第12天：解一元二次方程-2022年暑假人教版八升九数学培优提高训练

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第12天：解一元二次方程一、单选题1．一元二次方程x2+4x-1＝0经过配方后可变形为（       ）A．(x-2)2＝3 B．(x-2)2＝5C．(x+2)2＝3 D．(x+2)2＝5【答案】D【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．【详解】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．一元二次方程配方后可化为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先移项可得：，再两边都加9，，从而可得答案.【详解】解：移项得：故选A【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解题的关键.3．解方程，最好的方法是（       ）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【答案】B【解析】根据可以得到，即，故选配方法．【详解】解：∵用配方法解方程得，，∴最好的方法是配方法．故选B．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．4．关于x的方程的一个根为，那么m的值是（       ）A．1 B． C．1或 D．2【答案】B【解析】根据关于x的方程的一个根为，把代入方程中求解出m即可.【详解】解：∵关于x的方程的一个根为，∴，即∴，∴，故选B.【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】把x=-1代入已知方程可得关于k的方程，解方程即可求出k，进而可得答案．【详解】解：∵方程的一根为-1，∴，解得，当=﹣1时，原方程为，有实数根x=-1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．6．方程y2＝-a有实数根的条件是（       ）A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数【答案】A【解析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．7．一元二次方程的解为（     ）A． B．， C． D．【答案】B【解析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．【详解】解：，移项得：，开平方得：，，故选B．【点评】本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．8．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（   ）A．a≥﹣2                          B．a＞﹣2                          C．a≥﹣2且a≠0                                       D．a＞﹣2且a≠0【答案】C【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得且， 解得且．故答案为：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．9．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】分别计算四个方程的判别式的值，然后进行判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：．△，方程有两个相等的实数根，所以选项不符合题意；．△，方程没有实数根，所以选项不符合题意；．△，方程没有实数根，所以选项不符合题意；．△，方程有两个不相等的实数根，所以选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．10．的根是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可以化简得到，利用开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴即，∴，故选B．【点评】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关解法．11．的根是（       ）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】先将左边用完全平方公式展开，再移项合并同类项，最后运用因式分解法解方程即可；【详解】解：去括号得：，整理得： ， 所以（x-2)(x-3)=0，解得或．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程一般式，一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：配方法，公式法，因式分解法，结合方程的特征，灵活选用恰当的方法求解是解题的关键．12．已知，则的值是（       ）A．3或 B．或2 C．3 D．【答案】C【解析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值．【详解】解：设，∵，∴，即，∴，解得或（舍去），∴，故选C．【点评】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意．13．，则的值是（       ）A．4 B． C．4或 D．或2【答案】C【解析】用换元法解方程即可．【详解】解：设，则原方程转换为，解方程得，，故选：C．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是熟练运用换元法把原方程转换为一元二次方程，再熟练的解一元二次方程．14．方程的根是（       ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】先将方程两边同时除以二次项的系数，化简后，运用完全平方公式，即可得出方程的根．【详解】解：，两边同时除以可得：，∴，∴，故选：D．【点评】题目主要考查解一元二次方程求根，运用完全平方公式可以简化计算，对公式的熟练掌握是解题关键．15．解方程的解是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．【详解】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，因式分解得(x-2)(x+1)=0，解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）；当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0，因式分解得(x+2)(x-1)=0，解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）；所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键．二、填空题16．关于x的一元二次方程的一个根是，则_____，方程的另一根是______．【答案】     1     【解析】将方程的根代入方程即可求出的值，将的值代入方程，求解即可得出另一个根．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，∴，解得：，将代入中得到方程：，解得：，故答案为：1；．【点评】本题考查了一元二次方程的根以及解一元二次方程，求出的值是解题的关键．17．填空：（1）+______=（x+________）2；（2）+______=（x-________）2；（3）+______=（x+________）2；（4）+______=（x-________）2．