，
，
，
；
故答案为：．
先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
 

16.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案；
直接利用乘法公式化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：在中：
，米，米，
米，
此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，
米，
米，
米，
答：船向岸边移动了米． 

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

19.【答案】解：
．

原式
． 

【解析】分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把看出，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
 

20.【答案】解：如图，在中，，，，
设，则，
由勾股定理得：，，
故，
解之得：．
 
． 

【解析】根据题意利用勾股定理表示出的值，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了勾股定理，根据题意正确表示出的值是解题关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
．
又，，
四边形是矩形．
  
解：四边形是矩形，
，，．
四边形是平行四边形，
，．
．
又，
是等边三角形．
，．
在中，． 

【解析】根据四边形是平行四边形，可得所以又，即可证明四边形是矩形；
根据四边形是矩形，和四边形是平行四边形，可以证明是等边三角形．再求出的长．
本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
 

22.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，

≌；
证明：由知，≌，则．
为边上的中线
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，是的中点，
，
四边形是菱形；
连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
． 

【解析】利用平行线的性质及中点的定义，可利用证得结论；
由可得，结合条件可求得，则可证明四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得，可证得四边形为菱形；
连接，可证得四边形为平行四边形，则可求得的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
 

23.【答案】解：， ，，
；
，，
根据题意得：，
解得：，
即出发秒钟后，能形成等腰三角形；
已知中，，，，
勾股定理求得
当时，如图所示，
则，
，
．
，
，
，
，
，
秒．
当时，如图所示，
则，
秒．
当时，如图所示，
过点作于点，
则，
，
，
，
秒．
综上所述：当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 

【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；设出发秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得即可；
当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
当时，则，可证明，则，则，从而求得；
当时，则，易求得；
当时，过点作于点，则求出，，即可得出．