2020-2021学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）2与8的等差中项是（　　）
A．﹣5 B．5 C．4 D．±4
2．（4分）已知函数，则f'（x）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
4．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与BC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和圆C2：x2+y2＝16的位置关系为（　　）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
6．（4分）设{an}是公比为q的等比数列，且an＜0（n＝1，2，⋯）．若{an}为递增数列，则q的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
7．（4分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差D（X）＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
8．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），且△ABC的面积为6．过O作OH⊥平面ABC于点H．若三棱锥O﹣ABC的体积为6，则点H的坐标可以为（　　）
A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（1，2，1） D．（1，2，3）
9．（4分）记Sn为数列{an}的前n项和．若an＝n（8﹣n）（n＝1，2，⋯），则（　　）
A．{an}有最大项，{Sn}有最大项
B．{an}有最大项，{Sn}有最小项
C．{an}有最小项，{Sn}有最大项
D．{an}有最小项，{Sn}有最小项
10．（4分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1．若f（x）有且只有一个零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，0） C．（2，+∞） D．（0，2）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝cosx，则f′（）＝　 　．
12．（5分）已知双曲线的焦距为6，则实数m＝　 　；C的渐近线方程为 　 　．
13．（5分）甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%，两地同时降雨的概率为30%．则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为 　 　．
14．（5分）用铁皮围成一个容积为4m3的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为 　 　m2．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）
15．（5分）已知点列An（xn，0）（n＝1，2，⋯），其中x1＝0，x2＝1．A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An﹣2An﹣1的中点，…．记an＝xn+1﹣xn．则a3＝　 　；an＝　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b2＝a3，b4＝a5，求{bn}的前n项和Sn．
17．（13分）已知函数f（x）＝（x2﹣3x+1）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．
18．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
（Ⅰ）求证：D1F∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求直线D1F与平面BDE之间的距离．

19．（14分）某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如表：
牙膏品牌
A
B
C
D
E
销售价格
15
25
5
20
35
市场份额
15%
10%
25%
20%
30%
（Ⅰ）从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；
（Ⅱ）依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管．
（ⅰ）求n的值；
（ⅱ）从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测．记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额．原有5个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管μ1元，下月牙膏的平均销售价为每管μ2元，比较μ1，μ2的大小．（只需写出结论）
20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点A（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（0，2）作斜率为k的直线交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线y＝2于点P，Q．求证：B为PQ的中点．
21．（15分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）＞3．

2020-2021学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）2与8的等差中项是（　　）
A．﹣5 B．5 C．4 D．±4
【解答】解：设2与8的等差中项是x，则2x＝2+8＝10，解得x＝5．
故选：B．
2．（4分）已知函数，则f'（x）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴．
故选：C．
3．（4分）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为：
∵抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为3的点到焦点的距离等于5
∴根据抛物线的定义可知，
∴p＝4
故选：D．
4．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与BC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
则
所以cos＝
＝＝，
所以异面直线A1E与直线BC所成角的余弦值为，
故选：D．

