专题10 二元一次方程组的实际应用问题-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

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专题训练（十）二元一次方程组的实际应用问题利用二元一次方程组解决实际问题的关键：1、确定合适的未知数。2、根据题意，从条件中找出合适的等量关系。示例：在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（       ）A．12种 B．13种 C．14种 D．15种【答案】C【题意分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为3个时，根据题意得整理得 都是正整数，当C种奖品个数为4个时，根据题意得整理得 都是正整数，有种购买方案。故选：C．1．某校计划购买数学、语文两种书若干本用于图书角建设，已知购买2本数学书和1本语文书需100元：购买6本数学书与购买7本语文书的价格相同．(1)求数学和语文这两种书的单价：(2)若购买数学和语文两种书共50本，总价不超过1600元，求这所学校最多购买多少本数学书?      2．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．     示例：某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？【答案】甲的速度是 m/s，乙的速度是m/s ．【题意分析】利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400m；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400m，进而得出方程组求出即可．【详解】设甲的速度是xm/s，乙的速度是ym/s．根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400．那么列方程组 ，解得： ，答：甲的速度是m/s，乙的速度是m/s．3．汽车在上坡时速度为28千米/时，下坡时速度为42千米/时，从甲地到乙地用了4小时，返回时用了4小时，从甲地到乙地上、下坡各是多少千米？       4．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20千米，他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息回答下列问题：(1)甲的速度是　   　千米/小时，乙比甲晚出发　   　小时；(2)分别求出甲、乙两人前进的路程s与甲出发后的时间t之间的函数关系式；(3)求甲经过多长时间被乙追上，此时两人距离A地有多远？    5．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，从乙地到甲地逆流航行用10小时．（请列方程或方程组解答）(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；(2)若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？      示例：甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地．【答案】17【题意分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案．【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得：，，设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得：，化简得：，解得：．故答案为：17．6．甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？   7．市级重点工程盘溪立交改造正在进行中，某建筑公司承建了修筑其中一段公路的任务，指派甲、乙两队合作，天可以完成，共需施工费元，如果甲、乙两队单独完成此项工程，乙队所用时间是甲队的倍，乙队每天的施工费比甲队每天的施工费少元．(1)甲、乙两队每天的施工费用各需多少元？(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？       示例：弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁．【答案】15【题意分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，由题意：，解得：，∴此时哥哥的年龄是15岁，故答案为：15．8．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．        9．一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．       示例：草莓基地为了提高收益，对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售．每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓的销售额多4元．草莓等级包装重量（）售价（元/包）A级180B级2120(1)问A，B两个等级草莓每千克各是多少元？(2)某超市从草莓基地购进200千克草莓，A级草蒋不少于40千克，且均价不超过19元．①问最多购进了A级草莓多少千克？②超市对购进草莓进行包装销售（如下表），全部包装销售完．当包装A级草莓多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】(1)每千克A级草莓为28元，每千克B级草莓为16元；(2)①50，②9200【题意分析】（1）根据每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓的销售额多4元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得每千克A级草莓、B级草莓的利润分别为多少元；（2）①根据A级草莓不少于40千克，且均价不超过19元，可得出结论；②根据题意和①中的结果，可以得到w与m之间的函数关系式；然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．【详解】(1)解：设每千克A级草莓为a元，每千克B级草莓为b元，由题意得： ，解得： ，答：每千克A级草莓为28元，每千克B级草莓为16元；(2)解：①由题意可得，设购进A级草莓m千克，则购进B级草莓（200﹣m）千克，根据题意可知解得40≤m≤50，∴最多购进了A级草莓50千克；②设总利润为w元，根据题意可知，w＝（80﹣28）m+（120﹣2×16）×＝8m+8800，∵8＞0，且40≤m≤50，∴当m＝50时，所获利润最大，此时w的最大值为8×50+8800＝9200，即当进货方案是A级草莓50千克，即A级草莓50包，B级草莓150千克时，使销售总利润最大，总利润的最大值是9200元．10．某商场按标价销售某种商品时，每件可获利30元．元旦节期间，为庆祝2022年虎年的到来，商场开展打折销售活动，按标价的八折销售该商品10件与在标价的基础上降低25元销售该商品12件所获利润相等．(1)求该商品进价，标价分别是多少？(2)若此商场共销售该商品200件，其中打八折销售x件，其余均按标价销售，请写出此商场销售完该商品共获利润W（元）与x的函数关系式．             11．在“新冠病毒”疫情防控期间，某药店分两次购进酒精消毒液与测温枪进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件）购进所需费用（元）酒精消毒液测温枪第一次30406300第二次40304900 (1)求酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是多少元？(2)该药店决定酒精消毒液以每件15元出售，测温枪以每件200元出售．为满足市场需求．需购进这两种商品共1000件，设购进测温枪m件，获得的利润为W元，请求出获利W（元）与购进测温枪件数m（件）之间的函数关系式．若测温枪的数量不超过300件，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．    12．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求：(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．   示例：在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入形状、大小完全相同的四个小长方形后得图①、图②，已知大长方形长为a，大长方形未被覆盖的部分均用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（用含a的代数式表示（       ）A． B．a C． D．【答案】C【题意分析】设小长方形的长为，宽为，则由①图可知，，，可得，，由②图可知，大长方形的宽为，表示出两个图中阴影部分的周长，计算求解．【详解】解：设小长方形的长为，宽为由①图可知，，∴，由②图可知，大长方形的宽为∴①图阴影部分周长为②图阴影部分周长为∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是；故选C．13．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：解得：___________ 14．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边的长．        15．与互补，比的3倍的大20°，求、的大小．