2021-2022学年江苏省苏州市常熟市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市常熟市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的计算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，数轴上所表示的不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某种病毒颗粒平均直径约为，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则下列各式中不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，直线，点在直线上在中，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点是中点，，添加一个条件，不能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 九章算术中记裁：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在三角形纸片中，将三角形纸片沿折叠，使点落在所在平面内的点处．若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，的角平分线，相交于点，，，下列结论中不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算：的结果是______．
12. 一个正多边形的每个外角都是，这个正多边形的边数是______．
13. 已知是方程的解，则______．
14. 命题“对顶角相等”的逆命题是______ 命题填“真”或“假”．
15. 已知，，则的值为______．
16. 已知，则的值为______．
17. 如图，在中，是中线，点是中点，且，若的面积是，则的面积为______．

18. 在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，在上，，，小明将从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第______秒时，边与边平行．

三、解答题（本大题共10小题，共76分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 因式分解：
    ；
    ．
21. 解二元一次方程组：．
22. 解不等式组：．
23. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为个单位长度．
    将先向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的；
    画出中边上的中线；
    画出中边上的高；
    连接，，则四边形的面积为______．

24. 如图，四边形中，，，，是的中点，与相交于点．
    求证：≌；
    判断线段与的位置关系，并说明理由．

25. 为了更好地开展劳动实践，某校在校园内开辟了一片小菜园，初一年级组想要购进、两种蔬菜苗进行种植，若购进种蔬菜苗棵，种蔬菜苗棵，需要元；若购进种蔬菜苗棵，种蔬菜苗棵，需要元．
    购进、两种蔬菜苗每棵各需多少元？
    若初一年级组决定购进这两种蔬菜苗共棵，且用于购买这棵蔬菜苗的资金不超过元；那么初一年级组最多可以购进种蔬菜苗多少棵？
26. 已知关于，的二元一次方程组是常数．
    若方程组的解满足，求的值；
    若方程组的解满足，求的取值范围．
27. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
    阅读材料：若，求、的值．
    解：，
    ，
    ，
    ，，
    ，．
    根据你的观察，探究下面的问题：
    已知，求______，______；
    已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的值；
    若，，试比较与的大小关系，并说明理由．
28. 如图，是一个钝角，平分，点在射线上，且，，垂足为．
    求证：；
    动点，同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；动点以每秒个单位长度的速度匀速运动．已知，设动点，的运动时间为秒．
    如图，当点在射线上运动时，若点在线段上，且，求此时的值；
    如图，当点在直线上运动时，点在射线上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说出理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用幂的乘方的法则进行求解即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则：底数不变，指数相乘．
 

2.【答案】 

【解析】解：处是实心圆点且折线向右，
不等式的解集是．
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出结论．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：  ．
故选：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题主要考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法表示较小数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，分解因式的对象必须是多项式，故该选项不符合题意；
选项，分解因式要将多项式写成几个整式的积的形式，而选项是和的形式，故该选项不符合题意；
选项，分解因式要将多项式写成几个整式的积的形式，而选项是和的形式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，，
，
，
，
直线，
，
故选：．
根据三角形的内角和定理可得的度数，进一步可得的度数，根据平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点是中点，
，
，
当时，
≌，
故A选项不符合题意；
当时，
≌，
故B选项不符合题意；
当时，
，
≌，
故C选项不符合题意；
当时，不能证明≌，
故D选项符合题意，
故选：．
根据全等三角形的判定方法进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
故选：．
甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据折叠，可得，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质可得，，进一步可得的度数，根据三角形的内角和定理可得的度数，即可求出的度数．
本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、平分，
，
，
，
，
选项成立；
B、，平分，平分，
，，
，
，
选项成立；
C、，
，
，
，
平分，
，
，
，
选项成立；
平分，平分，
，，
，，
与不一定相等，
与不一定相等，
选项不一定成立，
故选：．
由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，即可判断选项；
由三角形内角和定理可得，由角平分线性质可得，，由三角形外角性质可得，即可判断选项；
由平行线性质可得，由三角形内角和定理可得，由角平分线性质可得，由三角形外角性质可得，即，即可判断选项；
由角平分线的性质可得，，由三角形外角性质可得，，即可判断选项．
本题考查三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是．
多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
根据方程的解的概念，可将、的值代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
此题考查二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
 

