湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022届高三下学期五月模拟数学试题

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022届高三下学期五月模拟数学试题，共22页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z的共轭复数为，且，则在复平面内复数z的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．5C．9D．10
4．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．将甲，乙，丙3名医生派到两个社区指导疫情防控，要求每个社区至少派一人，则甲被派到社区的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．
7．设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为B．椭圆C的方程为
C．D．的周长为
10．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有15人吸烟B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
11．已知正实数a，b，c满足，则一定有（ ）
A．B．C．D．
12．已知四面体中，，，，直线AB与CD所成角为，则下列说法正确的是（ ）
A．AD的取值可能为B．AD与BC所成角余弦值一定为
C．四面体ABCD体积一定为D．四面体ABCD的外接球的半径可能为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
13．在等差数列中，已知，则___________.
14．在的展开式中，的系数是______．（用数字作答）
15．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则______．
16．已知函数，若函数有5个零点，则实数k的取值范围为______．
17．在△ABC中，已知．
(1)求A；
(2)若，求．
18．如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
19．已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
20．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差．
参考数据：；若随机变量，则，，．
21．已知双曲线的离心率为，记双曲线C与圆的交点为，，，（逆时针排列），且矩形的面积为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，直线交双曲线C的左支于A、B两点，若△PAB的外接圆过坐标原点O，求m的值．
22．已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
题号
一
二
三
四
总分
得分
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
消费金额（千元）
人数
30
50
60
20
30
10
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据解一元二次不等式的方法、对数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
设，其中a，，根据已知求出，，即得解.
【详解】
解：设，其中a，，
则，则，，
此时z在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D．
3．A
【解析】
【分析】
由题意可知，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：A．
4．B
【解析】
【分析】
先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积
【详解】
设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为
又圆锥的底面半径为1，则侧面展开图的弧长为，
又侧面展开图是半圆，则，则
所以该圆锥的侧面积为
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
由题知总的派遣方案有种，其中甲被派到社区的方案有3种，进而根据古典概型求解即可.
【详解】
解：将甲，乙，丙3名医生派到两个社区指导疫情防控，要求每个社区至少派一人共有种不同的方案；
其中甲被派到社区可以是一个人被派去，也可以是和另外一个一起派去，故有种不同方案，
所以甲被派到社区的概率为.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
由抛物线定义可知，结合可得△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点A，由可得，利用，可得答案.
【详解】
由抛物线定义可知，∴，△PQF为正三角形，
设准线l与x轴交于点A，由抛物线可知：，
∵，∴，∴，∴.
故选：B．
7．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理和正弦定理，以及倍角公式，直接计算即可求解
【详解】
因为，所以，即，所以，所以或.若则.这与题设不合，故，又，所以，即.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可.
【详解】
∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
9．AC
【解析】
【分析】
解方程组求出即可选项AB的真假，再利用通径公式判断选项C的真假，再利用椭圆的定义判断选项D的真假.
【详解】
解：由题意得：，所以，因为，故，因为焦点，在y轴上，所以椭圆C的方程为，所以选项A正确，选项B错误；
由通径长可得，，所以选项C正确；
的周长为，所以选项D错误.
故选：AC．
10．BC
【解析】
【分析】
先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解.
【详解】
随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，
回答问题2且回答的“是”的人数为，
从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，
估计被调查者中吸烟的人数为.
故选：BC．
11．AB
【解析】
【分析】
根据，可得，进而判断出，A正确；
构造，得到单调性，从而求出，B正确；CD选项可以举出反例.
【详解】
由正实数a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等价于，
构造函数，
，
当时，
故在上递增，从而．
又取时，原式为同样成立，
故CD不正确，
故选：AB
【点睛】
对于指数，对数比较大小问题，属于高频考点，难点在于部分题目需要构造函数进行比较，本题中要结合不等式的特点构造，利用导函数求出其单调性，根据函数单调性比较大小
12．ACD
【解析】
【分析】
可将四面体ABCD的四个顶点放入如下图所示的直三棱柱中，考虑到直线AB与CD所成角为，故有两种情况，通过计算可以判断选项ABC的真假，再求四面体ABCD的外接球半径判断选项D的真假.
