2021-2022学年广西钦州市钦北区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广西钦州市钦北区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 若式子有意义，则需满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 化简式子的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 若直角三角形的两条直角边长分别为、，则斜边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在下列命题中，正确的是(    )

A. 一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8. 已知四边形，有以下四个条件：
   ，；，；，；，．
   其中能判定四边形是平行四边形的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

11. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、且，则图中大正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的边长是(    )

1. 
   B.
   C.
   D. 无法确定

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
14. 在直角坐标系中，点到原点的距离是______．
15. 实数、在数轴上对应的位置如图，则______．
16. 如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，若，则菱形的周长为______．

17. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为，则点的坐标为______．

18. 如图，矩形中，，、交于点，若，则______．

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 计算：的值．
20. 已知，求代数式：的值．
21. 有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．

22. 已知：如图，在▱中，点在上，点在上，且求证：．

23. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______ ．

24. 已知：如图，在矩形中，，将沿对角线翻折得到，交于点．
    判断的形状，并证明；
    直接写出线段的长．

25. 在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，，求证：平分．

26. 阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图，在中，，分别交、于、，且，，，试求的值．
    小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理得到▱，再计算就能够使问题得到解决如图请你帮小明回答：的值为______，并写出推理和计算过程．
    参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
    如图，已知▱和矩形，与交于点，，求的度数．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：式子有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、，三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、，三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、，三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故D错误；
故选：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理，斜边，
设斜边上的高为，
则，
整理得，
解得．
故选：．
先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．
本题考查了勾股定理以及三角形的面积的利用，根据三角形的面积列式求出斜边上的高是常用的方法之一，需熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．
故选：．
本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定．
根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【解答】
解：根据平行四边形的判定定理知，，不符合是平行四边形的条件；
满足四边形是平行四边形．  

9.【答案】 

【解析】解：，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
故选：．
根据正方形的判定方法即可判定；
本题考查正方形的判定，解题的关键是记住正方形的判定方法：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
 

10.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不合题意；
B、，，
四边形不一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不合题意；
故选：．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和，之间的关系．根据的值求得直角三角形的面积，进而得出大正方形的面积．
【解答】
解：，
直角三角形的面积是，
小正方形的面积是，
大正方形的面积，
大正方形的边长为，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么根据勾股定理分别求出、的面积，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：正方形、、、的面积分别是、、、，
由勾股定理得，正方形的面积为：，
正方形的面积为：，
正方形的面积为：，
最大正方形的边长是；
故选：．  

13.【答案】相等的角为对顶角 

【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作轴，连接，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
则点在原点的距离为．
故答案为：．
在平面直角坐标系中找出点，过作垂直于轴，连接，由的坐标得出及的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即为到原点的距离．
此题考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键；同时也可直接应用两点间的距离公式进行求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：由数轴可知：，
，，
原式

，
故答案为：．
先根据数轴判断、与的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，且点为线段的中点，
．
．
故答案为：．
由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图作轴于，轴于．

四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
点坐标，
故答案为．
如图作轴于，轴于，先证明≌，推出，，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：矩形中，，，
，
在中，，
；
故答案为：．
根据矩形的对角线互相平分可得，然后利用勾股定理求出，由矩形面积公式即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先算除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，






． 

【解析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键．根据完全平方式的特点把化成的形式，再代入的值运用平方差公式计算，即可得出结果．
 

21.【答案】解：连接，
在中，为斜边，
已知，，
则，
，
为直角三角形，
，
答：该四边形面积为． 

【解析】在直角中，已知，，根据勾股定理可以求得，根据，，的关系可以判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算公式即可计算四边形的面积．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定为直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】只要证明四边形是平行四边形即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：根据矩形的性质得≌，
属于图中阴影部分的面积就是的面积．
．
故答案为：．
根据矩形是中心对称图形寻找思路：≌，图中阴影部分的面积就是的面积．
本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
 

24.【答案】解：为等腰三角形，证明如下：
矩形，
．
．
又沿对角线翻折得到，
．
．
．
为等腰三角形．
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
． 

【解析】根据矩形的性质和翻折的性质可得结论；
设，则，，根据勾股定理列方程可得结论．
本题主要考查了几何变换中的翻折变换、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是关键．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分． 

【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故答案为：；

解决问题：连接，，如图．
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，．
．
四边形是平行四边形．
．
，
．
是等边三角形．
．
，
．
由，，可证得四边形是平行四边形，即可得，，即可得，然后利用勾股定理，求得的值；
首先连接，，由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．