山东省济南市市中区2021-2022学年七年级下学期期末考数学试卷（含详解）

这是一份山东省济南市市中区2021-2022学年七年级下学期期末考数学试卷（含详解），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
济南市市中区2021～2022学年八年级下学期期末考试
数学试题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．)
1. 地铁作为城市的重要骨干交通，具有节省土地、节约资源、减少污染、快捷安全舒适方便等特点，对提升城市综合承载力和品质，节约利用城市空间，缓解城市交通拥堵，方便群众出行具有重大意义．以下分别是太原、济南、青岛、郑州的地铁标志，其中的轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 下列事件是必然发生事件的是( )
A. 打开电视机，正在转播足球比赛
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C. 在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球
D. 抛一枚均匀的1元硬币两次，国徽面都向上
4. 下列计算正确的是（　　）
A a3•a4＝a12 B. （3x）3＝9x3 C. （b3）2＝b5 D. a10÷a2＝a8
5. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
6. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm
C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm
7. 如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）A. B. B
C. D.
8. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A. （a+b）（﹣a﹣b） B. （a+b）（a﹣b）
C （a+b）（a﹣d） D. （a+b）（2a﹣b）
9. 在测量一个小口圆柱形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，，则可判定的依据是（ ）
A B. C. D.
10. 如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC的垂直平分线交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 1211. 如图，Rt△BCE中，∠BCE＝90°，点C是线段BG上的一点,设BC=a，CG=CE=b，以BC、CE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1＋S2＝40，已知BG＝8，则阴影部分的面积为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
12. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，则DE＝4．其中正确的有( )个
A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②⑤ D. ①②③⑤
二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．)
13. (－ab4)3＝________；
14. 一个小球在光滑度相同的地板上（如图）自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是______．
15. 如图，已知∠ABE＝130°，∠C＝70°，则∠A=________；
16. 河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系：
行驶路程s（千米）
0
50
100
150
200
…
剩余油量Q（升）
40
35
30
25
20
…
则该汽车每行驶100千米的耗油量为 _____升．
17. 如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________；
18. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，点E为BA延长线上一点，连接DE，作DF⊥DE，与AC的延长线相较于点F，若S△AGE＝4，SDDGF＝20，则AB的长为________．
三、解答题(本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19. （1）计算：│－2│－(2－π)0＋()－1
（2）化筒：(x－1)(x＋2)－x(x－3)
20. 先化简，再求值：[(x－y)2＋x(2y－x)＋2y2]÷y，其中x＝，y＝1．
21. 如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF=CE，若AB∥CD，∠A=∠D．求证：AB=CD．
22. 在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）“随机摸出一个球是红球”的概率是多少？
（2）现从口袋中取走若干个红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
23. 完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数?
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
24. （1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
③求△ABC的面积．
（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
25. 如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的时间与路程图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）________先出发，提前________小时；
（2）A地与B地相距________千米；
（3）请求出甲、乙两人在途中的速度分别是多少；
（4）请直接写出在乙的行进过程中，当甲、乙两人相距15km时，自变量x的值是多少．
26. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．
（2）的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天星期二，经过8100天后是星期 ．
27. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点D是Rt△ABC直角边BC所在直线l上一点，连接AD，以AD为直角边向上作等腰△ADE，∠ADE＝90°，AD＝DE，过点E作EF⊥l，垂足为F．
（1）如图1，当点D在线段BC上，且CD＝2时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出DF＝________；EF＝________；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且CD＝2时：
①请你由观察、猜想直接写出EF＝________；
②请你规范、严谨证明：CD＝BF．
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，且BD＝2时，点P为线段AD上任意一点，以CP为斜边向上做等腰Rt△CPG，CG＝PG，∠CGP＝90°，连接AG，已知AD＝10，请你直接写出当AG长度最短时，线段AP的值为________．

济南市市中区2021～2022学年八年级下学期期末考试
数学试题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．)
1. 地铁作为城市的重要骨干交通，具有节省土地、节约资源、减少污染、快捷安全舒适方便等特点，对提升城市综合承载力和品质，节约利用城市空间，缓解城市交通拥堵，方便群众出行具有重大意义．以下分别是太原、济南、青岛、郑州的地铁标志，其中的轴对称图形是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义逐一判断即可．
【详解】解：选项A中的图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
选项B中的图形是轴对称图形，故B符合题意；
选项C中的图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
选项D中的图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握“轴对称图形的定义是识别图形”的关键．
2. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法表示方法表示即可；
【详解】解：科学记数法表示为：
0.00000000034=．
