江西省萍乡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

萍乡市2021-2022学年度第二学期期末考试

高一数学

本试卷分第Ⅰ巷（选择题）和第Ⅱ巷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答题无效．

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2．已知角的终边过点，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．下列说法正确的是（    ）

A．垂直于同一直线的两条不同直线平行          B．垂直于同一平面的两个不同平面平行

C．梯形一定是平面图形                        D．一条直线和一个点确定一个平面

4．已知菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ）

A．            B．

C．             D．

6．我国唐朝关文学家僧一行应用“九服喜影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳大顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ）

A．1倍    B．倍    C．倍    D．倍

7．已知点．向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．在直三梭柱中，，且三梭柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列各式化简中，正确的是（    ）

A．                 B．

C．               D．

10．对平面内两个向量，下列命题中正确的是（    ）

A．              B．若共线，则存在实数使

C．         D．若，则它们不能作为一组基

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b．c，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若．则

C．若，则是等腰三角形

D．若为锐角三角形，则

12．某止方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中，正确的结论有（    ）

A．与异面       B．平面

C．            D．平面平面

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．求值：____________．

14．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则这个圆锥的体积是___________．

15．已知向量，其中，函数，且的最小正周期为，则的解析式为______________．

16．如图，B是线段上一点，点D位于点A的北偏东方向上，位于点B的正北方向上，位于点C的北偏西方向上，且，则____________，____________；（答案精确到小数点后两位）（参考数据：）

四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知复数的实部和虚部相等，其中i为虚数单位．

（1）求复数z的模；

（2）若复数是纯虚数，求实数m的值．

18．（本小题满分12分

函数的部分图象如图所示，其中轴．

（1）试写出函数的解析式；

（2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象．若在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，设E，F分别是正方体的棱上两点，且．

（1）求平面与平面所成的二面角的大小；

（2）判断三棱锥的体积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

请在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并求解该问题．

已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且______________．

（1）求角A的大小;

（2）求边b的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．（本小题满分12分）

如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面；

（2）在线段上是存在点P，使得平面？说明理由．

22．（本小题满分12分）

如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在与上的矩形铁皮．

（1）写出矩形铁皮的面积与角度的函数关系式；

（2）求矩形铁皮面积的最大值和此时的值．

萍乡市2021-2022学年度第二学期期末考试

高一数学试题参考答案及评分标准

一、单项选择题（8×5=40分）：DBCA；BABC．

二、多项选择题（4×5=20分）：ACD；AD；ABD；BC．

三、填空题（4×5=20分）：（13）；（14）；（15 ；

（16）3.92；3.97．（第一空3分，第二空2分）

四、解答题（共70分）

17．（1）由题意得：，解得，

复数；

（2）由题知：的实部为零，虚部不为零，

，

令得：或，

当时，，不合题意，

当时，，符合题意，所以．

18．（1）由图知，点M与N间的最大值对应的横坐标为，

设的最小正周期为T，则，得，则，

把点代入中，即，得，

因为，故，所以；

（2）由题知，，

由，得，

即，故m的取值范围是．

19．（1）由题知，平面即为平面，两平面相较于，

连接，因为为正方体，

则平面，又平面，所以，

又，由概念知，即为所求角，

易知，故所求二面角的大小为（无二面角的说明过程扣3分）

（2）因为面积不变，到平面的距离不变，故此三棱锥体积为定值，

平面即为平面，由题知，到平面的距离为，

则．

20．若选条件①：（1）由正弦定理得，，

即，故，因为A为锐角，所以；

若选条件②：（1）由正弦定理得，，

即，

因为，所以，则，因为A为锐角，所以；

若选条件③：（1）由题知，，

，

即，

因为，所以，则，即，

，则，所以；

（2）由（1）知，，即，

在锐角中，，

由正弦定理得： ，

由，得．

21．（1）由题知，平面平面，交线为，

因为平面，所以平面，

又平面，故，

因为M为半圆弧上异于C，D的点，且为直径，所以，

又，且和平面，所以平面；

（2）当P为的中点时，平面．证明如下：

连接和交于O，因为为矩形，所以O为中点，

连接，因为P为中点，所，

又平面，平面，所以平面．

22．（1）记矩形铁皮的面积为S，

由题知，，

则；

（无定义域扣1分）

（2）令，因为，所以，

则，即，

故，

当时，面积S取得最大值为，此时．