专题07分式方程-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】

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专题07分式方程一．选择题（共7小题）1．（2022•德阳）如果关于x的方程1的解是正数，那么m的取值范围是（　　）A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＜﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x＝﹣1﹣m，利用x＞0和x≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m的范围．【解析】两边同时乘（x﹣1）得，2x+m＝x﹣1，解得：x＝﹣1﹣m，又∵方程的解是正数，且x≠1，∴，即，解得：，∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．故答案为：D．【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．2．（2022•遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（　　）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或x，求出m的值即可．【解析】，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m＝0或x，∴m＝4或m＝0，故选：D．【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．3．（2022•广元）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（　　）A． B． C． D．10【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．【解析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，依题意得：，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【解析】由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．5．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程30，则方程中x表示（　　）A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可．【解析】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．根据题意可得：30，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．6．（2022•重庆）关于x的分式方程1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）A．13 B．15 C．18 D．20【分析】解分式方程得得出x＝a﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a＞2且a≠5，解不等式组得出，结合题意得出a≤7，进而得出2＜a≤7且a≠5，继而得出所有满足条件的整数a的值之和，即可得出答案．【解析】解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y≥5，∴5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．7．（2022•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a＞﹣11，解分式方程得出y，结合题意得出a＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解析】解不等式组得：，∵不等式组的解集为x≤﹣2，∴2，∴a＞﹣11，解分式方程2得：y，∵y是负整数且y≠﹣1，∴是负整数且1，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）8．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b．若（x+1）⊗x，则x的值为 　　．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解析】根据题意得：，化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），解得：x，检验：当x时，x（x+1）≠0，∴原方程的解为：x．故答案为：．【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．9．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 　　．【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．【解析】设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：．故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是 　4　．【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：2，去分母得：2＝2（x﹣3），去括号得：2x﹣6＝2，移项，合并同类项得：2x＝8，∴x＝4．经检验，x＝4是原方程的根，∴x＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．11．（2022•泸州）若方程1的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是 　a＜﹣1　．【分析】先解分式方程，再将x代入不等式中即可求解．【解析】1，，0，解得：x＝1，∵x﹣2≠0，2﹣x≠0，∴x＝1是分式方程的解，将x＝1代入不等式（2﹣a）x﹣3＞0，得：2﹣a﹣3＞0，解得：a＜﹣1，∴实数a的取值范围是a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要注意分母不能为0．12．（2022•成都）分式方程1的解为　x＝3　．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，故答案为：x＝3【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13．（2022•邵阳）分式方程0的解是 　x＝﹣3　．【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解析】去分母，得：5x﹣3（x﹣2）＝0，整理，得：2x+6＝0，解得：x＝﹣3，经检验：x＝﹣3是原分式方程的解，故答案为：x＝﹣3．【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．三．解答题（共10小题）14．（2022•苏州）解方程：1．【分析】先两边同乘以x（x+1）化为整式方程：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得x，再检验即可得答案．【解析】方程两边同乘以x（x+1）得：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得：x，经检验，x是原方程的解，∴原方程的解为x．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别注意解分式方程必须检验．15．（2022•眉山）解方程：．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解析】，方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检验．16．（2022•嘉兴）（1）计算：（1）0．（2）解方程：1．【分析】（1）分别利用0指数幂、算术平方根的定义化简，然后加减求解；（2）首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根．【解析】（1）原式＝1﹣2＝﹣1；（2）去分母得x﹣3＝2x﹣1，∴﹣x＝3﹣1，∴x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，∴原方程的解为：x＝﹣2．【点评】本题分别考查了实数的运算和解分式方程，实数的运算主要利用0指数幂及算术平方根的定义，解分式方程的基本方法时去分母．17．（2022•宿迁）解方程：．【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．【解析】1，2x＝x﹣2+1，x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解，则原方程的解是x＝﹣1．【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．18．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【分析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．【解析】设平常的速度是x千米/小时，根据题意，得，解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的根，4×60＝240（千米），答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．19．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【分析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：摩托车的速度为10千米/小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【分析】设每个小组有学生x名，由题意得：，解分式方程并检验后即可得出答案．【解析】设每个小组有学生x名，由题意得：，解得：x＝10，当x＝10时，12x≠0，∴x＝10是分式方程的根，答：每个小组有学生10名．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．21．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；（2）设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意列出不等式解答即可．【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据题意可得：，解得：x＝40，经检验x＝40是方程的解，x+4＝40+4＝44，答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元；（2）解：（件），设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×（1+80%），解得：y≥80，答：每件T恤衫的标价至少是80元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量+后来2天的工作量＝600，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x﹣20）米，由题意可得：5（x﹣20）+2x＝600，解得x＝100，答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+20%）＝1.2m米，由题意可得：，解得m＝90，经检验，m＝90是原分式方程的解，答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点评】本题考查一元一次方程的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程和一元一次方程．23．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间﹣汽车用的时间＝2，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解析】设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，由题意可得：2，解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米/小时．【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．