天津市南开中学2022届高三下学期居家5月模拟数学试题-

这是一份天津市南开中学2022届高三下学期居家5月模拟数学试题-，共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，函数的图象大致为，已知，则.，设，则的大小关系为.等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前天津市南开中学2022届高三下学期居家5月模拟数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．设全集，集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”（       ）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要3．函数的图象大致为(       )A． B．C． D．4．为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核酸检测.现面向全区招募1000名志愿者，按年龄分成5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为（       ） A．6 B．9 C．12 D．185．已知，则（       ）.A． B． C． D．6．设，则的大小关系为（       ）.A． B． C． D．7．已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(       )A．  B．  C．  D．38．已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，点是抛物线和双曲线的一个公共点，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．9．已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是(       )A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  二、填空题10．是虚数单位，复数__________．11．的展开式中的项系数为___________；12．已知，当时，的取值范围是__________．13．已知圆和圆交于两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则__________．评卷人得分  三、双空题14．某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为__________；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量，则的均值为__________．15．在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________．评卷人得分  四、解答题16．在中，点是边上一点，.(1)求边的长；(2)求的值；(3)求的值.17．如图，在直三棱柱中，，点为线段的中点，点为线段的中点．(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离﹒18．已知椭圆的离心率为，斜率为且过点的直线与轴交于点(1)证明：直线与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为，过点且与垂直的直线交轴于点，记的面积为的面积为，若，求椭圆的离心率19．已知是公差为3的等差数列，是公比为2的等比数列，且.(1)求和的通项公式(2)若数列满足对于任意的，且.①求的通项公式；②数列满足，求.20．已知函数，记的导函数为(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的极值点，其中①求的取值范围；②证明：.
参考答案：1．A【解析】【分析】按照交集，并集和补集运算法则进行计算.【详解】，，，，所以故选：A2．B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由，或，显然“”是“”的必要不充分条件，故选：B3．A【解析】【分析】根据对勾函数和指数函数单调性，结合复合函数单调性可判断原函数的单调性，再根据x=-1和x=1处函数值比较即可得到答案．【详解】x≠0时，，①x>0时，g(x)=，当0<x<1时，g(x)单调递减，y=单调递增；当x>1时，g(x)单调递增，y=递减；又∵f(t)=在t≥2时单调递增，故根据复合函数单调性可知，当0<x<1时，单调递增，当x>1时，单调递减；②x<0时，g(x)=，且当-1<x<0时，g(x)单调递减，y=单调递增；当x<-1时，g(x)单调递增，y=递减；又∵f(t)=在t≤-2时单调递增，故根据复合函数单调性可知，当-1<x<0时，单调递增，当x<-1时，单调递减；综上所述，在上单调递减，在和上单调递增，在单调递增，单调性符合的图象有AB，当x=-1时，，当x=1时，，∵≠，故图象A符合，B不符合．故选：A．4．D【解析】【分析】由题可得前三组志愿者的人数之比为，进而即得.【详解】由直方图可知前三组志愿者的人数之比为，所以从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为：.故选：D.5．C【解析】【分析】根据条件概率公式进行求解即可.【详解】因为，所以,故选：C6．D【解析】【分析】根据对数函数的单调性、结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，即，故选：D7．A【解析】【分析】作出图象，根据几何关系用圆柱底面半径表示出其侧面积，根据二次函数性质即可求其最大值．【详解】如图，，，，则，设，，则，，则，∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．8．