故选：D【点睛】本题主要考查科学记数法表示，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 下列事件是必然发生事件的是( )
A. 打开电视机，正在转播足球比赛
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C. 在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球
D. 抛一枚均匀的1元硬币两次，国徽面都向上
【答案】C
【解析】
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义逐一分析即可．
【详解】解：打开电视机，正在转播足球比赛是随机事件，故A不符合题意；
随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，故B不符合题意；
在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球是必然事件，故C符合题意；
抛一枚均匀的1元硬币两次，国徽面都向上是随机事件，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是必然事件的含义，解题的关键是理解必然事件是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
4. 下列计算正确是（　　）
A. a3•a4＝a12 B. （3x）3＝9x3 C. （b3）2＝b5 D. a10÷a2＝a8
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可．
【详解】解：A． a3•a4= a7≠a12，故错；
B． （3x）3= 27x3≠9x3，故错；
C．（b3）2= b3×2=b6≠b5，故错；
D． a10÷a2＝a10-2＝a8，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法是解题关键．
5. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【答案】C
【解析】
【分析】求出∠3即可解决问题；
【详解】解：如图，
∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
由平行可得∠2=∠3=55°，
故选C．
【点睛】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
6. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm
C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【详解】解：A．3+5＝8＞7，能组成三角形，符合题意；
B．3+3＜7，不能组成三角形，不符合题意；
C．4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
D．4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7. 如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）A. B. B
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，第1小时高度上升至1千米，1到1.5小时，高度不变，应为平行于t轴的线段，1.5小时之后1小时到达山顶，时间为2.5小时，高度为3千米．所以图象应是三条线段，结合图象选取即可．
【详解】解：根据题意，先用1小时爬了1千米，是经过（0，0）到（1，1）的线段，
休息0.5小时，高度不变，是平行于t轴的线段，
用1小时爬上山顶，是经过（1.5，1），（2.5，3）的线段．
故选：D．
8. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A. （a+b）（﹣a﹣b） B. （a+b）（a﹣b）
C. （a+b）（a﹣d） D. （a+b）（2a﹣b）
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（a+b）（a﹣d）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
D、（a+b）（2a﹣b）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
9. 在测量一个小口圆柱形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，，则可判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法：边角边判定．
详解】解：AD，BC相较于点O，对顶角相等，即∠AOB=∠DOC，
在△OAB和△ODC中：
两边及其夹角对应相等，
∴（SAS），
故选：A
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法边角边（SAS），有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；熟记判定方法是解题关键．
10. 如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC的垂直平分线交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD= BC+AB=10，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11. 如图，Rt△BCE中，∠BCE＝90°，点C是线段BG上的一点,设BC=a，CG=CE=b，以BC、CE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1＋S2＝40，已知BG＝8，则阴影部分的面积为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由BC=a，CG=b，建立关于a，b的关系为a+b=BG=8，a2+b2=40，从而可得阴影部分的面积．
【详解】解：由BC=a，CG=b，
则S1=a2，S2=b2，a+b=BG=8．
∴a2+b2=40．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab=64，
∴2ab=64-40=24，
∴ab=12，
∴阴影部分的面积等于ab=6．
故选：A．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
12. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，则DE＝4．其中正确的有( )个
A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②⑤ D. ①②③⑤
【答案】B
【解析】
【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，可得③错误、④正确，过E作EG⊥BC于G点， 证明Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， 可得BG=BF， 再证明Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， 可得AF=CG=2，从而可得答案．
【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC，∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴②正确；
③ ∠BCD=∠BDC，∠BAE=∠BEA，
∠BCD=∠BEA，
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，
∴EF≠EC， ∴③错误；
④由③知AD=AE=EC， ∴④正确；
过E作EG⊥BC于G点，
∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，
∴EF=EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中， ，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG=BF，
∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF=CG=2，
∴
，故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线的性质定理的应用，等腰三角形的判定与性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．)
13. (－ab4)3＝________；
【答案】
【解析】
【分析】依次按照积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上两种基础运算是解本题的关键．
14. 一个小球在光滑度相同的地板上（如图）自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】小球停留在黑砖上的概率等于黑砖的总面积除以图形的总面积，从而可得答案.
