2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷（含解析）

2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 掷一次骰子，向上一面的点数是
C. 任意买一张电影票，座位号是的倍数
D. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球

6. 如图，直线，于点，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下面是九年一班名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：

则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行所用时间与小明骑行所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行，所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平分，点，是射线，上的点，连接按以下步骤作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交于点若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在等边三角形中，，在中，，，，点，，，在一条直线上，点，重合，沿射线方向运动，当点与点重合时停止运动．设运动的路程为，与重叠部分的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过次，将数据用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：______．
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
14. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖每次飞镖均落在纸板上，击中阴影区域的概率是______．

15. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为的中点，▱的顶点在轴上，顶点在直线上，则▱的面积为______．

16. 如图，是的角平分线，过点分别作，的平行线，交于点，交于点若，，则四边形的周长是______．

17. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交交于点，点在上，连接，若的面积为，则的值是______．

18. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共96分）

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
    
    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    本次调查的学生共有______人；
    在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；
    在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有名同学有健美操基础，学校准备从这人中随机抽取人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的名同学恰好是同一个班级的概率．
21. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知台型早餐机和台型早餐机需要元，台型早餐机和台型早餐机需要元．
    每台型早餐机和每台型早餐机的价格分别是多少元？
    某商家欲购进，两种型号早餐机共台，但总费用不超过元，那么至少要购进型早餐机多少台？
22. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点，在处测得大树底端的仰角为，沿水平地面前进米到达处，测得大树顶端的仰角为，测得山坡坡角图中各点均在同一平面内．
    求斜坡的长；
    求这棵大树的高度结果取整数，
    参考数据：，，，

23. 某蔬菜批发商以每千克元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于元．经市场调查发现，山野菜的日销售量千克与每千克售价元之间满足一次函数关系，部分数据如表：

求与之间的函数关系式；
当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？

24. 如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．
    求证：与相切；
    若，，，求的长．

25. 在▱中，，，点为射线上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
    如图，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
    如图，当点在线段上时，求证：；
    点在射线上运动，若，，请直接写出线段的长．
     

26. 抛物线经过点，点，直线经过点，交抛物线于点抛物线的对称轴交于点，交轴于点，交直线于点．
    求抛物线的解析式；
    如图，点为直线下方抛物线上的点，连接，，的面积记为，的面积记为，当时．求点的横坐标；
    如图，连接，点为平面内直线下方的点，以点，，为顶点的三角形与相似时与不是对应边，请直接写出符合条件的点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
本题考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有个正方形，上层中间有个正方形，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故A不符合题意；
B、掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意买一张电影票，座位号是的倍数，是随机事件，故C不符合题意；
D、从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：于点，
，
，
，
，
．
故选：．
根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的数是，
则中位数为．
故选：．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

8.【答案】 

【解析】解：小强每小时比小明多骑行，小强每小时骑行，
小明每小时骑行．
依题意得：．
故选：．
根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行，利用时间路程速度，结合小强骑行所用时间与小明骑行所用时间相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
平分，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得到平分，则可计算出，再利用平分得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，

在等边中，，
在中，，
，
，
，
在等边中，，
，，
，
当时，设与交于点，此时与重叠部分为，

由题意可得，
；
当时，设与交于点，此时与重叠部分为四边形，

由题意可得：，则，，
，
，
当时，设与交于点，过点作，交于点，
此时与重叠部分为，

由题意可得，则，，
，

在中，，
，
，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：．
分，，三种情况，结合灯等边三角形的性质，含直角三角形的性质以及三角形面积公式分别列出函数关系式，从而作出判断．
本题考查二次函数图像的动点问题，掌握二次函数的图象性质，理解题意，准确识图，利用分类讨论思想解题是关键．
 

11.【答案】． 

【解析】解：．
故答案为：．
应用科学记数法表示较大的数的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得：．
故答案为：．
根据题意可得，从而可求得相应的的范围．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是是熟记根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：设图中每个小正方形的面积为，则大正方形的面积为，
根据题意图中阴影部分的面积为，
则击中阴影区域．
故答案为：．
设图中每个小正方形的面积为，则大正方形的面积为，根据题意图中阴影部分的面积为，应用几何概率的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为，．
点为的中点，
．
四边形为平行四边形，点在轴上，
轴．
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
，
▱的面积．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合点为的中点可得出的长，由四边形为平行四边形，可得出轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长，结合平行四边形的对边相等可得出的长，再利用平行四边形的面积计算公式，即可求出▱的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及平行四边形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点，的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图：

