2022届湖南省长沙市南雅中学中考数学模拟预测题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（    ）   

A．90° B．120° C．270° D．360°

2．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米/分；

②乙走完全程用了32分钟；

③乙用16分钟追上甲；

④乙到达终点时，甲离终点还有300米

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，CE，BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为    （    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

4．据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（　　）

A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109

5．如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使得，延长交于点，则线段的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．20° C．25° D．30°

7．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（　　）

A．50π﹣48 B．25π﹣48 C．50π﹣24 D．

8．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

9．下列各式计算正确的是（  ）

A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2 B．2a3+a3=3a6

C．a3•a=a4 D．（﹣a2b）3=a6b3

10．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82  []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若，则 　 　  （用含k的代数式表示）．

12．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　 　．

13．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．

14．两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．

15．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．

16．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______．

17．如图，点A(3，n)在双曲线y=上，过点A作 AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是     ．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上.

在图中画出以线段为底边的等腰，其面积为，点在小正方形的顶点上；在图中面出以线段为一边的，其面积为，点和点均在小正方形的顶点上；连接，并直接写出线段的长.

19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点．求的值；过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．

①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；

②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

20．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF．

（1）如图，点D在线段CB上时，

①求证：△AEF≌△ADC；

②连接BE，设线段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；

（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．

21．（10分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

22．（10分）列方程解应用题:某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?

23．（12分）如图，一盏路灯沿灯罩边缘射出的光线与地面BC交于点B、C，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，且BC＝20米．

（1）请用圆规和直尺画出路灯A到地面BC的距离AD；（不要求写出画法，但要保留作图痕迹）

（2）求出路灯A离地面的高度AD．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）．

24．（14分）九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，20分钟后另一部分学生骑自行车前往，设（分钟）为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行学生走的路程为千米，骑自行车学生骑行的路程为千米，关于的函数图象如图所示.

（1）求关于的函数解析式；

（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．

【详解】

∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，
∴∠1+∠2=120°．
故选B.

【点睛】

考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．

2、A

【解析】

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．

【详解】由图可得，

甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，

乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，

乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，

乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，

故选A．

【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.

3、C

【解析】
连接EG、FG，根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG＝FG＝BC，因为D是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得GD⊥EF，再根据勾股定理即可得出答案．

【详解】

解：连接EG、FG，

EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线，

∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半

∴EG＝FG＝BC=×10=5，

∵D为EF中点

∴GD⊥EF，

即∠EDG＝90°，

又∵D是EF的中点，

∴,

在中，

,

故选C.

【点睛】

本题考查了直角三角形中斜边 上中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质，本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD⊥EF是解题的关键．

4、A

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【详解】

39000000000=3.9×1．

故选A．

【点睛】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

5、B

【解析】
先利用已知证明，从而得出，求出BD的长度，最后利用求解即可．

【详解】

故选：B．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

6、C

【解析】

分析：如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．

∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．

∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．

故选C．

7、B

【解析】
设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，

∴AD⊥BC，

∴BD=DC=BC=8，

而AB=AC=10，CB=16，

∴AD===6，

∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积，

=π•52﹣•16•6，

=25π﹣1．

故选B．

8、A

【解析】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，

∴四边形ABCO是菱形，

∴AB=OA=OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∵BD是⊙O的直径，

∴点B、D、O在同一直线上，

∴∠ADB=∠AOB=30°

故选A．

9、C

【解析】

各项计算得到结果，即可作出判断．

解：A、原式=4a2﹣b2，不符合题意；

B、原式=3a3，不符合题意；

C、原式=a4，符合题意；

D、原式=﹣a6b3，不符合题意，

故选C．

10、C

【解析】

分析：[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．

详解：121

∴对121只需进行3次操作后变为1.

故选C．

点睛：本题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、。

【解析】

试题分析：如图，连接EG，

∵，∴设，则。

∵点E是边CD的中点，∴。

∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，

∴。

易证△EFG≌△ECG（HL），∴。∴。

∴在Rt△ABG中，由勾股定理得： ，即。

∴。

∴（只取正值）。

∴。

12、

【解析】

试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD．

∴△ABE∽△DCE．∴．

∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC．

∵在RtACD中，∠D=30°，∴．

∴．

13、1：1．

【解析】

试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：1.

考点：相似三角形的性质.

14、4或1

【解析】

∵两圆内切，一个圆的半径是6，圆心距是2，

∴另一个圆的半径=6-2=4；

或另一个圆的半径=6+2=1，

故答案为4或1．

【点睛】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是6，要分大圆和小圆两种情况讨论．

15、．

【解析】
由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可．

【详解】

解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，

所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=．

故答案为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

16、.