C【解析】【分析】根据题意求得，得到，求得直线的方程为，联立方程组解得，得到，代入双曲线方程化简得的，结合和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点是双曲线的右顶点，可得，即，即，且抛物线的焦点为，因为直线的斜率为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得，解得或，因为点是抛物线和双曲线的一个公共点，则，所以，将代入直线，即，将点代入双曲线，可得，又由，所以，即，所以双曲线的离心率为.故选：C.9．A【解析】【分析】令g(x)=0得，作出h(x)图象，数形结合判断y=h(x)与y=a图象有两个交点时a的范围即可．【详解】，令，则，作出h(x)的图象：如图y=h(x)与y=a的图象有两个交点时，，故选：A．10．【解析】【分析】根据复数的除法运算法则进行求解即可.【详解】，故答案为：11．【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于1，求出的值，即可求得展开式中的系数．【详解】解：，令，则，所以.故答案为：.12．【解析】【分析】根据余弦、正弦的二倍角公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】，当时，，所以，即，故答案为：13．4【解析】【分析】由题可得，利用点到直线的距离公式可得，然后利用弦长公式即得.【详解】由圆，可知圆心，半径为2，圆，可知圆心，半径为，又，，所以可得直线，设，直线与圆相切，则。解得，或，当时，，∴，当时，，，故不合题意.故答案为：4.14．     ；     .【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合均值的运算公式进行求解即可.【详解】从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为：；由题意可知：，因为，，，，所以，故答案为：；.15．     ##120°##     ##0.5【解析】【分析】用和表示，根据即可求出；设，根据用λ表示，根据二次函数性质即可求出最小时λ的值，从而求出．【详解】，；设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°，则，∴当时，取最小值，则．故答案为：120°；．16．(1)；(2)；(3)．【解析】【分析】(1)在中，由余弦定理即可求出AD；(2)在中，由正弦定理即可求sinC；(3)根据sinC求出cosC，根据正弦的差角公式和正余弦的二倍角公式即可计算．(1)在中，由余弦定理，得到，故；(2)在中，由正弦定理，得到；(3)在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴．17．(1)证明见解析；(2)；(3)．【解析】【分析】(1)以点A为坐标原点，以的方向分别为轴､轴､轴的方向建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的一个法向量，证明与该法向量垂直即可；(2)分别求平面与平面的法向量，利用向量方法即可求夹角；(3)求出平面的一个法向量，利用向量在该法向量上投影即可计算．(1)以点A为坐标原点，以的方向分别为轴､轴､轴的方向建立空间直角坐标系，则，∴．易知为平面的一个法向量．∵，∴，又∵平面，∴∥平面．(2)，，，设为平面的一个法向量，则，即取，则．设为平面的一个法向量，则，即取，则．∵，∴平面与平面夹角的余弦值为．(3)∵，为平面的一个法向量，∴点到平面的距离为．18．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可.(1)由已知，．令与椭圆方程联立，经过整理，得到，所以，所以直线与椭圆相切．(2)由（1），有，所以，所以，所以．因为，所以，所以．令，得到，所以．因为，所以，所以，所以，所以，所以．【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键.19．(1)，；(2)① ；②【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，通过解方程组进行求解即可；（2）根据的奇偶性，结合错位相减法、等比数列和等差数列的前项和公式分类讨论进行求解即可.(1)由已知，，所以所以所以，所以的通项公式分别为，；(2)①因为，所以，所以．②当为奇数时，．设①，则②，①-②，得所以．设，则．因此，．当为偶数时，，则综上.【点睛】关键点睛：利用错位相减法是解题的关键.20．(1)答案不唯一，具体见解析(2)① ；②证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，运用导函数，分，两种情况讨论导函数的符号得出函数的单调性；（2）①由（1）知时，在单调递增，不合题意．下面研究的情况．由（1）得， ．再由可求得的取值范围．②由①可知，由此可得．只需证明又，由此可得． 令，有．令运用导函数研究函数的单调性，可得证.(1)解：由已知可得，故可得．当时，，故在单调递增；当时，由，解得，或，记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值 所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．(2)①解：由已知，函数有三个零点，且．由（1）知时，在单调递增，不合题意．下面研究的情况．由于，故，因此，又因为在单调递减，且，所以．又因为，由于，且，故因此，在恰有一个零点（即在恰有一个零点），在恰有一个零点（即），在恰有一个零点（即在恰有一个零点）．所以，的取值范围是．②证明：由（i）可知，且在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增．由此可得．故只需证明因为，故，由此可得．由（其中），可得，整理得，故，整理得．因此，令，可知，则．令则．令，则，由此可得在单调递减，故，可得在单调递增，故，所以，因此．