2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共48分）要使分式有意义，的取值应满足(    )A.  B.  C.  D. 为任意实数下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 在平行四边形中，若，则的度数是(    )A.  B.  C.  D. 已知是方程的一个根，则实数的值是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在菱形中，两条对角线长，，则此菱形的面积为(    )A.
B.
C.
D. 从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中有黑球个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定下列式子中，能运用平方差公式分解因式的是(    )A.  B.  C.  D. 化简的结果是(    )A.  B.  C.  D. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 如图，将沿着它的中位线对折，点落在处．若，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 已知，，，都是正数，如果，，那么，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 不确定如图，在平面直角坐标系中，，、分别是轴正半轴、轴正半轴上的动点，且的周长是，则到直线的距离是(    )A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共24分）因式分解：______．已知一个正边形的每个内角都为，则______．随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率为______．
 若关于的方程产生增根，则______．如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______
 如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接若，，，则的最小值是______．
   三、解答题（本大题共9小题，共78分）化简：．解方程：．已知：如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别在，上，且，求证：．
第届冬季奥林匹克运动会简称“冬奥会”于年月日在北京开幕，本届冬奥会设个大项、个分项、个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：分组频数 请根据图表信息，解答下列问题：
本次知识竞答共抽取七年级同学______名；在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为______；
请将频数分布直方图补充完整；
该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为，，，，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率．
 
如图，在正方形中，为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交的延长线于点．
求证：是等腰三角形．
若，求的长度．
某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车每台进货价格比型车每台进货价格少万元，该公可用万元购买型车的数量和用万元购买型车的数量相同．
求购买一台型、一台型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
该公可准备用不超过万，采购，两种新能源汽车共台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？先阅读下面的材料，再解决问题：
因式分解多项式：，
先把它的前两项分成一组，并提出；把它的后两项分成一组，并提出．
得：．
再提公因式，得：．
于是得到：．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
请用上面材料中提供的方法解决问题：
将多项式分解因式；
若的三边、、满足条件：，试判断的形状．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例分解因式：




例求代数式的最小值：




又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
分解因式：；
当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值；
已知的三边长、、都是正整数，且满足，求周长的最大值．【问题原型】如图，在四边形中，，点、分别为、的中点，连结，试说明：．
【探究】如图，在问题原型的条件下，当平分，时，求的大小．
【应用】如图，在问题原型的条件下，当，且四边形是菱形时，直接写出四边形的面积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：要使分式有意义，的取值应满足，
解得，
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分式的分母不等于零，否则无意义．
 2.【答案】 【解析】解：从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断．
 3.【答案】 【解析】解：在▱中有：，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
．
故选：．
把代入方程得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 5.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
菱形的面积．
故选：．
根据菱形的面积计算公式，已知两对角线长即可求得菱形的面积．
本题考查了菱形面积的计算公式，根据对角线求菱形的面积的公式，本题中正确计算菱形面积是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
故选：．
先由频率频数数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．
 7.【答案】 【解析】解：、，故A符合题意；
B、不能运用平方差公式分解因式，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不能运用平方差公式分解因式，故D不符合题意；
故选：．
根据平方差公式：，逐一判断即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：原式
，
故选：．
根据分式的除法法则计算即可．
本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：由题意得：，
即，
解得，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程在时有两个实数根，本题属于基础题型．
 10.【答案】 【解析】解：
解：，，
，
是中位线，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的内角和定理易求的度数，由三角形的中位线定理可得，所以，进而可求出的度数．
本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般．
 11.【答案】 【解析】解：设，，
，，，都是正数，
，
则，
  ，
，
而，
，
．
故选A．
首先设辅助字母简化计算过程，然后利用多项式乘法法则计算即可解决问题．
本题主要考查了多项式的乘法计算，计算有点麻烦，解题要有耐心．
 12.【答案】 【解析】解：方法一：如图，过点作轴，轴，垂直分别为，，
设，，，到直线的距离是，

的周长是，
，
，

根据勾股定理得：，
，




，
，
，
．
到直线的距离为．
方法二：如图，过点作轴，轴，垂直分别为，，
，
四边形是边长为的正方形，
，
、分别是轴正半轴、轴正半轴上的动点，
将沿折叠得到，延长交轴于点，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，