5．（4分）圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和圆C2：x2+y2＝16的位置关系为（　　）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【解答】解：圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心（3，4），半径为1，圆C2：x2+y2＝16的圆心（0，0），半径为4，
圆的圆心距为：＝5，恰好等于两个圆的半径和：4+1＝5，
所以两个圆的相外切．
故选：C．
6．（4分）设{an}是公比为q的等比数列，且an＜0（n＝1，2，⋯）．若{an}为递增数列，则q的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【解答】解：∵a1＜0，且{an}是递增数列，
∴q＞0；又an＜0，∴＝q＜1，即0＜q＜1．
故选：C．
7．（4分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差D（X）＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：由题意可知，X～B（4，），
所以D（X）＝4×＝1．
故选：B．
8．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），且△ABC的面积为6．过O作OH⊥平面ABC于点H．若三棱锥O﹣ABC的体积为6，则点H的坐标可以为（　　）
A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（1，2，1） D．（1，2，3）
【解答】解：由题意，三棱锥O﹣ABC的体积为6，△ABC的面积为6，
过O作OH⊥平面ABC于点H，则OH为三棱锥O﹣ABC的高，
所以，解得OH＝3，
在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），
设H（x，y，z），则，
因为OH＝3，
则有x2+y2+z2＝9，
对于A，1+1+1＝3，不符合题意，故选项A错误；
对于B，1+4+4＝9，符合题意，故选项B正确；
对于C，1+4+1＝6，不符合题意，故选项C错误；
对于D，1+4+9＝14，不符合题意，故选项C错误．
故选：B．
9．（4分）记Sn为数列{an}的前n项和．若an＝n（8﹣n）（n＝1，2，⋯），则（　　）
A．{an}有最大项，{Sn}有最大项
B．{an}有最大项，{Sn}有最小项
C．{an}有最小项，{Sn}有最大项
D．{an}有最小项，{Sn}有最小项
【解答】解：根据题意，数列{an}，an＝n（8﹣n）＝8n﹣n2，
对于二次函数，y＝﹣x2+8x，其开口向下，对称轴为x＝4，即当x＝4时，y＝﹣x2+8x取得最大值，
对于{an}，n＝4时，an最大；
且当1≤n＜8时，an＞0，当n＝8时，an＝0，当n＞8时，an＜0，
故当n＝7或8时，Sn最大，
故{an}有最大项，{Sn}有最大项；
故选：A．
10．（4分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1．若f（x）有且只有一个零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，0） C．（2，+∞） D．（0，2）
【解答】解：（i）当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1，令f（x）＝0，解得x＝，函数f（x）有两个零点，舍去；
（ii）当a≠0时，f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣），令f′（x）＝0，解得x＝0或，
①当a＜0时，＜0，
当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点，
由f（0）＝1，可得函数存在正零点，不满足条件；
②当a＞0时，＞0，
当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点，
∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则f（）＞0，
即﹣+1＞0，a＞0，解得：a＞2，
综上可得：实数a的取值范围是（2，+∞），
故选：C．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝cosx，则f′（）＝　﹣　．
【解答】解：∵f（x）＝cosx，
∴f′（x）＝﹣sinx，f′（）＝﹣sin ＝﹣，
故答案为：﹣
12．（5分）已知双曲线的焦距为6，则实数m＝　6　；C的渐近线方程为 　y＝±x　．
【解答】解：双曲线的焦距为6，
可得3+m＝9，解得m＝6，
双曲线，渐近线方程为：y＝±x．
故答案为：6；y＝±x．
13．（5分）甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%，两地同时降雨的概率为30%．则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为 　　．
【解答】解：设事件A为甲地降雨，事件B为乙地降雨，
则P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，P（AB）＝0.3，
故P（B|A）＝＝，
所以在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为．
故答案为：．
14．（5分）用铁皮围成一个容积为4m3的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为 　12　m2．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）
【解答】解：设该正四棱柱形水箱底面边长为 x，则高为 ，设需用铁皮的面积为 y，
则，
[处理方法一：求导]
由得，
当x∈（0，2）时，y′＜0，
当x∈（2，+∞）时，y′＞0，
所以函数在区间（0，2）单调递减，在区间（2，+∞）单调递增，
当x＝2时，函数取得最小值，最小值为12，
即需用铁皮的面积至少为 12m2．
[处理方法二：三元均值不等式]
3＝12，
当 ，即 x＝2 时，不等式等号成立．
即需用铁皮的面积至少为 12m2．
15．（5分）已知点列An（xn，0）（n＝1，2，⋯），其中x1＝0，x2＝1．A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An﹣2An﹣1的中点，…．记an＝xn+1﹣xn．则a3＝　　；an＝　（﹣）n﹣1　．
【解答】解：因为An是线段An﹣2An﹣1的中点，根据中点坐标公式可得：
x，所以x，x，
所以a，
因为a＝＝﹣＝﹣，
即a），
所以数列{an}是公比为﹣的等比数列，首项为a1＝x2﹣x1＝1，
故数列{an}的通项公式为a，
故答案为：．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b2＝a3，b4＝a5，求{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）在等比数列{an}，由a1＝1，a4＝8，
得q＝，∴；
（Ⅱ）b2＝a3＝23﹣1＝22＝4，b4＝a5＝25﹣1＝24＝16，
则等差数列{bn}的公差d＝，
∴b1＝b2﹣d＝4﹣6＝﹣2．
∴{bn}的前n项和Sn＝．
17．（13分）已知函数f（x）＝（x2﹣3x+1）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由函数的解析式可得：f′（x）＝（x2−x−2）ex＝（x+1）（x−2）ex，
令f′（x）＝0，得x1＝−1，x2＝2．
f（x）与f’（x）的变化情况如下：
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，2）
2
（2，+∞）
f’（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增

