初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理优秀复习练习题

第一单元

第1课探索勾股定理

一、基础巩固

1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 (　 　)

A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.25

【答案】A　

【解析】如图,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理,得AB²=AC²+BC² =4²+3²=5²,所以AB=5.故选A.

2.易错题 下列说法中正确的是 (　  　)

A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2       B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方

C.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则BC2+AC2=AB2     D.在Rt△ABC中,若∠B=90°,则BC2+AC2=AB2

【答案】C

3.如图是一张直角三角形纸片,∠C=90°,直角边AC=6 cm,BC=8 cm.现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为 (　 　)

A.4 cm        B.5 cm   C.6 cm           D.10 cm

【答案】B

4.易错题  在△ABC中,∠B=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.

(1)如果a=5,c=12,那么b=_______; 

(2)如果b=61,a=60,那么c=_______. 

【答案】(1)13;(2)11　

【解析】(1)在△ABC中,∠B=90°,a=5,c=12,所以b2=a²+c²=5²+12²=13²,所以b=13.(2)在△ABC中,∠B=90°,b=61,a=60,所以c²=b²-a²=61²-60²=11²,所以c=11.

5.如图,25,169分别是相应正方形的面积,则字母B所代表的正方形的面积是 (　 　)

A.12        B.13                  C.144            D.194

【答案】C　

【解析】由题图可知,在直角三角形中,斜边的平方为169,一直角边的平方为25,根据勾股定理,知另一直角边的平方为169-25=144,所以字母B所代表的正方形的面积是144.故选C.

6.易错题 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是 (　  　)　　　　 　　　　　　　　　　

A.25         B.14                  C.7           D.7或25

【答案】D　

【解析】由于给出的直角三角形的两边长分别为3和4,没有指明是直角边,因此分两种情况求解.(1)当第三边为斜边时,3²+4²=25;(2)当4为斜边长时,4²-3²=7.综上,第三边长的平方是7或25.故选D.

7.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,AD 平分∠BAC,则AD 的长为 (　  　)

A.6        B.7                C.8            D.9

【答案】C

8.如图所示的图形是由直角三角形和正方形组成的,其中正方形A的面积为40,四个正方形中的8,x,10,y分别表示该正方形的面积,则x+y=______. 

【答案】22　

【解析】根据题意,得x+8+(10+y)=S正方形A=40,所以x+y=40-18=22.

9.易错题 在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则BC的长为______. 

【答案】14或4　

【解析】①当高AD在△ABC内部时,如图1,根据勾股定理,得BD²=15²-12²=81,CD²=13²-12²=25,所以BD=9,CD=5,所以BC=BD+CD=9+5=14;②当高AD在△ABC外部时,如图2,由①得BD=9,CD=5,所以BC=BD-CD=9-5=4.综合①②,得BC的长为14或4.

10.如图,韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30°的方向行走了4 000 m到达超市(记作B),然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3 000 m到达卢飞同学家(记作C),则韩彬家到卢飞家的距离为 (　  　)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

A.2 000 m B.3 000 m C.4 000 m D.5 000 m

【答案】D　

【解析】如图,连接AC.依题意,得∠ABC=90°,AB=4 000 m,BC=3 000 m,则由勾股定理,得AC²=AB²+BC²=

4 000²+3 000²=5 000²,所以AC=5 000 m.故选D.

二、拓展提升

1.如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1 m,将它往前推送6 m(水平距离BC=6 m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=4 m,秋千的绳索始终拉得很直,则绳索AD的长度为_____m. 

【答案】7.5　

【解析】设秋千的绳索长度为x m,则AB=AD=x m,AC=(x-3)m.在Rt△ACB中,根据勾股定理,得AC²+BC²=AB²,即(x-3)²+6²=x²,解得x=7.5.所以绳索AD的长度是7.5 m.

2.如图,一辆小汽车在一条限速为70 km/h的公路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30 m的B处,过了2 s后,测得小汽车(位于C处)与车速检测仪A的距离为50 m,这辆小汽车超速了吗?

【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC²=AC²-AB²=50²-30²=40²,

所以BC=40 m,

v=40÷2=20(m/s).

因为20 m/s=72 km/h,72>70,

所以这辆小汽车超速了.

3.如图,有一只喜鹊在一棵3 m高的小树顶觅食,它的巢筑在距离该树24 m远的一棵大树上,大树高14 m,且巢离树顶部1 m,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5 m/s,那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?

【解析】　如图,过点A作AE⊥CD于点E.

由题意知AB=3 m,CD=14-1=13(m),BD=24 m,

则CE=13-3=10(m),AE=24 m.

在Rt△AEC中,AC²=CE²+AE²=10²+24²,

故AC=26 m,则26÷5=5.2(s).

答:它至少需要5.2 s才能赶回巢中.

4.铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距25 km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,如图所示,已知AD=15 km,CB=10 km.现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的距离相等,则收购站E应建在距A站____km处. 

【答案】10　

【解析】因为C,D两村庄到收购站E的距离相等,所以CE=DE.在Rt△DAE和Rt△CBE中,DE²=AD²+AE²,

CE²=BE²+BC²,所以AD²+AE²=BE²+BC².设 AE=x km,则BE=(25-x)km.将BC=10 km,AD=15 km代入关系式中,

得152+x²=(25-x)²+102,整理得50x=500,解得x=10,所以收购站E应建在距A站10 km处.

5.如图,教学楼走廊左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙底部的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,求教学楼走廊的宽度.

【解析】　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,

所以AB²=0.72+2.42=6.25.

在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2米,BD²+A'D²=A'B²,

所以BD²+2²=6.25,所以BD²=2.25,

因为BD>0,所以BD=1.5米,

所以CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).

答:教学楼走廊的宽度是2.2米.