的周长是，
，
符合题意中的，
到直线的距离，
故选：．
方法一：过点作轴，轴，垂直分别为，，设，，，到直线的距离是，然后根据勾股定理和三角形周长可得，再根据三角形的面积可得，解得即可解决问题；
方法二：构造正方形，将沿折叠得到，延长交轴于点，再证明≌，可得的周长为符合题意，所以可得到直线的距离．
本题考查了正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
 13.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，找准公因式是解决此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：正边形的每个内角都为，
正边形的每个外角，
多边形边数．
故答案为：．
根据多边外角和进行求解即可．
本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形的外角和为．
 15.【答案】 【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，能够让灯泡发光的有种情况，
随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 16.【答案】 【解析】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
先求出分式方程的解，解得，再求出方程的增根为，根据即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，知道增根产生的原因是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
小路宽为．
故答案为：．
设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：连接、、，如图所示：

四边形是矩形，
，，
，
是线段的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当、、三点共线时，最小，
的最小值是，
故答案为：．
连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当、、三点共线时，最小，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．
 19.【答案】解：


． 【解析】把能分解的进行分解，再化简，最后进行减法运算即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 20.【答案】解：原方程化为，
，，，
，
，
，． 【解析】先把原方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根．
本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
 21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中

≌
． 【解析】连接、，由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，证明≌，得出．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明全等是解决问题的关键．
 22.【答案】   【解析】解：本次知识竞答共抽取七年级同学为：名，
则在扇形统计图中，成绩在“”这一组的人数为：名，
在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
将频数分布直方图补充完整如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的结果有种，
小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率为．
由成绩在“”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人数，即可解决问题；
根据成绩在“”这一组的人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】证明：在正方形中，，
，
根据翻折，可得，
，
，
是等腰三角形；
设，
，
，
为的中点，
，
根据翻折，，，
，
，
，
在中根据勾股定理，
得，
解得，
． 【解析】根据正方形的性质，可得，根据翻折可得，进一步可得，即可得证；
设，根据正方形的性质，可得，，在中根据勾股定理，可得，解方程即可．
本题考查了正方形的性质，涉及了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 24.【答案】解：设一台型新能源汽车的进货价格是万元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
万元，
购买一台型新能源汽车的进货价格是万元，购买一台型新能源汽车的进货价格是万元；
设需要采购型新能源汽车台，
由题意可得：，
，
最少需要采购型新能源汽车台． 【解析】设一台型新能源汽车的进货价格是万元，由用万元购买型车的数量和用万元购买型车的数量相同，列出方程可求解；
设需要采购型新能源汽车台，由该公可准备用不超过万，采购，两种新能源汽车共台，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 25.【答案】解：


；
由已知，得．
即，
，
，
即，
是直角三角形． 【解析】将前两项以及后两项重新分组，进而分解因式得出答案；
利用分组分解法将原式分解可得，再利用勾股定理的逆定理可得出答案．
此题主要考查了分组分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正确分组是解题关键．
 26.【答案】解：



；




，
，，
当，时，有最小值，最小值是；
，
，
，
，，
，，
，
，
为正整数，
最大取，
周长的最大值，
周长的最大值为． 【解析】仿照例的解题思路，利用配方法即可解答；
仿照例的解题思路，利用配方法即可解答；
利用配方法可得，再利用偶次方的非负性可求出，的值，然后利用三角形的三边关系求出的最大值，进行计算即可解答．
本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
 27.【答案】解：【问题原型】证明：
在中，点，分别为，的中点
，且                           
在中，点为的中点，                               
【探究】解：平分，，
    
，
                            

          
，
            
【应用】四边形的面积为：
四边形是菱形，，
与都是等边三角形，
，
，
，，

． 【解析】【问题原型】利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；
【探究】先证明，，根据列方程得的度数；
【应用】由四边形是菱形，说明是等边三角形，再根据等底同高说明与间关系，根据相似说明与间关系，由，得，得等边的面积，利用三角形的面积间关系得结论．
本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识．题目难度中等，由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．