14.【答案】假 

【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：当，时，





．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】 

【解析】解：，




．
故答案为：．
把变形成，再整体代入即可得答案．
本题考查代数式求值，解题的关键是将所求式子变形，再整体代入．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
点是中点，
，
，
是中线，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式，利用得到，再利用点是中点得到，接着利用是中线得到，然后利用从而得到的值．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
 

18.【答案】或 

【解析】解：当在的上方时，如图，

，，，
，，
，
，
，
其旋转的时间为：秒；
在的下方，如图，

，，，
，，
，
，
，
，
旋转的角度为：，
旋转的时间为：秒，
综上所述：当旋转过程中，第或秒时，边与边平行．
故答案为：或．
分两种情况：在的上方；在的下方，画出相应的图形．利用平行线的性质得出即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对的位置进行讨论，明确有两种情况．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】利用绝对值的定义、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的意义计算，合并即可得到结果；
利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式计算，去括号合并即可得到结果．
此题考查了实数的运算、整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式． 

【解析】用完全平方公式分解因式即可；
用提公因式法分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是． 

【解析】得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

22.【答案】解：由，得，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求．

如图所示，线段即为所求；
如图所示，线段即为所求；
四边形的面积为，
故答案为：．
将三个顶点分别向左平移格，再向上平移格得到其对应点，即为首尾顺次连接即可；
根据三角形的中线的概念作图即可；
根据三角形的高的概念作图即可；
分割成个底为、高为的三角形，继而计算即可．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质、三角形的中线和高的概念．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：，
理由如下：由可知，≌，
，
，
，
，即． 

【解析】根据平行线的性质得到，根据定理证明≌；
根据≌，得到，根据垂直的定义证明结论．
本题考查的是梯形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：设种蔬菜苗每棵需要元，种蔬菜苗每棵需要元，由题意可得：
，
由可得：
，
解得：，
将代入，得：
，
解得：，
种蔬菜苗每棵需要元，种蔬菜苗每棵需要元；
设购进种蔬菜苗棵，则种蔬菜苗为棵，由题意可得：
，
解得：，
初一年级组最多可以购进种蔬菜苗棵． 

【解析】设种蔬菜苗每棵需要元，种蔬菜苗每棵需要元，根据题意列出方程组即可求解；
设购进种蔬菜苗棵，则种蔬菜苗为棵，根据题意列出不等式，即可求解．
本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，正确列出方程组与不等式．
 

26.【答案】解：，
得：，
代入得：，
解得：；
得：，
代入得：，
解得：． 

【解析】方程组两方程相加表示出，代入中计算即可求出的值；
方程组两方程相减表示出，代入中计算即可求出的范围．
此题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：，
，，
解得，．
故答案为：，；
，
，，
解得，，
、、是的三边长，
，
是正整数，
，
的周长；
，理由如下：
，，
，
，
，
．
将的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出，的值；
将的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出，的值，根据三角形的三边关系求出，进而求出周长；
让多项式与作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小．
本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．
 

28.【答案】证明：平分，
，
，
，
；

解：如图，过点作于，
平分，，
，
，
，
，
由运动知，，，
，
，
，
；

Ⅰ、当点在射线上时，如图，
由知，，
与全等，且，
≌，
，
由知，，，
，
；
Ⅱ、当在射线的反向延长线上时，如图，
由知，，
，，
，
与全等，且，
≌，
，
同的方法得，，，
，
，
即满足条件的的值为或． 

【解析】先根据角平分线得出，再根据等边对等角得出，即可得出结论；
过点作于，先判断出，再用，建立方程求解，即可求出答案；
分点在射线和射线的反向延长线上，由与全等结合条件判断出，进而建立方程求解，即可求出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义和角平分线定理，全等三角形的性质和判定，用方程的思想解决问题是解本题的关键．