2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和差正弦公式化简求得结果.

【详解】.

故选：.

【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求值的问题，属于基础题.

2．在△ABC中,已知，则角A=（ ）

A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°

【答案】D

【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.

【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.

故选:D.

【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.

3．函数是

A．周期为的偶函数 B．周期为2的偶函数

C．周期为的奇函数 D．周期为2的奇函数

【答案】D

【详解】试题分析：利用余弦和差角公式,化简函数式有,

所以周期为.又因为.

【解析】余弦和差角公式;周期公式.

4．在等差数列中，若，则（       ）

A．6 B．10 C．7 D．5

【答案】B

【分析】由等差数列的性质可得：，代入可得，而要求的值为，代入可得．

【详解】由等差数列的性质可得：

所以，即，，

故，

故选：B．

5．若，为方程的两根，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据韦达定理可得，再利用两角和的正切公式求解.

【详解】由题意，根据韦达定理可得，所以得.

故选：A

6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（       ）

A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺

【答案】C

【分析】设冬至日影长，公差为，结合等差数列通项及前n项和公式，结合题设列方程组求、，进而求小满日影长.

【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，

∴，解得，，

∴小满日影长为（尺）.

故选：C.

7．已知，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

故选C.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

8．在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合余弦定理和三角形面积公式即可求角C.

【详解】由题可知，，

由余弦定理可知，

，，

∵，﹒

故选：B﹒

9．已知数列中，，且，则　　

A．3 B． C．6 D．

【答案】C

【分析】计算数列的前几项，可得数列的最小正周期为6，计算可得所求值．

【详解】数列中，，且，

可得，

，

，

，

，

，

可得数列的最小正周期为6，

则．

故选C．

【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求值，注意运用归纳法，考查运算能力，属于基础题．

10．若，且，那么是（       ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】首先利用余弦定理求出，再由利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得，即可判断三角形的形状；

【详解】解：，

，

，

，

，

根据余弦定理有，

，

，

，

，

又由，

则，即，

化简可得，，

即，

是等边三角形

故选：．

11．若，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析角之间的关系，利用倍角公式可求.

【详解】因为，,所以；

，故选A.

【点睛】本题主要考查利用倍角公式的求值问题，给值求值问题，一般是先找已知角和所求角之间的关系，再结合相关公式进行求解.

12．若锐角中，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得，再由锐角可得的范围，由正弦定理可得，．从而可求．

【详解】解：因为锐角中，若，，所以

由正弦定理可得，

，

，

，即．

故选：．

二、填空题

13．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________．

【答案】

【分析】设三数依次为，为公差，由已知列方程求即可.

【详解】由等差数列，设三数依次为，为公差．

由题意得：，解得．

故答案为：

14．若的三个内角A,B,C 满足=3:5:7,则此三角形内角的最大值为____________.

【答案】

【详解】试题分析：解：由正弦定理：

所以

所以=

又因为，所以

所以答案应填

【解析】1、正弦定理；2、余弦定理.

15．一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______.

【答案】.

【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解.

【详解】解：由题意画出示意图，如图：

可得，，，

则，

在中，由正弦定理得，即，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.

16．计算______

【答案】

【分析】由二倍角的正弦公式可得：原式，由两角和差的正弦公式可得，再化简求值即可.

【详解】解：，

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.

三、解答题

17．已知数列是等差数列，其前项和为，且，

（1）求数列的通项；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用和表示出和，解方程组求得和；利用等差数列通项公式得到结果；（2）根据等差数列前项和公式构造关于的方程，解方程求得结果.

【详解】（１）设数列的公差为

由得：

（2）由等差数列前项和公式可得：

解得：

【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、等差数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.

18．已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为，若有成立.

（1）求A的大小；

（2）若，，求三角形ABC的面积.

【答案】（1）； （2）.

【分析】(1)先对已知利用正弦定理化简即得.(2)先利用余弦定理求，再求三角形ABC的面积.

【详解】（1）∵，由正弦定理可知 ①，

而在三角形中有：②，

由①、②可化简得：，在三角形中，故得，

又，所以.

（2）由余弦定理，得，

即：，∴.

故得：.

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

19．已知，其中．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）；

【解析】由已知函数值以及角的范围得，，且，，结合两角和差公式即可求值.

【详解】（1）知：，

∵，则，

∴，而，

∴，

（2）由，

∴，

由知：，

∴由题意，得，结合（1）有，

∴.

【点睛】关键点点睛：根据已知确定，范围，并确定，与已知角的关系，进而求函数值.

20．如图，在中，点在边上，，，.

（1）求边的长；

（2）若的面积是，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）在中，利用余弦定理以及题中条件可解得，可得是等边三角形，进而得到边的长；

（2）由已知可求得，利用三角形面积公式可求得，再在中，由余弦定理求出，最后由正弦定理可求的值.

【详解】（1）在中，因为，，，

由余弦定理得，即，

解得，而，，

可知是等边三角形，因而.

（2）由是等边三角形，知，则.

而的面积，得.

在中，由余弦定理，，

得.

在中，由正弦定理：，

可得.

21．已知函数 ．

（1）求的周期和单调递增区间；

（2）若时，的最大值为4，求的值，并指出这时的值．

【答案】（1），；（2）a=，.

【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简后再利用公式求周期，最后利用同增异减的方法求单调增区间.

（2）先求出，再根据正弦函数的性质求函数的最大值即可得到的值及何时取最大值.

【详解】（1）因为，

所以.

故的周期为 .

要求的单调递增区间，只需，

解得：，所以函数的单调增区间为：

.

（2）因为，故，故，

所以，故，所以，

此时即.

22．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求B；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先根据正弦定理边化角公式得到，再利用三角恒等变换即可得到答案.

（2）首先利用正弦定理得到，，将转化为，利用三角恒等变换得到，再求其取值范围即可.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，所以，

由，.

（2）由题意可得：，可得，.

所以，

因为，

所以，故.

【点睛】本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题，属于中档题.