物理3 向心加速度教学设计

3．向心加速度

1．理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向。

2．掌握向心加速度公式，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能运用它们求解有关问题。

1.匀速圆周运动的加速度方向

(1)向心加速度的定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。

(2)向心加速度的方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时刻在改变。

(3)向心加速度的作用效果：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

2．匀速圆周运动的加速度大小

(1)向心加速度的大小：an＝ω2r。根据v＝ωr可得an＝。

(2)向心加速度的物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。

判一判

(1)做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。(　　)

(2)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。(　　)

(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。(　　)

(4)可以用公式a＝求变速圆周运动中的加速度。(　　)

提示：(1)√　做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心的。

(2)√　做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。

(3)×　做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。

(4)×　变速圆周运动中，向心加速度an＝，而加速度为向心加速度an与切向加速度at的矢量和。

想一想

荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，请思考：

(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？

(2)加速度指向悬挂点吗？运动过程中，公式an＝＝ω2r还适用吗？

提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。

(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点，加速度不指向悬挂点。公式an＝＝ω2r仍然适用。

课堂任务　匀速圆周运动的加速度方向

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：如图所示，小球做匀速圆周运动时，小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？

提示：小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到向心力的作用。

活动2：物体做匀速圆周运动时，提供向心力的是什么？合力有什么特点？

提示：物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力。合力的方向总是指向圆心。

活动3：根据牛顿第二定律，小球的加速度沿什么方向？

提示：小球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，小球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心。

活动4：讨论、交流、展示，得出结论。

1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。

2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。

3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。

例1　(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)

A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

(1)向心加速度的物理意义是什么？

提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。

(2)向心加速度方向为________。

提示：始终指向圆心

[规范解答]　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。

[完美答案]　ABD

对向心加速度的理解

(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。

(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。

　下列说法中正确的是(　　)

A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢

B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢

C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动

答案　B

解析　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。

课堂任务　匀速圆周运动的加速度大小

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？

提示：物块所受的合外力即为F，根据牛顿第二定律，a＝。

活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？

提示：竖直方向：Tcosθ＝mg，水平方向：Tsinθ＝Fn，Fn＝mgtanθ，方向时刻指向圆心O。

活动3：能用求甲中物块加速度的方法求乙中小球的加速度吗？小球的加速度的大小是多少？

提示：能。an＝＝gtanθ。

活动4：讨论、交流、展示，得出结论。

1．向心加速度的大小

(1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝＝ω2r。

(2)向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。

(3)向心加速度与半径的关系

①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。

②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。

由an­r图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。

(4)向心加速度的注意要点

①向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。

②向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。

③无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。

2．用运动学的方法求向心加速度的方向和大小

(1)Δv的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时Δv与线速度的关系。

结论：Δt趋于零，Δv垂直于此时的线速度。即Δv指向圆心。

(2)向心加速度的方向：由于Δv指向圆心，由加速度定义a＝可知，加速度总是与Δv的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。

(3)向心加速度的大小：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。

由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以∠AOB＝∠CBD，故等腰△AOB和△CBD相似，根据对应边成比例可得：＝，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长＝vA·Δt，所以＝，又an＝，故an＝。由于v＝ωr，代入an＝可得an＝ω2r。

3．常见匀速圆周运动的实例

例2　如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？

(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？

提示：需要涉及公式an＝、an＝ω2r，通过抓住相同量比较不同量。

(2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？

提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。

[规范解答]　大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。

[完美答案]　0.24 m/s2　0.04 m/s2

　如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　　)

A．1∶2∶3  B．2∶4∶3

C．8∶4∶3  D．3∶6∶2

答案　C

解析　因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式a＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a＝ω2r，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。

　在温哥华冬奥会上，我国选手申雪、赵宏博在双人花样滑冰运动中获得金牌，如图为赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动的精彩场面，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度和受到的拉力大小。

答案　g　2G

解析　对申雪受力分析如图所示，其中θ＝30°，mg＝G，F为所受拉力。

水平方向：Fcosθ＝ma。

竖直方向：Fsinθ＝mg。

由以上两式得：向心加速度的大小为

a＝gcotθ＝g。

拉力大小F＝＝2G。

A组：合格性水平训练

1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)

