江苏省高邮市第一中学2021-2022学年高二第二学期数学期末适应性考试数学试卷（含答案）

高二期末适应性考试（数学）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.集合，，，则等于    ．

A.  B.  C.  D.

2.已知，则“”是“”的

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件  C. 充要条件   D. 既不充分又不必要条件

3.已知，其中为常数，若，则

A.  B.  C.  D.

4.已知空间向量且，则实数的值为（   ）

A．                 B．                 C．             D．

5.函数的图象大致是   

A.  B.

C.  D.

6.某龙舟队有名队员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的人、右舷的人共人去参加比赛，则不同的选派方法共有   

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7.有条同样的生产线，生产的零件尺寸单位：都服从正态分布，且在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为    ．

A.  B.  C.  D.

8.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，就是它的均值点，现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.若，则下列选项正确的是   

A.  B.

C.  D.

10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是

A. 与是共线向量                    B. 与同向的单位向量是

C. 和夹角的余弦值是             D. 平面的一个法向量是

11.下列结论正确的是．

A. 若随机变量X~N(0,1)，则P(x-1)=P(x1)

B. 已知随机变量X,Y满足X+2Y=8，若X~B(10,0.6)，则E(Y)=1,D(Y)=1.2

C. 某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同），则至少选到2名女同学的概率是0.3

D. 三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%，将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953

12.已知函数则下列说法正确的有

A. 若不等式至少有个正整数解，则

B. 当时，

C. 过点作函数图象的切线有且只有一条

D. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.除以的余数是          ．

14.已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．

15.中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗。经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有款自主研发的新冠疫苗获批上市。其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有          种用数字作答

16.已知函数为定义在上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.若展开式中前三项的系数和为，求：

(1)    展开式中所有的有理项；   展开式中系数最大的项．

18.如图，四棱锥的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在异于，的一点，使得．

求实数的取值范围

当取最大值时，求点到平面的距离．

19.手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能．某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图如图：

产品的性能指数在的称为类芯片，在的称为类芯片，在的称为类芯片，以这件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率．

Ⅰ在该流水线上任意抽取件手机芯片，求类芯片不少于件的概率；

Ⅱ该公司为了解年营销费用单位：万元对年销售量单位：万件的影响，对近年的年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图如图所示．

利用散点图判断，和其中，为大于的常数哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型只要给出判断即可，不必说明理由；

对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：

根据的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；

由所求的回归方程估计，当年营销费用为万元时，年销量万件的预报值．参考数据：

参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

20.在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面．

求二面角的余弦值；

线段上是否存在一点，使得异面直线和所成的角的余弦值为若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

21.某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有，，三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对，，三道题中的每一题能解出的概率都是，乙考生对，，三道题能解出的概率分别是，，，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．

求甲至少能解出两道题的概率；

设表示乙在考试中能解出题的道数，求的数学期望；

按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．

22.已知函数，

当时，求函数的最小值；

(2)    当时，求证有两个零点，，并且．

答案

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.B  2.A   3.A   4.D   5.A   6.D   7.D   8.A

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.AD   10.BD   11.AD   12.BCD

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.     14.     15.    16.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.解：易求得展开式前三项的系数为，，．

由题意得，可得．..................2分

设展开式中的有理项为，

由，又，，或．

故有理项为，．.........6分

设展开式中项的系数最大，

则，又，，

故展开式中系数最大的项为．.....................10分

18.解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设．

，，

由，得，即．

由题意，知，，

即实数的取值范围是．...........................6分

由知的最大值是，此时，即点是的中点．

设是平面的法向量，

，，

由

令，则，故是平面的一个法向量．

又在方向上的投影长为，

点到平面的距离为．.......................12分

19.Ⅰ由频率分布直方图，、、类芯片所占频率分别为，，，取出类芯片的概率为，

设“抽出类芯片不少于件”为事件，  ..............4分

Ⅱ用更适合；     

，

令，，则，，

由表中数据可得，，

则，所以，，

即，因为，所以   .......10分

当，．

所以年销售量的预报值为万件．.....................12分

20.解：设是中点，为正三角形，

则，又平面平面，平面平面，，

所以平面，又，，为正三角形，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，...2分

则，，，

设平面法向量为，，，

则，取，得，平面的法向量，

，，二面角的余弦值为..............7分

设，则，

，，

所以，

所以或，所以存在点为线段的三等分点．.....12分

21.解：由题意可得，甲至少能解出两道题的概率为；..3分

由题意可知，的可能取值为，，，，

所以，

，

，

，

故的数学期望为；..........8分

设表示甲在考试中能解出题的道数，

则随机变量服从二项分布，即，

所以的数学期望，

因为，

故甲应该被录取．..............12分

22.解：当时，，

则，

设，则，

所以在上单调递增，

又，，

所以存在，使得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以的最小值为．...6分

证明：，

若，

则，所以在上单调递增，

所以函数在上至多有个零点，不符合题意；

若，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

若函数有个零点，则的最小值为，

所以，所以，

因为，所以，

所以存在两个零点和，，，

因为，所以

两式相减得，

两式相加得，

要证，只需证，

设，，

则，

所以在上单调递增，所以，

又，所以，

所以．...............12分