【详解】解：小球停留在黑砖上的概率
故答案为：
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率公式是解题的关键.
15. 如图，已知∠ABE＝130°，∠C＝70°，则∠A=________；
【答案】60°##60度【解析】【分析】直接利用三角形外角性质求解即可．
【详解】解：，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
16. 河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系：
行驶路程s（千米）
0
50
100
150
200
…
剩余油量Q（升）
40
35
30
25
20
…
则该汽车每行驶100千米的耗油量为 _____升．
【答案】10
【解析】
【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可．
【详解】解：根据表格中两个变量的变化关系可知，
行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升，
所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升，
故答案为：10．
【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提．
17. 如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________；
【答案】
【解析】
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出， ，推出，代入求出即可．
【详解】解：延长AP交BC于E，如下图．
∵BP平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
18. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，点E为BA延长线上一点，连接DE，作DF⊥DE，与AC的延长线相较于点F，若S△AGE＝4，SDDGF＝20，则AB的长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】如图，连接AD，证明 可得 可得再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，
∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，
（负根舍去），
故答案为：8
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键．
三、解答题(本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19. （1）计算：│－2│－(2－π)0＋()－1
（2）化筒：(x－1)(x＋2)－x(x－3)【答案】（1）4，（2）
【解析】
【分析】（1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并即可．
【详解】解：（1）│－2│－(2－π)0＋()－1
=4
（2）(x－1)(x＋2)－x(x－3)
【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整式的乘法运算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握以上基础运算是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：[(x－y)2＋x(2y－x)＋2y2]÷y，其中x＝，y＝1．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据整式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【详解】原式=（x2-2xy+y2+2xy-x2+2y2）÷y
=3y2÷y
=3y，
当x=、y=1时，
原式=3y=3×1=3．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
21. 如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF=CE，若AB∥CD，∠A=∠D．求证：AB=CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF即可．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
即CF=BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB=CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
22. 在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）“随机摸出一个球是红球”的概率是多少？
（2）现从口袋中取走若干个红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）用红球的个数除以总球的个数即可；
（2）设取走了x个红球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【小问1详解】
解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，共有10个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是；
【小问2详解】
设取走了x个红球，
根据题意得： ，
解得：x=5， 经检验符合题意，
答：取走了5个红球．
【点睛】本题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
23. 完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数?
