2021-2022学年广东省广州市天河区华南师大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年广东省广州市天河区华南师大附中八年级（下）期中数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30分）下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 在平行四边形中，若，则(    )A.  B.  C.  D. 如图所示，点，在数轴上，，，，以为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数是(    )
A.  B.  C.  D. 不能确定下列命题是真命题的是(    )A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形如图，每个小正方形的边长都是，，，分别在格点上，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，数轴上的实数、满足，则是(    )A.  B.  C.  D. 如图，点是正方形外一点，连接、和，过点作垂线交于点若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；则正确结论的个数是(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）式子在实数范围内有意义，则 ______ ．计算：______．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则正方形的边长是______．
 已知，则 ______ ．如图，矩形中，平分交于点，连接，若，，则的长是______．
 如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点含端点，但点不与点重合，点，分别为，的中点，则长度的最大值为______ ．
   三、解答题（本大题共9小题，共74分）计算：．已知：如图，中，，是的中点，，．
求证：．
先化简，再求值：，其中，．我国古代数学著作九章算术中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端尺处．折断处离地面的高度是多少？丈尺
如图，每个小正方形的边长都为．
求的周长；
求的度数．
如图，平行四边形的周长为，由钝角顶点向、引两条高、，且，．
求这个平行四边形的面积．
与的关系怎样？为什么？
在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
，
．
，．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
______；
化简；
若，求的值．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：≌；
证明：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．如图，正方形边长为，点在边上点与点、不重合，过点作，垂足为，与边相交于点．
求证：≌；
若的面积为，求的长；
取，的中点，，连接，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．，可化简；
B.，可化简；
C.，可化简；
D.不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
故选：．
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数或因式的指数都小于根指数，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数大于或等于，也不是最简二次根式．
 2.【答案】 【解析】解：、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．
利用勾股定理逆定理进行分析即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 3.【答案】 【解析】解：、与不能合并，所以选项的计算错误；
B、原式，所以选项的计算错误；
C、原式，所以选项的计算错误；
D、原式，所以选项的计算正确．
故选：．
根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的性质对、进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 4.【答案】 【解析】解：在平行四边形中，，
．
故选：．
由在平行四边形中，若，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用．
 5.【答案】 【解析】解：由题意可得：，
则，
故A点对应的实数为：，
故选：．
根据勾股定理得出的长，进而得出点对应的数．
此题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据题意得出的值是解题关键．
 6.【答案】 【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
本题考查平行四边形、特殊平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
 7.【答案】 【解析】解：如图，连，

则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故选：．
连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．
本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质．
 8.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，
过作于，

平分，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据勾股定理得到，过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，

．
故选：．
根据图示，可得：，所以，据此化简，求出是多少即可．
此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，．
．
又，
．
又，
≌．
所以正确；
，，
，
．
≌，
，
，
即，正确；
在等腰中，利用勾股定理可得，
在中，利用勾股定理可得，
点到直线的距离小于，所以点到直线的距离为是错误的，
所以错误；
在中，，，，
如图所示，过点作交延长线于点．

在等腰中，可得．
所以．
在中利用勾股定理可得，
即，
所以．
所以正确．
所以只有和、的结论正确．
故选：．
易知，，所以只需证明即可用说明≌；
易知，则，所以；
在中利用勾股定理求出值为，根据垂线段最短可知到直线的距离小于；则错误；
要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在中，，，，过点作交延长线于点，在中利用勾股定理即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
 11.【答案】 【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质：和绝对值的代数定义求解．
此题主要考查二次根式的性质，同时还要掌握绝对值的代数意义．
 13.【答案】 【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为、，正方形的边长为，则由勾股定理得：
，，；
即最大正方形的面积为：．
则正方形的边长是．
故答案为：．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为，可得结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意得：
，，
解得：，，
．
故答案为：．
绝对值和算术平方根都具有非负性，非负数之和等于时，各项都等于，列出方程，求出和，再计算出的值．
本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解这类题的一般方法是非负数之和等于时，各项都等于．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
；
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质和根据勾股定理可求出，再证明，即可求出的长，进而可求出的长．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定．
 16.【答案】 【解析】解：连接、，如图所示：
在中，，，，
，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
长度的最大值为，
故答案为：．
连接、，先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理得到，然后结合图形解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 17.【答案】解：

． 【解析】利用平方差公式进行运算，二次根式的除法，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 18.【答案】证明：在中，，是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
． 【解析】欲证明，只要证明四边形是平行四边形即可．
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键，属于基础题．
 19.【答案】解：原式
，
当，时，
原式

． 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 20.【答案】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
答：折断处离地面的高度为尺． 【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 21.【答案】解：，，，
的周长；
，，，
，
是直角三角形，是斜边，
． 【解析】运用勾股定理求得，及的长，即可求出的周长．
运用勾股定理的逆定理求得，得出．
本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
 22.【答案】解：设，则，
，
，
．
平行四边形的面积；
与的关系是互补，理由如下：
，，
，
，
，
与的关系是互补． 【解析】设，则，平行四边形面积列出方程求出的值，进而即可解决问题；
根据垂直的定义得到，根据四边形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：，
故答案为：；



；
，







．
根据所给的解答方式进行求解即可；
把各式的分母进行有理化，即可求解；
先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 24.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
证明：如图，由知，≌，
，
为边上的中线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：是的中点，
． 【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，证得四边形为平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得，可证得结论；
根据条件可证得，再由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明≌是解题的关键．
 25.【答案】证明：，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
，
的面积

，
，
解得，，，
或，
或．
解：如图，连接并延长交于点，连接，

点是的中点，
，
，
，，
≌，
，或，
当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
综上，的长度为或． 【解析】先证得，很容易证明与全等，由此得出，又由互余可得出，进而可得结论；
根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据中即刻得出结论；
连接并延长交于点，连接，可证明≌，所以，或，又是的中位线，求出的长即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．