【答案】     25     5     36     6                    【解析】根据配方法进行求解（1）（2）（3）（4）即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；故答案为25；5；36；6；；；；．【点评】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．18．已知，当x取__________时．【答案】1或【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：当时，即，解得或．故答案为：1或【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．19．当x=_______时，代数式(x-1)(x-5)与(3x-1)(x-1)的值相等．【答案】1或-2【解析】根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．【详解】解：(x-1)(x-5)=(3x-1)(x-1)， 整理得：x2+x-2=0， (x-1)(x+2)=0， 解得：x=1或-2． 故答案为：1或-2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．代数式的值为0，则x的值为__________．【答案】2【解析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，列方程与不等式，求解即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴=0且，=0因式分解得解方程得，；解不等式得，或，∴故答案为：．【点评】本题考查了分式值为零的条件，包含一元二次方程和一元一次不等式，解题关键是明确分式值为0，分子为0分母不为0，列出方程和不等式求解．三、解答题21．解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】把常数项移到右边，将二次项系数化为1，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再写成完全平方的形式开方求解．【详解】（1）解：，，，；（2）解：，，，；（3）解：，，，；（4）解：，，，．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）；          （2）；          （3）．【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【解析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；（2）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；（3）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：（1），∴原方程有两个不相等的实数根； （2）原方程化为一般式是：，∴∴原方程有两个相等的实数根；（3）∴原方程没有实数根．【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．23．用公式法解下列方程：（1）；          （2）；（3）．          （4）．【答案】（1），；（2）；（3）；（4）没有实数根．【解析】求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可．【详解】（1） 故原方程有两个不同实数根；或  （2） 故原方程有两个相等的实根； （3） 故原方程有两个不同的实数根； （4） 故原方程无实数根．【点评】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键． 24．解下列方程：（1）；                    （2）；          （3）；（4）；            （5）；               （6）；（7）；          （8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【解析】均可运用因式分解法解一元二次方程．【详解】解：（1）∵，∴或，∴；（2），，∴或，∴；（3），，∴∴或，∴；（4），，，∴或，∴；（5），，，∴或，∴；（6），，∴或，，∴；（7），，，∴或，∴；（8），，，，∴或，∴．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解本题的关键．25．（1）设，求的值．（2）已知代数式，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？【答案】（1）的值为；（2）说明见解析，当时，代数式有最小值．【解析】（1）根据a＞b＞0可知，，再根据完全平方式把被开方数展开，把a2+b2=3ab代入进行计算即可；（2）首先将原式变形为（x-）2+，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M=x2-5x+7，根据非负数的性质就可以求出最值．【详解】（1）∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，∴原式===；（2）解：由题意，得，∵，∴，∴，∴这个代数式的值总是正数．设代数式的值为M，则有M=，∴M=，∴当时，这个代数式的值最小为．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，代数式中配方法的运用，关键是运用完全平方公式，式子的转化．26．已知是三边的长，且满足，求三边的长．【答案】【解析】根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，从而分别配成完全平方，结合非负性分别求解即可．【详解】即：．【点评】本题主要考查利用配方法配成完全平方以及非负数的性质，熟练根据完全平方公式对原式进行配方变形是解题关键．27．对于实数u、v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．【答案】【解析】由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个不同的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题．【详解】解：由，得即，∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，∴，解得．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题．28．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】(1)(2)m的值为【解析】(1)根据一元二次方程的判别式，可得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的范围；(2)根据第（1）问确定k的最大整数值，将k的值代入方程，求此方程的根，再将根代入，可以得到关于m的方程，解方程即可得到m的值，注意检验是否符合一元二次方程的定义．(1)根据题意得，解得；(2)∵，∴k的最大整数为6，∴方程x2﹣5x+k＝0变形为x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1；而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，当x＝3时，9（m﹣1）+3+m﹣3＝0，解得，，∴m的值为．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义与解法，以及根的判别式，解题的关键是对于一元二次方程的根以及根的判别式的理解，特别需要注意检验是否符合一元二次方程的定义．