2021-2022学年江西省丰城市第九中学高二上学期期末考试数学（文）试题含答案

  丰城市第九中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学(文科）试题

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.复数满足（为虚数单位），则的虚部为（     ）

A． B． C． D．

2.“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的（     ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（     ）

A． B． C． D．

4.抛物线 上点 的横坐标为 4，则 到抛物线焦点 的距离 等于（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

5.观测两个相关变量，得到如下数据：

则两变量之间的线性回归方程为(     )A． B． C． D．

6.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（     ）

A． B． C． D．

7..函数的图像大致是（    ）

A．B．C．D．

8.曲线上的点到直线的距离的最小值是（     ）

A．0 B．1 C． D．

9.定义在上函数，若，则（    ）

A．         B．            C．      D．

10.圆上任意一点到直线的距离不大于的概率为（   ）

A． B． C． D．

11.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

12.若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（    ）

A．             B．           C．          D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高二年级抽取___________名学生.

14.已知曲线，则在点处且与C相切的直线方程为_______．

15.当时，不等式成立，则实数的取值范围是___________.

16.已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.

三、解答题：（本大题共6小题，共计70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知“，使等式”是真命题

（1）求实数m的取值范围M

（2）设集合，若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.

18．（12分）某中学随机抽查了名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：

（1）求这名同学的平均阅读时长（用区间中点值代表每个人的阅读时长）；

（2）在阅读时长位于的人中任选人，求甲同学被选中的概率；

（3）进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称为“阅读迷”，语文成绩达到分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个列联表：

根据表中数据，判断是否有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.

参考公式：，其中.  参考数据：

19.（12分）已知椭圆：，直线与椭圆交于两点，为坐标原点.

（1）若线段的中点坐标为，求直线的方程：

（2）若直线过点，且面积为，求直线的方程.

20.（12分）已知关于的一组有序数对分别为，，，，，，，对应的散点图如下．

（1）根据散点图，判断（，）和（，）中哪个模型的拟合效果更好；

（2）请用你在（1）中选出的模型对变量，的关系进行拟合，求出关于的回归方程．

参考数据：，，，．

参考公式：在线性回归方程中，，．

21.（12分）过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A，线段OA的中点为M，又点，．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：

①，②；③的面积为．（1）______，求拋物线C的方程；（2）在（1）的条件下，过y轴上的动点B作拋物线C的切线，切点为Q（不与原点O重合），过点B作直线l与OQ垂直，求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

22.（12分）若．（1）当，时，讨论函数的单调性；

（2）若，且有两个极值点，，证明．

丰城九中2023届高二年级上学期期末考试答案

数学（文科）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共有4小题，共20分，把答案填在题中横线上）

13. 18           14．    15．     16.      

二、计算题（本大题共有6题，共70分）

17.（1）若“，使等式”是真命题，则，

由，则，∴...........5分

（2）若“”是“”的充分条件，则是的子集，

∴解得，经检验符合题意，

∴a的取值范围是...........10分

18.设这名同学的平均阅读时长为小时，

则，

故这名同学的平均阅读时长为小时；.........3分

（2）设这名学生分别为甲、乙、丙、丁，

从这名学生任取名学生，所有的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙，丁）、（丙、丁），共个，.........6分

其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁），

因此，所求概率为；.........9分

(3)，

因此，有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关..........12分

19.设，，则，两式作差得：，整理可得：，又线段的中点坐标为，则，，，

直线的方程为：，即..........5分

（2）当直线斜率为时，三点共线，不合题意，则直线斜率不为，可设，

由得：，

设，，则，

，解得：，

直线方程为：或，即或..........12分

20.（1）根据散点图判断，用（，）的拟合效果更好．.........3分

（2）根据进行拟合，两边同时取对数得，

故，则．.........6分

因为，，，

所以．.........8分

把代入，得，

所以，，

则，

即关于的回归方程为．.........12分

21.（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设其方程为，

由得或即，

所以线段OA的中点．

因为，所以直线PM的斜率存在，．

所以，解得，

所以直线OA的方程为，．.........6分

若选①，不妨令，

由，得，解得（舍去），

所以抛物线C的方程为．

若选②，因为，，

所以点P到直线OA的距离为，即，

解得（舍去），所以抛物线C的方程为．

若选③，不妨令，

因为，

点P到直线OA的距离，

所以，解得（舍去），

所以抛物线C的方程为．

（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．

设，切线BQ的方程为，

由得，（*）

所以，解得，

所以方程（*）的根为，

代入得，所以切点，

于是，则，

所以直线l的方程为，即，

所以当b变化时，直线l恒过定点．.........12分

22.解：因为

当时，所以，

令，解得或2，

当时，则当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，，故函数在上单调递增；

当时，当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；.........5分

（2）证明：当时，．

函数有两个极值点方程有两个正根，

且，解得，

由题意得

，

令．

则在上单调递椷，

，

．.........12分