2023届高考数学一轮复习-利用导数研究函数的单调性、极值与最值专项练习(含答案）

2023届高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性、极值与最值专项练习

一、单项选择题

1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)

B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)

C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－ 3)

D．函数f (x)有极小值f(－3)和极大值f(3)

2．设函数f(x)＝，则“f(x)存在极值点”是“a≤0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2] 

B.

C.   

D．(－2，＋∞)

4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋2x＋4有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　)

A．(－2,8)

B.∪

C．(－∞，－2)∪(8，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

5．设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集为(　　)

A．(－∞，e)  B．(－∞，1)

C．(e，＋∞)  D．(1，＋∞)

6．若函数f(x)＝2x3－3bx2在区间(－1,1)有最小值，则实数b的取值范围为(　　)

A. 

B.

C．(－∞，－1] 

D.

7．已知实数a，b，c∈R满足＝＝－，b>1，则a，b，c大小关系为(　　)

A．a>b>c 

B．a>c>b

C．b>c>a 

D．b>a>c

8．若ex2≥ex2＋ln k在R上恒成立，则实数k的取值范围为(　　)

A．k≤1 

B．0<k≤1

C．k≥1 

D．D．1≤k≤e

二、多项选择题

9．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝x4(x－1)3(x－2)2(x－3)，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在x＝1处有极大值

B．f(x)在x＝2处有极小值

C．f(x)在[1,3]上单调递减

D．f(x)至少有3个零点

10．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)有极小值

B．函数f(x)在x＝0处切线的斜率为4

C．当k∈时，f(x)＝k恰有三个实根

D．若x∈[0，t]时，f(x)max＝，则t的最小值为2

11．若f(x)满足f′(x)＋f(x)>0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是(　　)

A．f(a)<f(2a)

B．f(a)e2a>f(－a)

C．f(a)>f(0)

D．f(a)>

12．已知函数f(x)＝，(　　)

A．f(x)在x＝处取得极大值

B．f(x)有两个不同的零点

C．f()<f()<f()

D．若f(x)<k－在(0，＋∞)上恒成立，则k>

三、填空题

13．函数f(x)＝在x＝处取得极值，则a＝________.

14．函数f(x)＝－k有两个零点，则k的取值范围是________．

15．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值为________．

16．函数f(x)＝的单调增区间为________；若对∀a，b∈[1，e]，a≠b，均有<m成立，则m的取值范围是________．

四、解答题

17．已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若a∈R，试讨论函数f(x)的单调性．

18．函数f(x)＝xln x－a(x－1)(a∈R)，已知x＝e是函数f(x)的一个极小值点．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)在区间[1,3]上的最值．(其中e为自然对数的底数)

1. D

2．C

3．D

4．C

5．D

6．D

7．D

8．B

9．AC

10．ABD

11．BD

12．ACD

13．1

14．

15．1

16．(0,1)　[1，＋∞)

17．由题设，f′(x)＝＋2ax－(2a＋1)＝(x>0)

①当a≤0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，令f′(x)＜0，得x＞1，

∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，

ⅰ)当a＝时，f′(x)＝≥0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

ⅱ)当a>时，令f′(x)＞0，得0<x<或x＞1；令f′(x)＜0，得<x<1，

∴f(x)在和(1，＋∞)单调递增，在单调递减；

ⅲ)当0<a<时，令f′(x)＞0，得0＜x＜1或x>；令f′(x)＜0，得1<x<，

∴f(x)在(0,1)和单调递增，在单调递减；

综上：当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减；

当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>时，f(x)在和(1，＋∞)单调递增，在单调递减；

当0<a<时，f(x)在(0,1)和单调递增，在单调递减．

18．(1)∵f(x)＝xln x－a(x－1)，∴f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′－a＝ln x＋1－a，

∴f′(x)＝ln x＋1－a.

∵x＝e是函数f(x)的一个极小值点．∴f′(e)＝0，∴f′(e)＝ln e＋1－a＝0，∴a＝2.

当a＝2时f(x)＝xln x－2(x－1)，∴f′(x)＝ln x－1，

令f′(x)>0，ln x－1>0，∴x>e，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递增；

令f′(x)<0，ln x－1<0，∴0<x<e，∴f(x)在(0，e)上单调递减；

∴x＝e是函数f(x)的一个极小值点，∴a＝2满足题意．

(2)由(1)可知：f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∵x∈[1,3]，

∴f(x)在[1，e]上单调递减，在[e,3]上单调递增，

∴当x＝e时，f(x)取f(x)min＝f(e)＝－e＋2，

∵f(3)＝3ln 3－2(3－1)＝3ln 3－4，且3ln 3<4，∴f(3)＝3ln 3－4<0.

又∵f(x)max＝max{f(1)，f(3)}，f(1)＝0>f(3)＝3ln 3－4，∴f(x)max＝f(1)＝0.

综上：函数f(x)在区间[1,3]上的f(x)min＝－e＋2，f(x)max＝0.