A．向心加速度的方向始终指向圆心

B．向心加速度的方向保持不变

C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心

答案　A

解析　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，A正确，B、C、D错误。

2．(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)

A．由an＝可知，an与r成反比

B．由an＝ω2r可知，an与r成正比

C．由v＝ωr可知，ω与r成反比

D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比

答案　D

解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。

3. (向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A的图线为双曲线的一个分支，由图可知(　　)

A．A物体运动的线速度大小不变

B．A物体运动的角速度大小不变

C．B物体运动的角速度大小不变

D．B物体运动的角速度与半径成正比

答案　AC

解析　因为A的图线为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而B的图线为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。

4．(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是(　　)

A．大小为   B．大小为g－

C．方向在水平面内   D．方向在竖直面内

答案　AC

解析　根据an＝可知A正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。

5. (传动装置中的向心加速度)如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是(　　)

A．anC＝anD＝2anE   B．anC＝2anD＝2anE

C．anC＝＝2anE   D．anC＝＝anE

答案　C

解析　C、E两点同轴转动，角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，C、D两点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故选C。

6. (综合)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　　)

A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR

B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同

C．线速度vP＞vQ＞vR

D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同

答案　C

解析　圆环各处的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正确；由于向心加速度总是指向圆周运动圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。

7. (综合)如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　　)

A．A、B两点具有相同的角速度

B．A、B两点具有相同的线速度

C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心

D．A、B两点的向心加速度之比为

答案　A

解析　A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin60°，B运动的半径rB＝Rsin30°，＝＝＝，B错误；＝＝，D错误。

8. (综合)如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆周半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)

答案　π2g

解析　设乙下落到A点所用时间为t，

则对乙，满足R＝gt2，得t＝，

这段时间内甲运动了T，即T＝①

又由于an＝ω2R＝R②

由①②得，an＝π2g。

B组：等级性水平训练

9．(传动问题)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮(齿未画出)，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的(　　)

A．角速度之比为2∶1   B．向心加速度之比为1∶2

C．周期之比为1∶2   D．转速之比为2∶1

答案　B

解析　根据两轮边缘线速度大小相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝，得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由T＝，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。

10．(综合)(多选)如图所示，偏心轮的转轴为O，以O为圆心的圆内切于偏心轮，且经过偏心轮圆心P，A和B是偏心轮边缘的两点，且AP⊥OB于P，则下列说法中正确的是(　　)

A．A、B的角速度大小相等

B．A、B的线速度大小相等

C．A、B的向心加速度大小之比为2∶1

D．A、B的向心加速度大小之比为∶3

答案　AD

解析　A、B两点同轴转动，故二者角速度相等，A正确；由图可知A、B的转动半径之比为∶3，由线速度v＝ωr可知A、B的线速度大小不相等，故B错误；根据向心加速度a＝ω2r，可得A、B的向心加速度大小之比为∶3，故C错误，D正确。

11．(传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比(　　)

A．线速度之比为1∶4

B．角速度之比为4∶1

C．向心加速度之比为8∶1

D．向心加速度之比为1∶8

答案　D

解析　由题意知va＝v3，v2＝vc，又轮2与轮3同轴转动，角速度相同，v2＝2v3，所以va∶vc＝1∶2，A错误。＝＝，B错误。设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确。

12. (综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是(　　)

A．小物块运动的角速度为2 rad/s

B．小物块做圆周运动的周期为π s

C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m

D．小物块在π s内通过的路程为零

答案　AB

解析　因为an＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，A、B正确；小物块在 s内转过弧度，通过的位移大小为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，C、D错误。

13. (向心加速度和向心力的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，质量为50 kg的滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点前瞬间的加速度大小和对轨道的压力大小。(不计各种阻力，g取10 m/s2)

答案　50 m/s2　3000 N

解析　运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝＝ m/s2＝50 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上。重力和轨道的支持力的合力提供向心力，FN－mg＝ma，故FN＝3000 N，由牛顿第三定律可知，FN′＝3000 N。