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
【答案】；角平分线的性质；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；70°
【解析】
【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数．
【详解】解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ）又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=70°
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键．
24. （1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
③求△ABC的面积．
（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
【答案】（1）①画图见解析，②画图见解析，③；（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）①根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'； ②连接交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；③利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可；
（2）把向右边平移两个单位，再向下平移3个单位，得 再把沿直线DE对折得到，从而可得答案．
【详解】解：（1）①：如图，△A'B'C'即为所求；
②如图，点P即为所求；
③△ABC的面积=．
（2）如图，是所作的三角形，
【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，三角形的面积的计算，全等三角形的概念，利用平移与轴对称的性质作图是解本题的关键．
25. 如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的时间与路程图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）________先出发，提前________小时；
（2）A地与B地相距________千米；
（3）请求出甲、乙两人在途中的速度分别是多少；
（4）请直接写出在乙的行进过程中，当甲、乙两人相距15km时，自变量x的值是多少．【答案】（1）甲，3 （2）80
（3）甲的速度为10千米/小时，乙的速度为40千米/小时
（4）当甲、乙两人相距15km时，自变量x的值是1.5或3.5或4.5
【解析】
【分析】（1）直接观察图象即可得；
（2）直接观察图象即可得；
（3）根据图象，分别将甲和乙的路程除以它们各自的时间即可得出它们各自的速度；
（4）分为乙出发前，乙出发后且甲乙相遇之前和甲乙相遇之后共三种情况分别求解即可．
【小问1详解】
由图象可知，甲比乙先出发3小时，
故答案为：甲，3；
【小问2详解】
由图象可知，甲乙两地相距80千米；
【小问3详解】
甲的速度为（千米/小时），
乙的速度为（千米/小时）；
【小问4详解】
乙出发前，甲出发了15千米，则，
乙出发后且甲乙相遇前，根据题意可得，
解得，
甲乙相遇后，根据题意可得
解得：，且符合题意；
综上可得，当甲、乙两人相距15km时，自变量x的值是1.5或3.5或4.5．
【点睛】本题考查了从图象中读取信息，涉及到了函数的概念、一元一次方程的应用等知识，解题关键是会进行分类讨论．
26. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．
（2）的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三
【解析】
【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；
（2）直接根据得出的规律即可求解；
（3）利用规律计算原式即可得到结果；
（4）由8100，根据得出的规律即可求解．
【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，
∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为；
（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；
（4）8100
根据规律可知，除以7余数为1，
∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．
【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．
27. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点D是Rt△ABC直角边BC所在直线l上一点，连接AD，以AD为直角边向上作等腰△ADE，∠ADE＝90°，AD＝DE，过点E作EF⊥l，垂足为F．
（1）如图1，当点D在线段BC上，且CD＝2时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出DF＝________；EF＝________；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且CD＝2时：
①请你由观察、猜想直接写出EF＝________；
②请你规范、严谨的证明：CD＝BF．
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，且BD＝2时，点P为线段AD上任意一点，以CP为斜边向上做等腰Rt△CPG，CG＝PG，∠CGP＝90°，连接AG，已知AD＝10，请你直接写出当AG长度最短时，线段AP的值为________．
【答案】（1）DF=6，EF=2；
（2）①EF＝2，②证明见解析
（3）4.8
【解析】
【分析】（1）证明△ACD≌△DFE，得出DF=AC，EF=CD即可；
（2）同（1）证明△ACD≌△DFE，得出DF=AC，EF=CD即可；
（3）补全图形，作CR⊥AD，可求∠GRA=45°，RG∥AE，当AG⊥RG时，AG长度最短，设直线AG交CR于点S，证△AGP≌△RGC，得出CR=AP，利用等积法求出CR即可．
【小问1详解】
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴DF=AC=6，EF=CD=2．故答案为：6；2；
【小问2详解】
解：①∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴EF=CD=2，
故答案为：2；
②证明：∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴DF=AC，
∵BC=AC，
∴DF=BC，
∴CD＝BF．
【小问3详解】
解：补全图形，作CR⊥AD，取CP中点O，连接OG、OR、AG，
∵∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴∠EAD=45°，
∵∠CGP＝∠CRP＝90°，
∴OG＝OR＝OP＝OC，∠GOP＝90°，
∴∠OGR＝∠ORG，∠OPR＝∠ORP，
∴∠ORP+∠ORG=(360°-90°) ÷2=135°，
∴∠GRA=∠GRC=∠EAD=45°，∴RG∥AE，
当AG⊥RG时，AG长度最短，如图所示，
此时，∠AGR＝∠CGP＝90°，AG=GR，
∴∠AGP＝∠CGR，
∵∠GAR=∠CRG=45°，
∴△AGP≌△RGC，
∴AP=CR，
∵，AD=，
∴，
CR=4.8，
∴AP=4.8．
故答案：4.8
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，解题关键是恰当作辅助线，熟练运用全等三角形的判定证明三角形全等．