第14天：实际问题与一元二次方程-2022年暑假人教版八升九数学培优提高训练

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第14天：实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（       ）
A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
2．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（　　）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【答案】D
【解析】设该小组有x人，每两个同学都相互赠送一件礼品，即一个人送出（x-1）件礼品，依次列方程解答即可．
【详解】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学送出（x﹣1）件礼品，
依题意得：x（x﹣1）＝56，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去），故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系式，列出方程，是解题关键.
3．天猫某店铺9月份的销售额为100万元，11月份的销售额为144万元，设10、11月份的平均增长率为x，则可列方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】10、11月份的平均增长率为x，根据该店铺9月份及11月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：100（1+x）2=144．
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
4．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．
【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，
∴
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
5．已知一个直角三角形两直角边之和为17，斜边长为13，则它面积为（     ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】A
【解析】设一条直角边长为x，则另一条直角边长为17-x，利用勾股定理求解，然后确定直角三角形的边长，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为17-x，
∴，
解得：，，
当x=5时，17-x=12；
当x=12时，17-x=5；
∴直角三角形的面积为：，
故选：A．
【点评】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
6．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设剪掉的正方形的边长为xcm，根据底面积为900cm2列方程求出x，然后计算盒子的容积即可．
【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
则盒子的容积是，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，能够找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
7．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪海尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（          ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程即可．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，
由题意得，
故选：C．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【详解】解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
9．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，
依题意得：．
故选：D
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为（3-x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售瓯柑获得的利润=每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元，
平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3-x）（50+10x）=120．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（       ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？

A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
∴AQ=2，，，
的面积是面积的，
，
整理得，
解得，
当s时，的面积是面积的．
故选择B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键．
12．如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（       ）

A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
【答案】B
【解析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6−t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式得出方程×（6−t）×2t＝8，求出即可．
【详解】设经过秒钟，使的面积为，
，，
×（6−t）×2t＝8，解得：，
故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键．
13．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？

A． B． C．1.5 D．
【答案】A
【解析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x1＝x2＝0.4．
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
14．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（       ）

2
3
4
5
6




5
13

A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5
【答案】D
【解析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
【详解】时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
15．某中学初三学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了毕业留言2550份，则全班共有学生（       ）名．
A．52 B．51 C．50 D．49
【答案】B
【解析】由题意，每个同学都给其他同学写一份毕业留言，设有x名学生，则每人需要给（x-1）人写毕业留言，共x（x-1）份毕业留言，列出方程即可．
【详解】解：设全班共有学生x名，
由题意可得x（x-1）=2550
解得：x=51
故选B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，由题意找出等量关系是解题的关键．
二、填空题
16．常态化防疫形势下，某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为______；
【答案】n2+n+1=931
【解析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【详解】解：由题意，得
n2+n+1=931，
故答案为：n2+n+1=931．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
17．电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 __．
【答案】
【解析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元，
依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
故答案为：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．

【答案】3
【解析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，
根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，
在Rt∆AED中，
，
即，
解得：x=4（负值已经舍去），
∴x-1=3，
故答案为：3．
【点评】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子， 第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 _______
【答案】11
【解析】设这组学生的人数为 人，根据题意列出方程，解出即可．
【详解】解：设这组学生的人数为 人，根据题意得：
，
即
解得： ．
故答案为：11
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【解析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为，则每件衬衫的利润为，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可
【详解】解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，

故答案为：
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
21．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
(1)求出m的值；
(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
【答案】(1)10
(2)所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为
【解析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得小颖号召了n人.小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解．
(1)
解：根据题意得：
m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121，
∴m+1=±11，
解得：m1=10，m2=-12（舍去）
答：m的值为10；
(2)
解：根据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，
∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，
∵小红的成功率比小颖的两倍少10%，
∴，
解得：n=4，
∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，
答：所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22．“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进，两种型号防护口罩共8万个，其中型口罩数量不超过型口罩数量的1.5倍，第一周就销售型口罩0.4万个，型口罩0.5万个，第三周的销量占30%．
(1)购进型口罩至少多少万个？
(2)从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周型口罩销售增长率不变，型口罩销售增长率是第二周的2倍．求第二周销售的增长率．
【答案】(1)3.2万个
(2)50%
【解析】（1）设购进型口罩万个，则购进型口罩万个．根据题意，列出不等式，即可求解；
（2）设第二周销售的增长率为．根据题意，列出方程，即可求解．
(1)
解：设购进型口罩万个，则购进型口罩万个．
由题意，得．
解得．
答：购进型口罩至少3.2万个．
(2)
解：设第二周销售的增长率为．
由题意，得．
解得，（舍）．
∴第二周的销售增长率为50%．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．


(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当x=4时，S有最大值，最大值为48．
【解析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3