【解析】

试题分析：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴.

考点：一元二次方程根的判别式.

17、2．

【解析】
先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=2，再根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC．

【详解】

由点A(3，n)在双曲线y=上得，n=2．∴A(3，2)．

∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，∴OB=AB．

则在△ABC中， AC=2，AB＋BC=OB＋BC=OC=3，

∴△ABC周长的值是2．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，.

【解析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出符合题意的答案；（3）连接CE，根据勾股定理求出CE的长写出即可.

【详解】

解：（1）如图所示；

（2）如图所示；（3）如图所示；CE＝.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键.

19、（1）．（2）①判断：．理由见解析；②或．

【解析】
（1）利用代点法可以求出参数 ；

（2）①当时，即点P的坐标为，即可求出点的坐标，于是得出；

②根据①中的情况，可知或再结合图像可以确定的取值范围；

【详解】

解：（1）∵函数的图象经过点，

∴将点代入，即 ，得：

∵直线与轴交于点，

∴将点代入，即 ，得:

(2)①判断： ．理由如下：

当时，点P的坐标为，如图所示：

∴点C的坐标为 ，点D的坐标为

∴ ， ．

∴．

②由①可知当时

所以由图像可知，当直线往下平移的时也符合题意，即 ，

得；

当时，点P的坐标为

∴点C的坐标为 ，点D的坐标为

∴ ，

∴

当 时，即，也符合题意，

所以 的取值范围为：或 ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数和一次函数，熟练求反比例函数和一次函数解析式的方法、坐标与线段长度的转化和数形结合思想是解题关键.

20、（1）①证明见解析；②25；（2）为或50+1．

【解析】
(1)①在直角三角形ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD=AE，利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式；(2)分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可．

【详解】

(1)、①证明：在Rt△ABC中，

∵∠B=30°，AB=10，

∴∠CAB=60°，AC=AB=5，

∵点F是AB的中点，　

∴AF=AB=5，

∴AC=AF，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE，∠EAD=60°，

∵∠CAB=∠EAD，

即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，

∴∠CAD=∠FAE，

∴△AEF≌△ADC（SAS）；

②∵△AEF≌△ADC，

∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，

又∵点F是AB的中点，

∴AE=BE=y，　

在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，

　∴y2﹣x2=25.

（2）①当点在线段CB上时， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD2=50，△ADE的面积为；

②当点在线段CB的延长线上时， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，

∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100，

综上所述，△ADE的面积为或．

【点睛】

此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

21、BD= 2.

【解析】
试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．

试题解析：

∵∠ACD=∠ABC，

又∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△ACD ，

∴，

∵AC=，AD=1，

∴，

∴AB=3，

∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2    .

点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题关键．

22、从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

【解析】
设年平均增长率为x，根据：2016年投入资金×（1+增长率）2=2018年投入资金，列出方程求解可得.

【详解】

解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.

根据题意得:1280(1+x)2=1280+1600.

解得x1=0.5=50%，x2=-2.5(舍去)，

答:从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键．

23、（1）见解析；（2）是7.3米

【解析】
（1）图1，先以A为圆心，大于A到BC的距离为半径画弧交BC与EF两点，然后分别以E、F为圆心画弧，交点为G，连接AG，与BC交点点D，则AD⊥BC；图2，分别以B、C为圆心，BA为半径画弧，交于点G，连接AG，与BC交点点D，则AD⊥BC；（2）在△ABD中，DB=AD；在△ACD中，CD=AD，BC=BD+CD，由此可以建立关于AD的方程，解方程求解．

【详解】

解：（1）如下图，

图1，先以A为圆心，大于A到BC的距离为半径画弧交BC与EF两点，然后分别以E、F为圆心画弧，交点为G，连接AG，与BC交点点D，则AD⊥BC；

图2，分别以B、C为圆心，BA为半径画弧，交于点G，连接AG，与BC交点点D，则AD⊥BC；

（2）设AD＝x，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，

∴BD＝AD＝x，

∴CD＝20﹣x．

∵tan∠ACD＝，

即tan30°＝，

∴x＝＝10（﹣1）≈7.3（米）．

答：路灯A离地面的高度AD约是7.3米．

【点睛】

解此题关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数解答即可．

24、；（2）骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.

【解析】
（1）根据函数图象中的数据可以求得关于的函数解析式；

（2）根据函数图象中的数据和题意可以分别求得步行学生和骑自行车学生到达百花公园的时间，从而可以解答本题.

【详解】

解：（1）设关于的函数解析式是，

，得，

即关于的函数解析式是；

（2）由图象可知，

步行的学生的速度为：千米/分钟，

步行同学到达百花公园的时间为：（分钟），

当时， ，得，

，

答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.