2022届河北省承德市丰宁县中考数学猜题卷含解析

这是一份2022届河北省承德市丰宁县中考数学猜题卷含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，则从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
3．将不等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( )
A． B． C． D．
4．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．圆 C．等边三角形 D．正六边形
5．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
7．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
8．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于( )

A．2﹣ B．1 C． D．﹣l
9．下列运算正确的是（　　）
A．x3+x3=2x6 B．x6÷x2=x3 C．（﹣3x3）2=2x6 D．x2•x﹣3=x﹣1
10．已知抛物线的图像与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点.给出下列结论：①当的条件下，无论取何值，点是一个定点；②当的条件下，无论取何值，抛物线的对称轴一定位于轴的左侧；③的最小值不大于；④若，则.其中正确的结论有（ ）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则a的取值范围是________．

12．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为_____．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝____．

14．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元
15．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．
16．如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=_____．

17．如图，矩形ABCD，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得矩形AEFG，连接CG、EG，则∠CGE=________．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）计算：sin30°•tan60°+.．
19．（5分）如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，求建筑物AB的高度．

20．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．求证：CG是⊙O的切线．求证：AF＝CF．若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长．

21．（10分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？
22．（10分）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=1．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（1）求△OCD的面积．
23．（12分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE＝，AK＝，求CN的长．

24．（14分）已知BD平分∠ABF，且交AE于点D．
（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的图形．
【详解】
A、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；
B、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误；
C、主视图为等腰梯形，左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；
D、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题重点考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力，关键是根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答．
2、C
【解析】
根据已知得出△=（﹣k）2﹣4×1×1=0，解关于k的方程即可得．
【详解】
∵方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣k）2﹣4×1×1=0，
解得：k=±2，
故选C．
【点睛】
本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
3、B
【解析】
先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：不等式可化为：，即．
∴在数轴上可表示为．故选B．
“点睛”不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4、C
【解析】
根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.
【详解】
选项A、平行四边形是中心对称图形；
选项B、圆是中心对称图形；
选项C、等边三角形不是中心对称图形；
选项D、正六边形是中心对称图形；
故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.
5、D
【解析】
解：如图：

利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
6、C
【解析】
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选C．
7、B
【解析】
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【详解】
由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
8、D
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，
∴DC′=AC′-AD=-1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=×1×1-×（ -1）2=-1，
故选D.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
9、D
【解析】
分析：根据合并同类项法则，同底数幂相除，积的乘方的性质，同底数幂相乘的性质，逐一判断即可.
详解：根据合并同类项法则，可知x3+x3=2x3，故不正确；
根据同底数幂相除，底数不变指数相加，可知a6÷a2＝a4，故不正确；
根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知(－3a3)2＝9a6，故不正确；
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得x2•x﹣3=x﹣1，故正确.
故选D.
点睛：此题主要考查了整式的相关运算，是一道综合性题目，熟练应用整式的相关性质和运算法则是解题关键.
10、C
【解析】
①利用抛物线两点式方程进行判断；
②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；
③利用顶点坐标公式进行解答；
④利用两点间的距离公式进行解答．
【详解】
①y=ax1+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y=ax1+（1-a）x-1（a＞0）的图象与x轴有1个交点，
∴△=（1-a）1+8a=（a+1）1＞0，
∴a≠-1．
∴该抛物线的对称轴为：x=，无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，-1）可知，y的最小值不大于-1，故③正确；
④∵A（1，0），B（-，0），C（0，-1），
∴当AB=AC时，，
解得：a=,故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
【点睛】
考查了二次函数与x轴的交点及其性质．（1）.抛物线是轴对称图形．对称轴为直线x = - ，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P；特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）；（1）.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/1a ，(4ac-b1)/4a )，当-=0，〔即b=0〕时，P在y轴上；当Δ= b1-4ac=0时，P在x轴上；（3）.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越大，则抛物线的开口越小．（4）.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右；（5）.常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与y轴交于（0，c）；（6）.抛物线与x轴交点个数
Δ= b1-4ac>0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ= b1-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ= b1-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．X的取值是虚数（x= -b±√b1－4ac 乘上虚数i，整个式子除以1a）；当a>0时，函数在x= -b/1a处取得最小值f(-b/1a)=〔4ac-b1〕/4a；在{x|x<-b/1a}上是减函数，在{x|x>-b/1a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b1/4a}相反不变；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax1+c(a≠0).

