2021-2022学年福建省福州市台江区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市台江区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 二次根式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 将直线向下平移个单位长度后，得到的直线是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在“我的中国梦”演讲比赛中，有名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这名学生成绩的(    )

A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差

6. 在边长为的小正方形组成的网格中，、、、、在格点上，长度是的线段是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在▱中，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知点和点都在直线的图象上，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排场比赛设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，正方形中，点，分别在，上，且，垂足为，则下列结论：；；；．
    其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若关于的方程的一个根是，则的值是______．
12. 函数是常数，的图象上有两个点，，当时，，写出一个满足条件的函数解析式：______．
13. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______

14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

15. 评定学生的学科期末成绩由考试分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按：：的比例确定，已知小明的数学考试分，作业分，课堂参与分，则他的数学期末成绩为______ 分
16. 正方形中，，是上一点，过点作于，于则最小值______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：；
     
18. 解下列方程：
    ；
    ．
19. 已知一次函数的图象经过点与．
    求这个一次函数的解析式；
    判断点是否在这个一次函数的图象上；
    直接写出关于的一元一次方程的解．
20. 两年前，生产吨甲种药品的成本是元，生产吨乙种药品的成本是元．随着生产技术的进步，现在生产吨甲种药品的成本是元，生产吨乙种药品的成本是元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
21. 某校抽取名学生进行了每周课外阅读时间的调查，数据如下单位：：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    【整理数据】按如表分段整理样本数据：

【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
表格中的______，______，______；
如果该校八年级现有学生人，根据抽样调查数据，估计每周用于课外阅读时间不少于的学生有多少名？

22. 如图，中，，是中线．
    过点作，垂足为；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    当，时，求的长．

23. 某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：

若该水果商计划租用大、小货车共辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式；
在的条件下，若这批水果共箱，所租用的辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．

24. 已知菱形，，直线不经过点，，点关于直线的对称点为，交直线于点，连接．
    如图，当直线经过点时，点恰好在的延长线上，点与点重合，则______，线段与之间的数量关系为______；
    当直线不经过点，且在菱形外部，时，如图，
    依题意补全图；
    中的结论是否发生改变？若不改变，请证明；若改变，说明理由．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，．
    求直线的表达式；
    点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，两点同时出发．过点，作轴的垂线分别交直线，于点，，猜想四边形的形状点，重合时除外，并证明你的猜想；
    在的条件下，当点运动______秒时，四边形是正方形直接写出结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据二次根式有意义，得：，
解得：．
故选C．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段的长是否能构成直角三角形，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：原直线的，；向下平移个单位长度得到了新直线，
那么新直线中的，．
新直线的解析式为．
故选：．
平移时的值不变，只有发生变化．
本题考查了一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后不变这一性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为位进入决赛者的分数肯定是名参赛选手中最高的，
而且个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，
故选：．
由于比赛取前名进入决赛，共有名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：；；
，．
所以长度是的线段是．
故选：．
应用勾股定理计算出图中各线段的长，根据计算结果得结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可求，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大．
又，且点和点都在直线的图象上，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设应邀请个球队参加比赛，
根据题意得：．
故选：．
设邀请个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排场比赛即可列出方程求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
≌，
正确，，错误，
，，
正确，
≌，
正确，
故选：．
根据正方形性质和证明≌，利用三角形全等可证明．
此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，关键是根据证明≌解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程的一个根是，
，
，
解得，
故答案为：．
根据关于的方程的一个根是，可以得到，然后即可得到的值．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

12.【答案】即可 

【解析】解：，满足时，，
函数满足
即可；
故答案为：即可．
根据，满足时，判断出函数图象的增减性即可．
本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．
 

13.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：．
利用函数图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
答：他的数学期末成绩为分．
故答案为：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数的概念．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作于，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
≌，
，
，
当时，最小，
的面积，
，
的最小值为，；
故答案为：．
连接，，，，由勾股定理得出，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，再由证明≌，得出，当时，最小，由的面积的面积关系即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，；
，
，
，
，，
，． 

【解析】先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程；
先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：一次函数的图象经过点与，
可得，
解得，
这个一次函数的解析式为；
当时，，
点在这个一次函数的图象上；
由可得一元一次方程的解． 

【解析】待定系数法求解析式即可；
将代入一次函数解析式求出的值，即可判断；
由可知一次函数过点，即可求出方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为，依题意得．
解得，舍去，
乙种药品成本的年平均下降率为，依题意得．
解得，舍去，
，
乙药品成本的年平均下降率较大． 

【解析】分别计算两种药品的成本再比较．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是求解本题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：由题意知的人数，
将这组数据重新排列为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中位数，众数为，
故答案为：，，；
人，
答：估计每周用于课外阅读时间不少于的学生有名．
由题意知的人数，将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可；
总人数乘以课外阅读时间不少于的学生人数所占比例即可．
本题考查中位数、众数、频数分布表，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

22.【答案】解：如图，为所求作的的垂线，为垂足；
过点作．
在中，，，，
，
又，
，
是的中线，
，
在中，，
，
． 

【解析】以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，作过这点和点的直线交于点；
根据直角三角形斜边中线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查了作图基本作图，勾股定理，直角三角形的性质，以及过一点作已知直线的垂线，难度适中．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
即与的函数关系式为；
由题意可得，
，
解得，，
，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，，
答：最节省费用的租车方案是大货车辆，小货车辆，最低费用是元． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以写出与的函数关系式；
根据题意和表格中的数据，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

24.【答案】   

【解析】解：如图中，

四边形是菱形，
垂直平分线段，
，
，关于对称，
垂直平分线段，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：，．

图形如图所示：


不改变．
理由：连接延长交于点．
四边形是菱形，，
，，
点关于点关于直线对称，
，，
，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
．
证明是等边三角形即可解决问题．
根据要求画出图形即可．
结论不变．证明是等边三角形即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．
 

25.【答案】或 

【解析】解：由点、的坐标知，，故点，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；

设点，则，则点，则点，

则，而，而，
故四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形．

四边形是正方形，则，
即，解得：或，
故答案为或．
由点、的坐标知，，故点，即可求解；
，而，即可求解；
四边形是正方形，则，即，即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形和正方形的性质等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．