2021-2022学年江苏省苏州市太仓市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市太仓市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四个“中国结”的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若反比例函数的图象过点，则这个反比例函数的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 利用配方法解方程时，方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 菱形具有而矩形不一定有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等 C. 对角相等 D. 对边平行

8. 某电影上映第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到亿元．若增长率为，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 关于的方程为常数根的情况，下列结论中正确的是(    )

A. 有两个相异正根 B. 有两个相异负根
C. 有一个正根和一个负根 D. 无实数根

二、填空题（本大题共9小题，共27分）

11. 计算：______．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是          ．
13. 在平行四边形中，，则______．
14. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______ ．
15. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长是______ ．

16. 反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则______．
17. 分式的值是整数，则正整数的值等于______．
18. 如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且则长度的最小值等于______．

19. 为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

本次抽样调查的样本容量是________；

补全条形统计图；

该市共有名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过册的人数．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

20. 计算：
    ；
    ．
21. 解方程：
    ；
    ．
22. 解分式方程：
    ；
    ．
23. 先化简，再求值：，其中．
24. 如图，四边形中，，点，对角线上，且连接，，若．
    证明：四边形是平行四边形．

25. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
    【回顾旧知，类比求解】
    解方程：．
    解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______，解这个方程，得______．
    经检验，______是原方程的解．
    【学会转化，解决问题】
    运用上面的方法解下列方程：
    ；
    ．
26. 如图，直线与反比例函数交于点，，点的坐标为，．
    求反比例函数的解析式；
    直接写出不等式的解集为______；直接写出结果，无需解答过程
    过点作轴的垂线，垂足为，求的面积．

27. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，交于点，．
    求证：∽；
    求证：；
    的值等于______直接写出结果，无需解答过程

28. 如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．
    当时，求的度数；
    判断的形状，并说明理由；
    当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：左起第一、三、四共个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：．
根据各个选项中的图形，可以写出是否为中心对称图形或轴对称图形，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查中心对称图形、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，写出各个图形是否为中心对称图形或轴对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．
 

3.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是分式方程，故本选项不符合题意；
D.是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数解析式为．
故选：．
把代入中求出的值，从而得到反比例函数解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；把已知条件自变量与函数的对应值代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程，
配方得：，即．
故选：．
方程两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
先把要求的式化成，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成，较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以选项不符合题意；
B.因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不行等，所以选项符合题意；
C.因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以选项不符合题意；
D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．
故选：．
根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．
本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设增长率为，
依题意，得：．
故选：．
设增长率为，根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
，
，
，
则，
，
．
故选：．
由题意不难证得∽，再由，可得，则有，则，再利用，从而可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程化为一般式为，
，
方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为，，
根据根与系数的关系得，，
方程有一个正根和一个负根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为，，利用根与系数的关系得，，根据有理数的性质得到、的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
根据平方的意义或者二次根式的乘法计算即可．
主要考查了二次根式的性质：．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
又，
．
故答案是：．
根据平行四边形的对角相等，可得，又由，可得．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等．此题比较简单，解题时要细心．
 

14.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的一个根，
，
解得．
故答案为：．
把代入关于的方程，得到关于的新方程，通过解新方程来求的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，
，分别是，的中点，
，
故答案为．
连接，由矩形的性质可得，由三角形的中位线定理可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
在每一象限内，反比例函数随的增大而增大．
当时，函数的最大值和最小值之差为，
，解得，
综上所述，．
故答案为：．
根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
 

17.【答案】，， 

【解析】解：要使分式的值是整数，
当时，，
当时，，
当时，，
所以正整数的值等于，，．
故答案为：，，．
根据题意分情况讨论，正整数，即，，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式的值计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
当最小时，也最小，
当时，最小，
此时，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，先证≌，得，，再证是等边三角形，得，当最小时，也最小，然后求出的最小值，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：；
阅读册的人数是人，
阅读册的人数是人，
条形统计图如下：
；
人，
答：估计该市初中学生这学期课外阅读超过册的人数是人． 

【解析】

【分析】
根据册的人数除以占的百分比即可得到总人数；
求出册的人数是人，册的人数是人，再画出即可；
先列出算式，再求出即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键．
【解答】
解：册，
即本次抽样调查的样本容量是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：

；





． 

【解析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减进行计算即可；
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行化简，最后根据二次根式的加减法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：移项得：．
．
，；
去括号并移项得：，
．
． 

【解析】利用因式分解法解方程；
先将已知方程转化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

22.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
原方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是原方程的增根，原方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

23.【答案】解：原式


当时，

 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：回顾旧知，类比求解
，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：，，；

，
移项，得 ，
两边平方得：，
解得：，
经检验 是原方程的解，
所以原方程的解为；

，
移项得：，
方程两边同时平方得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
所以原方程解为．
回顾旧知，类比求解方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可；
移项后方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可；
移项后方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
 

26.【答案】或 

【解析】解：设点坐标为，作轴，则，，
，
在中，，
，
解得，
，
，
反比例函数解析式为；
由反比例函数的对称性可知，
不等式的解集为或，
故答案为：或；
依题意点坐标为，
设直线的解析式为，
将点坐标代入得，解得，
直线的解析式为，
令得，
，
．
根据勾股定理求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
由反比例函数的对称性可知，根据图象即可求得不等式的解集；
利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．数形结合是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】证明：垂直平分，
，
，
，
，
∽；
证明：垂直平分，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于点，

垂直平分，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由垂直平分线的性质得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出，即可证明∽；
由垂直平分，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，由，得出，即可得出；
过点作，交的延长线于点，由垂直平分，得出，证明∽，得出，由，即可得出，再证明∽，得出，进而得出，由，得出，即可得出．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

28.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
．

结论：是等腰直角三角形．
理由：，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形．

如图，连接，

四边形是正方形，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质，求出，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
由等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，可得，由四边形内角和定理，可求，即可求解．
由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求，的长，在中，利用勾股定理可求解．
本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．