江苏省泰州市2021-2022学年高一第二学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份江苏省泰州市2021-2022学年高一第二学期期末考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021～2022学年度第二学期期末考试高一数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)命题人：审题人： 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．  已知复数，其中为虚数单位，则(  ▲  ) A. B． C．3  D．  在中，角，，所对的边分别为，，．若则 (  ▲  ) A.           B．           C．             D．3．已知向量，，且，则实数(  ▲  ) A．           B．            C．              D．4. 某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为(  ▲  )A．68   B．38   C．32   D．305. 从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是(  ▲  ) A. “恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生” B. “至少选中1名男生”与“至少选中1名女生” C. “选中2名男生”与“选中2名女生”  D. “至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”6．已知，则(  ▲  )A．             B．   C．      D．      7．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四       棱锥后所得的几何体，其中为长方体  的中心，分别为所在棱的中点，，那么该模型的表面积为(  ▲  )． A．            B．         C．            D． 8. 某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏,这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园.游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩.甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为(  ▲  )  A． B． C．   D．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9. 下列说法正确的是(  ▲  )A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20D.若样本数据的方差为8，则数据的方差为15在棱长为1的正方体中，下列选项正确的有(  ▲  )A.平面B.平面C.三棱锥的外接球的表面积为D.三棱锥的体积为11.如图，已知菱形的边长为6，为中点，，下列选项正确的有(  ▲  ) A．                  B．若，则    C．若，则        D．12.在中，角，，所对的边分别为，，．若，，则下列说法正确的有(  ▲  ) A.      B.     C.       D.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得  这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是   ▲  .（写出符合条件的一个值）14. 如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为，则这个漏斗的容积为   ▲   . 15．欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作. 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则   ▲   ；   ▲   .（第一空2分，第二空3分） 16. 如图所示，该图由三个全等的构成， 其中和都为等边三角形.若， ，则   ▲   .四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．（1）求复数；（2）若，求实数，的值．    18．(本题满分12分)为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．（1）求该班级人数及女生成绩在[110,120)的人数；（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．   19．(本题满分12分)已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，且，求的值．
20．(本题满分12分)如图，已知斜三棱柱且平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.       21．(本题满分12分)在中，内角所对的边分别为，请在①，  ②，   ③这三个条件中任选一个，完成下列问题. （1）求角；（2）在（1）的条件下，若点为的中点，且，求的面积.注：如果选择多组条件分别解答,按第一组解答计分．  
22．(本题满分12分)如图（1），在中，分别为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．（1）当时，求二面角的大小；（2）当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：（Ⅰ）设平面与平面的交线为，求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．                        
2021～2022学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案一、单项选择题：1．B   2．A   3．B   4．D   5．C   6．C   7．A   8．B二、多项选择题：9．ABC     10．BD    11．ABD    12．AD三、填空题：13．4、5、6、7（四个数中的任意一个）     14．        15．，       16．        四、解答题：17．（本题满分10分）解：（1）设（其中，），由为纯虚数，得，且．由为实数，得．所以．..................................................5分（2）由（1）知，．故由，得，即．因为，，由复数相等的充要条件得：解得......................................................10分18．（本题满分12分）解：（1）设该班共有名学生，则，解得．..............................2分由频率分布直方图知在的人数为，由折线图知男生在的人数为3，所以女生在人数为．........................................4分答：该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110,120)．...........6分（2）成绩在130分及以上的人数为（人）其中男生为4人，所以女生2人．记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件，记这6人分别为，，，，，；其中男生为，，，；女生为，．则样本空间，..........................................................8分；..........................................................10分所以． 答：恰有1名男生和1名女生被选中的概率为...........................12分19（本题满分12分）解：（1）因为，所以，所以，所以，...................................................5分（2）因为，，，又，所以，，.........................................................7分...........................................................9分又因为，所以................................................12分20．（本题满分12分）解：（1）连结，因为，平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，平面，.在菱形中，，，所以平面，又平面，所以....................................................5分（2）取的中点，连结，，所以，，，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，直线与平面所成角为..........................................7分，所以，.........................................................9分所以，..........................................................11分故直线与平面所成角的正弦值为......................................12分21．（本题满分12分）解：（1）选①，因为，所以，，解得，因为，所以，故角．...........................................5分选②，因为，由正弦定理的，，所以，，，所以，故角． 5分选③，因为，所以，，，故角．..................................................5分（2）作，交于点，连结，则四边形为平行四边形，点为中点，且．...............................................7分在中，由余弦定理得或（舍），即，10分所以.....................................................12分22．（本题满分12分）解：（1）在图②中，，所以二面角的平面角为．在中，已知，．由余弦定理得，，又，所以，所以二面角的大小为．.................................5分（2）（Ⅰ）当四棱锥的体积最大时，．在等腰直角梯形中，，所以四边形为平行四边形．所以，平面，平面，所以∥平面．又平面，平面平面，所以∥．因为，，所以．又，∥，所以，，又，所以．.....................................................8分（Ⅱ）当四棱锥的体积最大时，由①知，所以与平面所成角为．所以，解得，在中，解得。................................................10分在中，解得，所以点为靠近点或点的线段的四等分点 ......................12分