，，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
在中，
，
四边形的周长是，
故答案为：．
连接交于，证明四边形是菱形，可得，，，在中，可得，故四边形的周长是．
本题考查是三角形角平分线及菱形性质和判定，解题的关键是掌握平行线性质，证明四边形是菱形．
 

17.【答案】 

【解析】解：因为，依据同底等高的原理，的面积等于的面积，
设，则，
解得，
所以．
故．
故答案为：．
根据同底等高把面积进行转化，再根据的几何意义，从而求出的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是根据同底等高把面积进行转化．
 

18.【答案】 

【解析】解：以为原点，平行于的直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过作，交延长线于，如图：

设正方形的边长为，则，，
为中点，
，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
是中点，
，
，
．
故答案为：．
以为原点，平行于的直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过作，交延长线于，设正方形的边长为，待定系数法可得直线解析式为，即可得，，证明≌，可得，，即得，，从而，故．
本题考查正方形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，一次函数，中点坐标公式等知识，解题的关键是建立直角坐标系，设正方形的边长为，表示出相关点的坐标，从而求出相关线段的长度．
 

19.【答案】解：


，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的运算法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】 

【解析】解：人，
故答案为：；
健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：，
喜欢“跳绳”的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中人来自同一班级的有种，
所以，从一班人，二班人中任取人，来自同一班级的概率为，
答：选中的名同学恰好是同一个班级的概率为．
从两个统计图中可得，喜欢“篮球”的人数是人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；
求出喜欢“健美操”的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出喜欢“跳绳”的学生人数可补全条形统计图；
利用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握频率是正确计算的关键，列举出所有可能出现的结果是计算相应概率的前提．
 

21.【答案】解：设型早餐机每台元，型早餐机每台元，依题意得：
，
解得：，
答：每台型早餐机元，每台型早餐机元；
设购进型早餐机台，依题意得：
，
解得：，
答：至少要购进型早餐机台． 

【解析】可设型早餐机每台元，型早餐机每台元，结合所给的条件可列出二元一次方程组，解方程组即可；
可设购进型早餐机台，结合，根据总费用不超过元，可列出不等式，从而可求解．
本题主要考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．
 

22.【答案】解：由题意得：
，米，
是的一个外角，
，
，
米，
斜坡的长为米；
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
这棵大树的高度约为米． 

【解析】根据题意可得：，米，根据三角形的外角可求出，从而可得米，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由表中数据得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为元，
由题意得：，
市场监督部门规定其售价每千克不高于元，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，最大值为，
当每千克山野菜的售价定为元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为元． 

【解析】设与之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
 

24.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后利用同角的余角相等可得，从而可证∽，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
点为的中点，
，，
，

，
，
，
≌，
；
证明：如图，过点作交于点，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
在中，，
，
，
，
；
解：当点在线段上时，如图，作，交延长线于，

则是等腰直角三角形，
，
，
，
由得，；
，
，
，
当点在的延长线上时，作，交延长线于，

同理可得≌，
，
，
，
，
综上：的长为或． 

【解析】连接，可知是等腰直角三角形，再证明≌，得；
过点作交于点，首先证明≌，得，再证明是等腰直角三角形，可得结论；
分点在线段和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用≌，得，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
 

26.【答案】解：将，点代入，
，
解得，
；
将代入中，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
，，，
过点作轴垂线交于点，交轴于点，
设，则，
，
，
，
，
，
解得或，
点的横坐标为或；
，，，
，，，
，，
，
设，
当∽时，，
，
，，
，
解得或舍，
；
当∽时，，
，
，，
，
解得舍或，
；
当∽时，，
，
，，
，
解得或舍，
；
当∽时，，
，
，，
，
解得或舍，
；
综上所述：点坐标为或或或． 

【解析】将，点代入，即可求解；
过点作轴垂线交于点，交轴于点，设，则，，，由题意可求的值；
设，分四种情况讨论：当∽时，，，可求；当∽时，，，解得；当∽时，，，可求得；当∽时，，，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．