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、－1≤a≤
【解析】
根据题意得出C点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围．
【详解】
解:反比例函数经过点A和点C．
当反比例函数经过点A时，即=3，
解得：a=±（负根舍去）；
当反比例函数经过点C时，即=3，
解得：a=1±（负根舍去），
则－1≤a≤．
故答案为: －1≤a≤．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
12、
【解析】
分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
详解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动一次A的路线长是：
转动第二次的路线长是：
转动第三次的路线长是：
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：
∵2017÷4=504…1，
∴顶点A转动四次经过的路线长为：
故答案为
点睛：考查旋转的性质和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.
13、或7
【解析】
分两种情况:
①如图1, 作辅助线, 构建矩形, 先由勾股定理求斜边AB=10, 由中点的定义求出AD和BD的长, 证明四边形HFGB是矩形, 根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长,并由翻折的性质得: ∠DA' E=∠A,A' D=AD=5, 由矩形性质和勾股定理可以得出结论: A' B=;
②如图2, 作辅助线, 构建矩形A' MNF,同理可以求出A' B的长.
【详解】
解：分两种情况:
如图1,
过D作DG⊥BC与G, 交A' E与F, 过B作BH⊥A' E与H,
D为AB的中点,BD=AB=AD,
∠C=,AC=8,BC=6,AB=10,
BD=AD=5,
sin ∠ABC=,
DG=4,
由翻折得: ∠DA' E=∠A, A' D=AD=5,
sin∠DA' E=sin ∠A=.
DF=3,
FG=4-3=1,
A'E⊥AC,BC⊥AC,
A'E//BC,∠HFG+∠DGB=,
∠DGB=,∠HFG=,∠EHB=,
四边形HFGB是矩形,
BH=FG=1,
同理得: A' E=AE=8 -1=7,
A'H=A'E-EH=7-6=1,
在Rt△AHB中 , 由勾股定理得: A' B=.
如图2,
过D作MN//AC, 交BC与于N,过A' 作A' F//AC, 交BC的延长线于F,延长A' E交直线DN于M, A'E⊥AC,A' M⊥MN, A' E⊥A'F,
∠M=∠MA'F=,∠ACB=,
∠F=∠ACB=,
四边形MA' FN県矩形,
MN=A'F,FN=A'M,
由翻折得: A' D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,
FN=A'M=4,
Rt△BDN中,BD=5,DN=4, BN=3,
A' F=MN=DM+DN=3+4=7,
BF=BN+FN=3+4=7,
Rt△ABF中, 由勾股定理得: A' B=;
综上所述,A'B的长为或.
故答案为:或.
【点睛】
本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.
14、300
【解析】
设成本为x元，标价为y元，根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.
【详解】
设成本为x元，标价为y元，依题意得，解得
故定价为300元.
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程再求解.
15、11.
【解析】
试题解析：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，
∴这7天中最大的日温差是11℃．
考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法．
16、
【解析】
解：过P作PA⊥x轴于点A．∵P（2，），∴OA=2，PA=，∴tanα=.故答案为．

点睛：本题考查了解直角三角形，正切的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．
17、45°
【解析】
试题解析：