【详解】
由题可知，，，则可将四面体ABCD的四个顶点放入如下图所示的直三棱柱中，考虑到直线AB与CD所成角为，故有如下两种情况：
对于左图，，则，；此时AD与BC所成角余弦值为；所以选项A正确；
因为，
所以；
分别取三棱柱上下底面三角形的外心G，H，连接GH，则线段GH的中点O即为三棱柱外接球球心，也即为四面体ABCD的外接球心，
故四面体ABCD的外接球半径．
对于右图，，则，；
此时AD与BC所成角余弦值为，所以选项B错误；
因为，
所以，所以选项C正确；
同上可得四面体ABCD的外接球半径．
所以选项D正确.
故选：ACD．
13．
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式可化简得到，根据等差数列的性质即可求得答案.
【详解】
由题意在等差数列中，设公差为d,
则
所以，于是，
故答案为：10
14．
【解析】
【分析】
用乘以展开式的项再加上乘以展开式的项，最后合并同类项即可求解
【详解】
展开式的第项
展开式中项的系数为：．
故答案为：
15．4
【解析】
【分析】
利用数量积的几何意义求解.
【详解】
解：如图所示：
设，由题可得，
所以，
解得．
过F作BC的垂线，垂足设为Q，
故，
故答案为：4．
16．
【解析】
【分析】
先分析函数的奇偶性，再转化为有两个不同的正实数解，令，求出函数的最小值即得解.
【详解】
解：因为，所以，
所以函数为偶函数，又，
所以在上有两个零点，
即有两个不同的正实数解，即，
令，则，
；.
故在上递减，上递增，
故．画出图像如图所示
从而.
故答案为：．
17．(1)
(2)7
【解析】
【分析】
（1）由两角和的正弦公式变形已知后，利用平方关系、商数关系可求得，从而得角大小；
（2）由利用正弦、余弦的二倍角公式及商数关系求得，由二倍角公式得，然后由诱导公式、两角和的正切公式计算可得．
(1)
在△ABC中，因为，所以，
所以．
∴．
∵，∴，故，即，所以．
(2)
在△ABC中，∵，，∴，，，
∴，
在△ABC中，∵，∴，
∴，
即．
18．(1)证明过程见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
(1)
因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
(2)
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.
【点睛】
19．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用即项与和的关系方法求得，再利用求得；
（2）再由定义求得，并利用作差法得出是递减的，从而易得最大值．
(1)
∵①，∴②，
由①②可得，由①也满足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
(2)
由（1）可知，则，
记，
∴，
∴，
∴，即单调递减，
∴的最大值为．
20．(1)分布列见解析，
(2)①0.8；②
【解析】
【分析】
（1）由已知频数统计表，得出频率，从而可得抽取的5人在两个区间的人数，得出的可能值为，计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望；
（2）①由频数分布表得各概率，计算出平均值和标准差，再由正态分布的概率性质求得概率发；②由二项分布的方差公式计算方差．
(1)
由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
；
(2)
①由题意得，
，
所以，
所以．
②由题意及①得，，，所以．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由离心率得，化简双曲线方程后与圆方程联立，求出，从而可求得矩形面积，由面积得出值得双曲线方程；
（2）设，，双曲线方程与直线方程联立方程组，消元后由得的范围，由韦达定理得，得中点坐标，写出线段的中垂线方程，再写出线段中垂线方程，联立求得圆心坐标，然后由圆心到圆上点的距离相等求出值．
(1)
∵，∴，∴双曲线，由得，，∴，∴，解得，
∴双曲线C的标准方程为．
(2)
由得，
则，解得或，
设，，，，∴，，
设线段AB的中点为M，则，，即，
从而AB的中垂线为，又OP的中垂线为，
联立、得圆心，
从而，
∴，
即，∵，∴．
22．(1)极大值为，无极小值
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值；
（2）由和可得，由已知条件所给的不等式即可证得①；
由①可得，则，令，构造函数，利用二次求导根据单调性即可证得②.
(1)
函数的定义域为，
，
则当时，；时，．
即在上递增，上递减，
故的极大值为，无极小值．
(2)
结合（1）由，；，，可得，
①由题意可得，从而，
即，
结合参考的公式可得：，
故，
且，即，从而有．
②由①可得，令，则，
所以，
则，
则，∴递减，
又∵，∴，
故递增，∴，
即，
即．
X
1
2
3
P