2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是(    )

A. 调查某班学生的身高情况
B. 调查亚运会游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C. 调查某批汽车的抗撞击能力
D. 调查一架“歼”隐形战斗机各零部件的质量

2. 某校有名学生，随机抽取了名学生进行体重调查，下列说法错误的是(    )

A. 总体是该校名学生的体重 B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的名学生的体重 D. 样本容量是

3. 下列图形中，属于中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果分式的值等于，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列分式中，属于最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，矩形的对角线交点为原点，设点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. ▱中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 要使分式有意义，则的取值范围是______．
10. 如图，任意转动转盘次，当转盘停止运动时，有下列事件：指针落在标有数字的区域内；指针落在标有偶数数字的区域内；指针落在标有的倍数数字的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为______．
11. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．
12. 若关于的分式方程有增根，则______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______ ．

14. 如图，在四边形中，已知，再添加一个条件______写出一个即可，则四边形是平行四边形．图形中不再添加辅助线
15. 在矩形中，若：：，周长为，则______．
16. 如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止同时点也停止，这段时间内，当运动时间为______时，、、、四点组成矩形．

三、计算题（本大题共1小题，共4分）

17. 解方程．

四、解答题（本大题共9小题，共68分）

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和统计图：
     

请结合上述信息完成下列问题：
______，______；
请补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______；
若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．

20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度．平面直角坐标系的原点在格点上，轴、轴都在网格线上，线段、在格点上．
    将线段绕点逆时针旋转得到线段，试在图中画出线段．
    在的条件下，线段与线段关于原点成中心对称，请在图中画出线段．
    在、的条件下，点是此平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请你直接写出点的坐标：______ ．

21. 如图，在▱中，点、分别是、边的中点，求证：．

22. 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业现有，两种型号的无人机都被用来运送快件，型机比型机平均每小时多运送件，型机运送件所用时间与型机运送件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
23. 如图，在▱中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．
    求证：≌；
    当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

24. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．
    求证：四边形是矩形；
    若，求的度数；
    在的条件下，若，求矩形的面积．

25. 【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
    第一次

第二次：

完成上表；
计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．均价总金额总质量
【数学思考】设甲每次买质量为千克的水果，乙每次买金额为元的水果，两次的单价分别是元千克、元千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，船顺水航行速度为，逆水航行速度为，所需时间为请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．

26. 【问题情境】
    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
    
    如图，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值．
    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
    根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：
    当时，线段取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．
    【思维运用】
    如图，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值．
    【问题拓展】
    如图，，为线段上的一个动点，分别以、为边在的同侧作等腰三角形和等腰三角形，点、、在一条直线上，且，，、分别是、的中点，当点在线段上移动时，点、之间的距离的最小值为______直接写出结果，不需要写过程
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B.调查亚运会游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C.调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D.调查一架“歼”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

2.【答案】 

【解析】解：总体是该校名学生的体重，说法正确，故A不符合题意；
B.个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B符合题意；
C.样本是抽取的名学生的体重，说法正确，故C不符合题意；
D.样本容量是，说法正确，故D不符合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

3.【答案】 

【解析】解：此图案不是中心对称图形，不符合题意；
B.此图案是中心对称图形，符合题意；
C.此图案不是中心对称图形，不符合题意；
D.此图案不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据分式的值为的条件即可得出答案．
本题考查了分式的值为的条件，掌握分式的值为的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简分式，符合题意；
故选：．
根据最简分式的概念逐一判断即可得．
本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故选：．
先根据平行四边形的性质得出，再根据，可求出的度数．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

7.【答案】 

【解析】方法一：
解：矩形形是中心对称图形，
所以当其对角线的交点为原点时，则点与点关于原点对称，
，
．
故选：．
方法二：
如图所示：

是矩形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故选：．
方法一：
因为矩形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则点与点关于原点对称，从而根据点坐标可求点坐标．
方法二：根据矩形的性质，证明≌，得出，，然后由点坐标求出，，再由所在象限求出的坐标．
本题主要考查了矩形的性质，点的坐标等知识，熟知点的坐标特征是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接与相交于，
在▱中，，，
要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；
A、若，则，即，故本选项不符合题意；
B、能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；
C、若，则无法判断，故本选项符合题意；
D、由，从而推出≌，然后得出，，，结合选项B可证明四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当分母，即时，分式有意义．
故答案为：．
分式有意义，则分母，由此易求的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

10.【答案】 

【解析】解：指针落在标有数字的区域内的可能性是；
指针落在标有偶数数字的区域内；
指针落在标有的倍数数字的区域内；
将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序依次排列为，
故答案为：．
根据可能性等于所求情况与总情况之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性大小排列即可．
本题考查了可能性的大小，用到的知识点是可能性等于所求情况与总情况之比，关键是每种情况的可能性．
 