如图，连接CE，
∵AB=2，BC=1，
∴DE=EF=1，CD=GF=2，
在△CDE和△GFE中

∴△CDE≌△GFE(SAS)，
∴CE=GE，∠CED=∠GEF，



故答案为

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、
【解析】
试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式=.
19、（30+30）米．
【解析】
解：设建筑物AB的高度为x米
在Rt△ABD 中，∠ADB=45°
∴AB=DB=x
∴BC=DB+CD= x+60
在Rt△ABC 中，∠ACB=30°,
∴tan∠ACB=
∴
∴
∴x=30+30
∴建筑物AB的高度为（30+30）米
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）AG＝1．
【解析】
（1）利用垂径定理、平行的性质，得出OC⊥CG，得证CG是⊙O的切线.
（2）利用直径所对圆周角为和垂直的条件得出∠2=∠B，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠1=∠B，进而证得∠1=∠2，得证AF=CF.
（3）根据直角三角形的性质，求出AD的长度，再利用平行的性质计算出结果.
【详解】
（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2+∠BCD＝90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠2，
∵C是劣弧AE的中点，
∴,
∴∠1＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴AF＝CF；
（3）解：∵CG∥AE，
∴∠FAD＝∠G，
∵sinG＝0.6，
∴sin∠FAD＝＝0.6，
∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4，
∴DF＝2.4，
∴AD＝3.2，
∴CD＝CF+DF＝6.4，
∵AF∥CG，
∴,
∴
∴DG＝，
∴AG＝DG﹣AD＝1．

【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,掌握切线的判定定理以及解直角三角形是解题的关键.
21、 (1)4元/瓶．(2) 销售单价至少为1元/瓶．
【解析】
（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】
（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，
依题意，得：＝3×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；
（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．
设销售单价为y元/瓶，
依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2100，
解得：y≥1．
答：销售单价至少为1元/瓶．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22、（1），；（1）2．
【解析】
试题分析：（1）先求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（1）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．
试题解析：（1）∵OB=4，OE=1，∴BE=1+4=3．∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==，∴OA=1，CE=3，∴点A的坐标为（0，1）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣1，3），设直线AB的解析式为，则，解得：，故直线AB的解析式为，设反比例函数的解析式为（），将点C的坐标代入，得3=，∴m=﹣3．∴该反比例函数的解析式为；
（1）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（3，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷1=1，△BOD的面积=4×3÷1=3，故△OCD的面积为1+3=2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
23、（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（3）.
【解析】
试题分析：
（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；
（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；
（3）如下图2，作NP⊥AC于P，
由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=，设AH=3a，可得AC=5a，CH=4a，则tan∠CAH=，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC，从而可得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tan∠AKH=，AK=a，结合AK=可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH，
在Rt△APN中，由tan∠CAH=，可设PN=12b，AP=9b，由tan∠ACG=tan∠AKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP==5，则可得b=，由此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的长.
试题解析：
（1）如图1，连接OG．

∵EF切⊙O于G，
∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE=90°，
∵CD⊥AB于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠OAG=∠AKH=90°，
∵OA=OG，
∴∠AGO=∠OAG，
∴∠AGE=∠AKH，
∵∠EKG=∠AKH，
∴∠EKG=∠AGE，
∴KE=GE．
（2）设∠FGB=α，
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=∠ACH，
∴∠ACH=2α，
∴∠ACH=∠E，
∴CA∥FE．
（3）作NP⊥AC于P．
∵∠ACH=∠E，
∴sin∠E=sin∠ACH=，设AH=3a，AC=5a，
则CH=，tan∠CAH=，
∵CA∥FE，
∴∠CAK=∠AGE，
∵∠AGE=∠AKH，
∴∠CAK=∠AKH，
∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK=，
∵AK=，
∴，
∴a=1．AC=5，
∵∠BHD=∠AGB=90°，
∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，
∴∠ABG+∠HKG=180°，
∵∠AKH+∠HKG=180°，
∴∠AKH=∠ABG，
∵∠ACN=∠ABG，
∴∠AKH=∠ACN，
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，
∵NP⊥AC于P，
∴∠APN=∠CPN=90°，
在Rt△APN中，tan∠CAH=，设PN=12b，则AP=9b，
在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，
∴CP=4b，
∴AC=AP+CP=13b，
∵AC=5，
∴13b=5，
∴b=，
∴CN===．

24、 (1)见解析：(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP即可；
（2）先证明△ABO≌△CBO，得到AO=CO，AB=CB，再证明△ABO≌△ADO，得到BO=DO．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形．
试题解析：（1）如图所示：

（2）如图：

在△ABO和△CBO中，∵∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠ AOB=∠COB=90°，∴△ABO≌△CBO（ASA），∴AO=CO，AB=CB．在△ABO和△ADO中，∵∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，∴△ABO≌△ADO（ASA），∴BO=DO．∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CB，∴平行四边形ABCD是菱形．
考点：1．菱形的判定；2．作图—基本作图．