单调递减

单调递增
所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，2），单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增，在区间（﹣1，0）上单调递减．
所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为，
f（x）在区间[﹣2，0]上的最小值为min{f（﹣2），f（0）}，
因为，且，
所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最小值为f（0）＝1．
18．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
（Ⅰ）求证：D1F∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求直线D1F与平面BDE之间的距离．

【解答】解：（Ⅰ）求证∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
∴D1F∥BE，
∵D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，
∴D1F∥平面BDE；
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D1（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1），
＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），＝（0，1，1），
设平面DBE的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
设直线D1E与平面BDE所成角为θ，
则sinθ＝＝＝．
∴直线D1E与平面BDE所成角的正弦值为．
（Ⅲ）∵D1F∥平面BDE，＝（0，0，2），平面DBE的法向量＝（1，﹣1，1），
∴直线D1F与平面BDE之间的距离为：
d＝＝＝．

19．（14分）某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如表：
牙膏品牌
A
B
C
D
E
销售价格
15
25
5
20
35
市场份额
15%
10%
25%
20%
30%
（Ⅰ）从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；
（Ⅱ）依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管．
（ⅰ）求n的值；
（ⅱ）从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测．记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额．原有5个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管μ1元，下月牙膏的平均销售价为每管μ2元，比较μ1，μ2的大小．（只需写出结论）
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，
估计其销售价格低于25元的概率为0.15+0.25+0.2＝0.6；
（Ⅱ）（ⅰ）由题意，品牌A的牙膏抽取了20×15%＝3管，
品牌A的牙膏抽取了20×10%＝2管，
所以n＝3+2＝5；
（ⅱ）由题意，X的可能取值为0，1，2，
所以P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以E（X）＝0×+1×+2×＝；
（Ⅲ）μ1＝15×0.15+25×0.1+5×0.25+20×0.2+35×0.3＝20.5，
μ2＝+++＝，
其中3：2：5：4：5：a为A，B，C，D，E，F6个品牌的牙膏所占市场份额之比，
则μ2﹣μ1＝﹣20.5＝，
所以μ1＜μ2．
20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点A（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（0，2）作斜率为k的直线交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线y＝2于点P，Q．求证：B为PQ的中点．
【解答】解：（Ⅰ）由题设，得，
解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）由题意，设直线MN的方程为y＝kx+2，
由，得（1+4k2）x2+16kx+8＝0，
由△＝256k2﹣4（4k2+1）×8＞0，解得k2＞，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝，x1x2＝，
①x1≠2时，直线AM的方程为y＝（x﹣2）+1，
令y＝2，则得点P的横坐标为xP＝+2，
同理可得点Q的横坐标为xQ＝+2，
xP+xQ＝++4
＝++4
＝，
因为2kx1x2+（x1+x2）＝﹣＝0，
所以xP+xQ＝0＝2xB，
所以B为PQ的中点，
②当x1＝2时，M（2，﹣1），P（2，2），
直线MB的方程为3x+2y﹣4＝0，可求得N（，），
所以直线NA的方程为x+4y﹣6＝0，
从而Q（﹣2，2），
此时xP+xQ＝0＝2xB，
综上，B为PQ的中点．
21．（15分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）＞3．
【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且，
因为f（1）＝e+1，f′（1）＝e−1，
故所求的切线方程为y−（e+1）＝（e−1）（x−1），即y＝（e−1）x+2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 为（0，+∞）上的增函数．
因为，
所以存在唯一的，使．
从而有，
因为x∈（0，x0） 时，f′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间（0，x0） 上单调递减，在区间（x0，+∞） 上单调递增．
所以．
所以f（x）＞3．
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日期：2021/8/18 19:55:11；用户：数学；邮箱：ysjky4@xyh.com；学号：22387670