11.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
点落入黑色部分的概率为，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得
估计黑色部分的总面积约为．
故答案为：．
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：去分母得：，整理得：，
关于的分式方程有增根，即，
，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：化分式方程为整式方程；让最简公分母等于零求出增根的值；把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：作轴于点，

由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
点坐标为．
故答案为：．
作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：
故答案为：答案不唯一．
可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是矩形，
，，，
矩形的周长是，
，
，
又：：，
，
，．
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
由矩形的周长求出，再由：：求出和，然后由勾股定理求出即可．
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理等知识，求出、的长是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：根据已知可知：点将次到达点；
在点第一次到达点过程中，
四边形是矩形，
，
若，
则四边形是平行四边形，
，
设过了秒，，则，，
，
，
在点第二次到达点过程中，
设过了秒，则，，
解得：，
在点第三次到达点过程中，
设过了秒，则，，
解得：，
在点第四次到达点的过程中，无法构成矩形，故此舍去．
故答案为：或或；
根据已知可知：点将次到达点；在点第一次到达点过程中，根据矩形的性质得到，得到，设过了秒，，则，，求得，在点第二次到达点过程中，设过了秒，则，，求得，在点第三次到达点过程中，设过了秒，则，，求得，在点第四次到达点的过程中，无法构成矩形，故此舍去．于是得到结论．
此题考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质，此题属于运动型题目．此题属于中档题，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
 

17.【答案】解：方程两边同乘，得
，
解得．
经检验是原方程的根，
原方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
 

18.【答案】解：原式，
，
，
，
． 

【解析】先将括号内两式通分化简，括号外分子因式分解，然后约分代入的值求解．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握因式分解方法及分式运算法则是解题关键．
 

19.【答案】解：根据频数分布直方图可知：，
因为，
所以，
故答案为：；；
如图，即为补全的频数分布直方图；

在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；
故答案为：；
因为，
所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是． 

【解析】用不合格的人数除以调查总人数即可求得值；先求得优秀的人数，即可求得合格的人数，从而求得的值；
由可得优秀和合格的人数，补全频数分布直方图即可；
用总人数乘以合格以上人数所占比例即可．
此题主要考查频数分布直方图和扇形统计图，也考查了用样本估计总体的思想解题的关键是能正确利用统计图获取题目信息．
 

20.【答案】解：如图，线段即为所求线段；

如图，线段即为所求线段；
、、． 

【解析】解：如图，线段即为所求线段；

如图，线段即为所求线段；

如图，点的坐标为、、，
故答案为：、、．
分别作出点、绕点逆时针旋转得到对应点，即可得出所求线段；
分别作出点、关于原点对称点，连接即可得；
利用平行四边形的判定方法，分类讨论：当为对角线可得到点；当为对角线可得到点，当为对角线可得到点；然后写出对应的点坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是▱边、的中点，可得，继而证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：设型机平均每小时运送快递件，则型机平均每小时运送快递件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
，
答：型机平均每小时运送快递件，型机平均每小时运送快递件． 

【解析】设型机平均每小时运送快递件，则型机平均每小时运送快递件，根据工作时间工作总量工作效率结合型机运送件所用时间与型机运送件所用时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
由得：≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，平分，
，
，
又，
，
又矩形的对角线互相平分且相等，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
解：在中，，
，
由勾股定理得：，
． 

【解析】由平行线的性质易证，得出，即可得出结论；
由矩形和角平分线的性质得出，则，推出，证明是等边三角形，求出，得出，即可得出结果；
根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式计算即可．
本题考查的是矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：【生活观察】
第二次甲买水果费用为：元，乙买水果质量为：千克，
故答案为：；；
甲两次买水果的均价为：元千克，
乙两次买水果的均价为：元千克，
甲两次买菜的均价为元千克，乙两次买菜的均价为元千克；
【数学思考】
，
，
，
；
【知识迁移】
，
，
，
，
，
．
【生活观察】
第二次甲买水果费用为元，乙买水果质量为千克，
甲两次买水果的均价为：元千克，乙两次买水果的均价为：元千克，
【数学思考】
先求出，，再计算，即得；
【知识迁移】
先求出，，再计算，可得．
本题主要考查了均价总金额总质量的基本计算方法，以及分式加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大．
 

26.【答案】 

【解析】解：，，，
，
的面积，
，
的最小值为；

如图，连接，

，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；

如图，连接、，延长交于，连接，

四边形，四边形是菱形，，
，，，，与互相垂直平分，与互相垂直平分，
、分别是对角线、的中点，
点是的中点，点是的中点，，，
，
又，，
四边形是矩形，
，，
当时，有最小值，
此时，，，
，，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短得到答案；
根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，仿照的方法解答；
连接、，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出，根据勾股定理列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．
本题属于三角形综合题，考查的是菱形的性质、垂线段最短、三角形的面积，掌握菱形的性质、三角形面积公式是解题的关键．